Studium magisterskie

Marcin Kwater

Nr albumu: 39842

Michał Knapik

Nr albumu: 39743

Wstęp do inżynierii finansowej. Zadania.

Warszawa 2010

Spis treści

Zadanie 1. 3

Zadanie 2. 11

Zadanie 3. 15

Zadanie 4. 19

Zadanie 5. 21

Zadanie 1.

Przeprowadzić symulację kształtowania się cen opcji standardowych na akcje w czasie życia opcji przy następujących założeniach:

• są to trzymiesięczne opcje typu europejskiego,

• w czasie t=0 cena akcji wynosi S ∈ (10, 60),

• w ciągu miesiąca ceny akcji mogą wzrosnąć o k*LIBOR (k=1,2,3,4) lub obniżyć o n*WIBOR (n=2,3,4),

• stopa procentowa wolna od ryzyka jest rentownością 52tygodniowych bonów skarbowych,

• opcje wystawiane są przy czterech cenach rozliczenia.

Po przeprowadzeniu symulacji określić wartości trzech wybranych greckich współczynników i zinterpretować je.

Rozwiązanie:

Założenie	Wyjaśnienie
T=0,25	Są to bony trzymiesięczne, rok posiada 12 miesięcy, więc w skali roku czas pozostały do wygaśnięcia opcji to 0,25
S=50	50 ∈ (10, 60)
rf =6,47%	Zakładana stopa jest średnią arytmetyczną rentowności 52tygodniowych bonów skarbowych w 2008 roku^1
LIBOR=0,45%	Dane z dnia 4.0.2010, LIBOR 1M (EUR)^2
WIBOR=3,71%	Dane z dnia 4.01.2010, WIBOR 1M^3
Xa=49	Pierwsza cena rozliczenia
Xb=50	Druga cena rozliczenia
Xc=51	Trzecia cena rozliczenia
Xd=52	Czwarta cena rozliczenia
Nie jest wypłacana dywidenda

Potrzebujemy wyliczyć zmienność. Przyjmujemy za nią średnią arytmetyczną możliwych odchyleń ceny aktywu. Możliwe było zwiększenie ceny o {-4,-3,-2}*WIBOR lub jej zmniejszenie o {1,2,3,4}*LIBOR. Cena aktywu po zmianie może zatem wynosić (w kolejności wymienia przypadków) {42,58; 44,435; 46,29; 50,225; 50,45; 50,675; 50,9}.

Odchylenia wyliczamy jako stosunek ceny aktywu po zmianie do ceny akcji w czasie t=0 (50). Wynoszą one zatem {0,1484; 0,1113; 0,0742; 0,0045; 0,009; 0,0135; 0,018}. Ich średnia arytmetyczna wynosi 0,054. Na potrzeby zadania przyjmujemy zatem, że σ = 0, 054.

Następnie należy rozpatrzeć cztery różne przypadki odpowiadające czterem różnym cenom rozliczenia.

1. X_a=49

Korzystamy ze wzoru Blacka-Scholesa na cenę europejskiej opcji kupna

C =  S *  Φ(d₁) − K * e^{−rf * T} * Φ(d₂)

Gdzie:

K= X_a

$$d_{1} = \frac{\ln\frac{S}{K} + \ \left( rf + \frac{\sigma^{2}}{2} \right)*T}{\sigma*\sqrt{T}}$$

$$d_{2} = d_{1} - \sigma*\sqrt{T}$$

$$d_{1} = \frac{\ln\frac{50}{49} + \ \left( 6,47\% + \frac{{0,054}^{2}}{2} \right)*0,25}{0,054*\sqrt{0,25}}$$

d₁ = 1, 361

$$d_{2} = 1,361 - 0,054*\sqrt{0,25}$$

d₂ = 1, 334

Korzystając z odpowiednich tablic:

Φ(d₁) = 0, 913

Φ(d₂) = 0, 909

Cena opcji call wynosi zatem:

C =  50 * 0, 913 − 49 * e^{−6, 47%*0, 25} * 0, 909

C=1,841

Korzystając z parytetu call-put, prawdziwego gdy nie są wypłacane dywidendy dla posiadaczy akcji możemy łatwo wyliczyć cenę opcji put.

C − P = S − K * e^{−rf * T}

Stąd:

P = C − S + K * e^{−rf * T}

P = 1, 841 − 50 + 49 * e^{−6, 47%*0, 25}

P=0,054

Przeprowadzając symulację cen opcji w czasie życia opcji w czasie życia opcji w programie MS Excel otrzymaliśmy następujący wykres (aby nie mnożyć rozwiązań przyjęliśmy założenie, że pomimo zmienności cena instrumentu podstawowego pozostaje w czasie życia opcji bez zmian).

Rozumując analogicznie można obliczyć ceny opcji przy kolejnych cenach rozliczenia. I tak:

1. Dla X_b=50: C=1,028; P=0,226

2. Dla X_c=51: C=0,453; P=0,635

3. Dla X_d=52: C=0,149; P=1,315

Ostatnią częścią tego zadania jest wyznaczenie wartości trzech greckich współczynników oraz ich interpretacja.

1. Współczynnik delta informuje o tym, jak bardzo zmieni się wartość opcji gdy zmieni się cena instrumentu podstawowego.

Δ_C =  Φ(d₁)

Δ_P =  Φ(d₁) − 1

Dla X_a=49 Δ_C=0,913. Oznacza to, że cena opcji kupna zmieni się o 0,913 w sytuacji w której cena instrumentu bazowego zmieni się o 1 (w tą samą stronę).

Dla X_a=49 Δ_P=-0,087. Oznacza to, że cena opcji sprzedaży zmieni się o 0,087 w sytuacji w której cena instrumentu bazowego zmieni się o 1 (w stronę przeciwną).

Dla X_b=50: Δ_C=0,73; Δ_P=-0,27

Dla X_c=51: Δ_C=0,452; Δ_P=-0,0548

Dla X_d=52: Δ_C=0,2; Δ_P=-0,8

1. Współczynnik rho informuje o tym, jak bardzo zmieni się wartość opcji gdy zmieni się stopa wolna od ryzyka.

$$_{C} = \frac{K*T*e^{rf*T}*\Phi\left( d_{2} \right)}{100}$$

$$_{C} = \frac{49*0,25*e^{6,47\%*0,25}*0,909}{100}$$

_C=0,11

Dla X_a=49 _C=0,11. Oznacza to, że cena opcji kupna zmieni się o 0,11 w sytuacji w której wartość stopy procentowej wyrażonej w punktach procentowych zmieni się o 1 (w tą samą stronę).

$$_{P} = \frac{- K*T*e^{- rf*T}*\Phi\left( {- d}_{2} \right)}{100}$$

$$_{P} = \frac{- 49*0,25*e^{- 6,47\%*0,25}*0,911}{100}$$

_P = −0, 011

Dla X_a=49 _P=-0,011. Oznacza to, że cena opcji sprzedaży zmieni się o 0,011 w sytuacji w której wartość stopy procentowej wyrażonej w punktach procentowych zmieni się o 1 (w stronę przeciwną).

Dla X_b=50: _C=0,089; _P=-0,034

Dla X_c=51: _C=0,055; _P=-0,070

Dla X_d=52: _C=0,025; _P=-0,103

1. Wartość współczynnika gamma jest jednakowa dla opcji kupna i sprzedaży. Współczynnik informuje o tym, jak bardzo zmieni się wartość greckiego współczynnika delta gdy zmieni się cena instrumentu bazowego. Jest to druga pochodna ceny opcji względem ceny akcji.

$$\Gamma = \frac{N^{'}(d_{1})}{S*\sigma*\sqrt{T}}$$

Gdzie:

$$\mathrm{N}^{\mathrm{'}}\left( \mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}\mathrm{\pi}}}*e^{\frac{- d_{1}^{2}}{2}}$$

$$\mathrm{N}^{\mathrm{'}}\left( \mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}\mathrm{\pi}}}*e^{\frac{- {1,361}^{2}}{2}}$$

N^′(d₁)=1,007

$$\Gamma = \frac{1,007}{50*0,054*\sqrt{0,25}}$$

Γ=0,746

Dla X_a=49 Γ =0,745929. Oznacza to, że wartość współczynnika delta zmieni się o 0,746 w sytuacji w której cena instrumentu bazowego zmieni się o 1 (w tą samą stronę).

Dla X_b=50: Γ =0,357

Dla X_c=51: Γ =0,298

Dla X_d=52: Γ =0,421

Zadanie 2.

Wycenić egzotyczną opcję produktową (product option) typu call i put wystawioną na akcje dwóch spółek, o cenie wykonania wynoszącej Xϵ(2000,  3000), przy czym aktualne ceny akcji wynoszą S₁ϵ(20,  30) oraz S₂ϵ(100,  110). Zmienności stóp zwrotu są równe 8,5% i 12,5%. Stopy dywidendy wynoszą odpowiednio 2% i 1% a korelacja pomiędzy stopami zwrotu z akcji jest równa A% („A” jest sumą cyfr w naszych datach urodzenia). Przyjąć stopę procentową w wysokości średniej rentowności 13tygodniowych bonów skarbowych z 2008 r. (gdy obie osoby urodzone są w dni parzyste lub nieparzyste), lub średniej rentowności 13tygodniowych bonów skarbowych w 1. połowie 2009 roku. Wycenić tą samą opcję przy założeniu, że korelacja wynosi –A% i podać interpretację wpływu współczynnika korelacji na wartość opcji produktowej.

Rozwiązanie:

Założenie	Wyjaśnienie
T=0,25	Zakładamy, że są to opcje trzymiesięczne, rok posiada 12 miesięcy, więc w skali roku czas pozostały do wygaśnięcia opcji to 0,25
S1=22	22 ∈ (20, 30)
S2=106	106 ∈ (100, 110)
d1 = 2%	Stopa dywidendy
d2 = 1%	Stopa dywidendy
σ1 = 8, 5%	Zmienność stopy zwrotu
σ2 = 12, 5%	Zmienność stopy zwrotu
X=2200	2200 ∈ (2000, 3000)
rf=6,354%	Zakładana stopa jest średnią arytmetyczną rentowności 13tygodniowych bonów skarbowych w 2008 roku^4
ρ=6%	Nasze daty urodzenia to 11.05.1987 i 9.12.1987. Sumy cyfr dają odpowiednio 32 i 37. Ich suma to 69. 6+9=15. 1+5=6.

Opcje egzotyczne produktowe wycenić można używając następujących wzorów:

C = S₁ * S₂ * e^{(rf−d₁−d₂+ρ*σ₁*σ₂) * T} * Φ(d_1pu) − X * e^{−rf * T} * Φ(d_pu)

P = −S₁ * S₂ * e^{(rf−d₁−d₂+ρ*σ₁*σ₂) * T} * Φ(−d_1pu) + X * e^{−rf * T} * Φ(−d_pu)

Gdzie:

$$d_{\text{pu}} = \frac{1}{\sigma_{\text{pu}}*\sqrt{T}}*\{\ln{\left( \frac{S_{1}*S_{2}}{X} \right) +}\left\lbrack 2rf - d_{1} - d_{2} - \frac{1}{2}\left( \sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} \right)*T \right\rbrack\}$$

$$d_{1pu} = \ d_{\text{pu}} + \sigma_{\text{pu}}*\sqrt{T}$$

$$\sigma_{\text{pu}} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} + 2*\rho*\sigma_{1}*\sigma_{2} + \sigma_{2}^{2}}$$

Podstawiając do wzorów otrzymujemy następujące wyniki:

$$\sigma_{\text{pu}} = \sqrt{{0,085}^{2} + 2*0,06*0,085*0,125 + {0,125}^{2}}$$

σ_pu=0,155

$$d_{\text{pu}} = \frac{1}{0,155*\sqrt{0,25}}*\{\ln{\left( \frac{22*106}{2200} \right) +}\left\lbrack 2*6,354\% - 2\% - 1\% - \frac{1}{2}\left( {0,085}^{2} + {0,125}^{2} \right)*0,25 \right\rbrack\}$$

d_pu=1,964

$$d_{1pu} = \ 1,964 + 0,155*\sqrt{0,25}$$

d_1pu=2,041

Korzystając z odpowiednich tablic statystycznych:

Φ(d_pu) = 0, 975

Φ(d_1pu) = 0, 979

Φ(−d_pu) = 0, 025

Φ(−d_1pu) = 0, 021

Zatem:

C = 22 * 106 * e^{(6,354%−2%−1%+6%*8,5%*12,5%) * 0, 25} * 0, 979 − 2200 * e^{−6, 354%*0, 25} * 0, 975

C=191,876

P = −22 * 106 * e^{(6,354%−2%−1%+6%*8,5%*12,5%) * 0, 25} * 0, 021 + 2200 * e^{−6, 354%*0, 25} * 0, 025

P=5,194

W drugiej części zadania wyceniamy te same opcje, jednak zakładając, że korelacja ρ=-6%.

Korzystając z tych samych co poprzednio wzorów wyliczamy co następuje:

σ_pu=0,147

d_pu=2,076

d_1pu=2,15

Korzystając z odpowiednich tablic statystycznych:

Φ(d_pu) = 0, 981

Φ(d_1pu) = 0, 984

Φ(−d_pu) = 0, 019

Φ(−d_1pu) = 0, 016

Zatem:

C₂=189,807

P₂=3,875

Porównując uzyskane wyniki widać, że stopień w jakim skorelowane są stopy zwrotu z akcji nie pozostaje bez wpływu na cenę opcji produktowych. Im wyższa jest korelacja, tym wyższe ceny osiągają opcje produktowe (zarówno typu call, jak i put).

Zadanie 3.

Dobierając odpowiednie parametry, skonstruować dowolny korytarz zero kosztowy (w pozycji długiej lub krótkiej) złożony z opcji na akcje przy założeniu cen wykonania na poziomie X_aϵ(50,  60), X_bϵR₊. Opisać w jaki sposób ogranicza on ryzyko zmian kursu aktywa bazowego.

Rozwiązanie:

Założenie	Wyjaśnienie
T=0,75	Zakładamy, że korytarz składać się będzie z 9miesięcznych opcji na akcje, rok posiada 12 miesięcy, więc w skali roku czas pozostały do wygaśnięcia opcji to 0,75
S=60	Zakładamy, że cena aktywa bazowego wynosi 60
rf=6,471%	Zakładana stopa jest średnią arytmetyczną rentowności 52tygodniowych bonów skarbowych w 2008 roku^5
Xaϵ(50,  60)	Cena wykonania pierwszej opcji na akcje zawiera się w tym przedziale, jest to strike opcji put
XbϵR+	Cena wykonania drugiej opcji na akcje należy do tego zbioru, jest to strike opcji call
σ = 20%	Przyjęte założenie

Korzystamy z wzorów Blacka-Scholesa na obliczenie ceny opcji call i put:

C =  S *  Φ(d_1b) − X_b * e^{−rf * T} * Φ(d_2b)

P =  X_a * e^{−rf * T} * Φ(−d_2a) − S *  Φ(−d_1a)

Gdzie:

$$d_{1_{b}} = \frac{\ln\frac{S}{X_{b}} + \ \left( rf + \frac{\sigma^{2}}{2} \right)*T}{\sigma*\sqrt{T}}$$

$$d_{2_{b}} = d_{1_{b}} - \sigma*\sqrt{T}$$

$$d_{1_{a}} = \frac{\ln\frac{S}{X_{a}} + \ \left( rf + \frac{\sigma^{2}}{2} \right)*T}{\sigma*\sqrt{T}}$$

$$d_{2_{a}} = d_{1_{a}} - \sigma*\sqrt{T}$$

Za pomocą wyżej wymienionych wzorów oraz narzędzia Solver będącego częścią programu MS Excel można następnie skonstruować korytarz zerokosztowy.

Zadaniem Solvera jest takie obliczenie wartości X_a i X_b, aby wyliczane za pomocą powyższych wzorów C i P były sobie równe. Dodatkowe warunki ograniczające to:

X_a<60

X_a>50

X_b>0

Korzystając z takich danych wejściowych program Solver zwrócił następujące wartości dla cen wykonania opcji.

X_a=59,401371

X_b=67,273408

Ta strategia polega na zakupie opcji typu put i sprzedaży opcji typu call z cenami realizacji dobranymi w taki sposób, że premia otrzymana z tytułu sprzedaży opcji call zrównoważy premię zapłaconą za opcję put (w tym przypadku obie premie będą wynosiły 2,54). Realizacja tej strategii nie wiąże się zatem z żadnymi dodatkowymi kosztami.

W naszym przykładzie przedsiębiorstwo ma gwarancję sprzedaży akcji po cenie nie gorszej niż 59,40, w przypadku gdyby cena akcji spadła poniżej tego poziomu przedsiębiorstwo może skorzystać z opcji put i sprzedać je za 59,40.

W przypadku gdy cena akcji kształtować się będzie pomiędzy 59,4 a 67,27 przedsiębiorstwo sprzeda akcje po kursie rynkowym i nie poniesie straty / nie odnotuje zysku.

Ryzykiem dla firmy jest sytuacja, w której cena akcji przekroczy wartość 67,27, gdyż wówczas będzie ono zmuszone sprzedać akcje po 67,27 (opcja call zostanie zrealizowana).

Strategia ta umożliwia zabezpieczenie kursu na poziomie niższym niż byłoby to możliwe przy użyciu sprzedaży terminowej, jednak przy użyciu tego narzędzia wytwarza się korytarz w obrębie którego przedsiębiorstwo nie ponosi straty (ale i nic nie zyskuje) w stosunku do rynku.

Zadanie 4.

Skonstruować strategię arbitrażową, którą można było przeprowadzić w latach 2006-2009 na GPW w Warszawie przy zastosowaniu kontraktów terminowych na indeks WIG20. Proszę założyć prowizję od obrotu akcyjnego na poziomie Aϵ(0, 15;  0, 3), prowizję od kontraktu na poziomie k=10 zł, a jako stopę procentową wolną od ryzyka przyjąć średnią rentowność 26tygodniowych bonów skarbowych z czasu życia kontraktu.

Rozwiązanie:

Założenie	Wyjaśnienie
A=0,2%	Zakładamy prowizję od obrotu akcyjnego na poziomie A = 0, 2%∈(0, 15;  0, 3)
k=10 zł	Zakładamy prowizję od kontraktu na poziomie 10 zł
rf=4,397%	Zakładana stopa jest średnią arytmetyczną rentowności 26tygodniowych bonów skarbowych^6 w czasie życia kontraktu^7
FW20Z09	Kontrakt terminowy na WIG20 z czasem trwania 19.12.2008-18.12.2009

Otwarcie 26.10.2009: Zamknięcie 4.11.2009: Zysk:

WIG20 2381 WIG20 2249 -1320 zł

FW20Z09 2406 FW20Z09 2256 1500 zł

26.10.2009 indeks WIG20 był notowany na poziomie 2381 pkt a kontrakt terminowy FW20Z09 na poziomie 2406 pkt. Baza wyniosła 2406 – 2381 = 25 pkt, była zatem dodatnia. Dodatkowo, zmodyfikowana wartość teoretyczna kontraktu terminowego, obliczana

na podstawie wzoru:

$Zmod\ T = k + A\%*S + \left( S - D \right)*e^{- rf*\left( \frac{T}{360} \right)}$ , gdzie

k – prowizja od kontraktu

A% - prowizja od obrotu akcyjnego

S – cena instrumentu na rynku spot

D – wartość bieżąca dywidend dostarczanych przez instrument bazowy

rf – stopa wolna od ryzyka

T – czas pozostający do wygaśnięcia kontraktu terminowego (w dniach)

wyniosła:

$$Zmod\ T = 1 + 0,2\%*2381 + 2381*e^{4,397\%*\left( \frac{53}{360} \right)} = 2402,23$$

i była niższa od ceny kontraktu równej 2406. Zatem pojawiła się możliwość arbitrażu.

26.10.2009 kupujemy koszyk akcji wchodzących w skład indeksu WIG20 i sprzedajemy kontrakty terminowe. Liczymy również na zmniejszenie się bazy, co zwiększy efektywność inwestycji. 4.11.2009 baza zmniesza się do 7 punktów. Wówczas zajmujemy pozycje odwrotne na obydwu instrumentach. Na koszyku akcji ponosimy stratę równą:

(2381−2249) *  10 zl = 1320 zl

Równocześnie zyskujemy na kontrakcie terminowym:

(2406−2256) *  10 zl = 1500 zl

Koszty transakcyjne związane z zakupem i sprzedażą akcji wyniosą:

0,2% * 23810 zł + 0,2% * 22490 zł = 47,62 zł + 44,98 zł = 92,6 zł

Koszty transakcyjne związane z zakupem i sprzedażą kontraktu terminowego wyniosą:

2 * 10 zł = 20 zł

Łączne koszty transakcyjne wyniosą:

92,6 zł + 20 zł = 112,6 zł

Łączny zysk na arbitrażu będzie równy różnicy zysku na obrocie kontraktem terminowym oraz sumy straty na obrocie akcjami i kosztów transakcyjnych:

Zysk = 1500 zł – 1320 zł – 92,6 zł = 87,4 zł

Zadanie 5.

Jaki jest koszt zbudowania spreadu niedźwiedzia zawierającego opcję sprzedaży o cenach wykonania X_aϵ(50,  60), X_bϵ(70,  80). Przyjmujemy cenę instrumentu bazowego na poziomie Sϵ(60,  70), wolną od ryzyka stopę procentową jako średnią rentowność 52tygodniowych bonów skarbowych z VIII 2009. Czas do wygaśnięcia należy do przedziału od 6 do 12 miesięcy i nie jest liczbą całkowitą, σϵ(20%, 25%). Przedstawić graficznie i zinterpretować kiedy będziemy generować zyski, kiedy straty oraz jakie mogą pojawić się ryzyka związane z zastosowaniem tej strategii.

Rozwiązanie:

Założenie	Wyjaśnienie
T=0,875	Zakładamy, że spread składać się będzie z 10,5miesięcznych opcji na akcje, rok posiada 12 miesięcy, więc w skali roku czas pozostały do wygaśnięcia opcji to 0,875
S=76	Zakładamy, że cena aktywa bazowego wynosi 76
rf=4,228%	Zakładana stopa jest średnią arytmetyczną rentowności 52tygodniowych bonów skarbowych w VIII 2009 roku^8
Xa=58	58 ∈ (58, 60), opcja sprzedawana
Xb=76	76 ∈ (70, 80), opcja kupowana
σ = 23%	23%ϵ(20%, 25%)
Nie jest wypłacana dywidenda

Spread niedźwiedzia tworzy się wykorzystując dwie opcje sprzedaży na ten sam instrument podstawowy i z tym samym terminem do wygaśnięcia. Opcje te różnią się kursem wykonania. Jedną opcję kupujemy (najbliżej bieżącej wartości instrumentu bazowego), a drugą (z kursem wykonania niższym od kursu opcji kupionej) sprzedajemy.

Kosztem wykonania tego spreadu jest różnica pomiędzy kwotą wydaną na zakup opcji sprzedaży a kwotą wydaną na sprzedaż opcji sprzedaży.

Ceny obydwu opcji wyliczamy przy pomocy wzoru Blacka-Scholesa na cenę europejskiej opcji kupna:

C_a =  S *  Φ(d_1a) − X_a * e^{−rf * T} * Φ(d_2a)

C_b =  S *  Φ(d_1b) − X_b * e^{−rf * T} * Φ(d_2b)

Gdzie:

$$d_{1_{a}} = \frac{\ln\frac{S}{X_{a}} + \ \left( rf + \frac{\sigma^{2}}{2} \right)*T}{\sigma*\sqrt{T}}$$

$$d_{1_{a}} = \frac{\ln\frac{76}{58} + \ \left( 4,228\% + \frac{{0,23}^{2}}{2} \right)*0,875}{0,23*\sqrt{0,875}}$$

d_1a=1,536

$$d_{2_{a}} = d_{1_{a}} - \sigma*\sqrt{T}$$

$$d_{2_{a}} = 1,536 - 0,23*\sqrt{0,875}$$

d_2a = 1, 321

$$d_{1_{b}} = \frac{\ln\frac{S}{X_{b}} + \ \left( rf + \frac{\sigma^{2}}{2} \right)*T}{\sigma*\sqrt{T}}$$

$$d_{1_{b}} = \frac{\ln\frac{76}{76} + \ \left( 4,228\% + \frac{{0,23}^{2}}{2} \right)*0,875}{0,23*\sqrt{0,875}}$$

d_1b=0,28

$$d_{2_{b}} = d_{1_{b}} - \sigma*\sqrt{T}$$

$$d_{2_{b}} = 0,28 - 0,23*\sqrt{0,875}$$

d_2b = 0, 064

Korzystając z odpowiednich tablic:

Φ(d_1a) = 1, 536

Φ(d_2a) = 1, 321

Φ(d_1b) = 0, 28

Φ(d_2b) = 0, 064

Zatem:

C_a =  76 *  1, 536 − 58 * e^{−4, 228%*0, 875} * 1, 321

C_a = 20, 588

C_b =  76 * 0, 28 − 76 * e^{−4, 228%*0, 875} * 0, 064

C_b = 7, 866

Korzystając z parytetu call-put, prawdziwego gdy nie są wypłacane dywidendy dla posiadaczy akcji możemy łatwo wyliczyć cenę opcji put.

C − P = S − K * e^{−rf * T}

Stąd:

P = C − S + K * e^{−rf * T}

Zatem:

P_a = 20, 588 − 76 + 58 * e^{−4, 228%*0, 875}

P_a = 0, 481

P_b = 7, 866 − 76 + 76 * e^{−4, 228%*0, 875}

P_b = 5, 106

Koszt zbudowania spreadu to różnica P_b − P_a, czyli dla naszego przykładu 4,625.

Strategia spread niedźwiedzia jest strategią nastawioną na umiarkowane straty. W opisywanym przypadku zacznie on przynosić zyski od momentu gdy cena aktywa bazowego będzie wynosić X_b − P_b + P_a czyli 71,375. Najwyższe zyski zostaną osiągnięte w momencie gdy cena aktywa spadnie do poziomu przynajmniej równego X_a. Zysk będzie wynosił wówczas X_b-X_a − P_b + P_a czyli 13,375. Straty będą ponoszone, gdy cena aktywa bazowego spadnie poniżej 71,375. Maksymalne straty będą równe kosztom zbudowania spreadu czyli 4,625.

Ryzykiem w stosowaniu tej strategii jest możliwość błędnego oszacowania trendu kształtowania się ceny aktywa bazowego (może ona wzrosnąć zamiast spaść co skutkuje poniesieniem przez przedsiębiorcę maksymalnej straty), bądź przeszacowanie oczekiwanego spadku (cena spadnie, jednak nie na tyle, aby punkt opłacalności został osiągnięty).

---

1. Na podstawie pliku zamieszczonego na stronie Ministerstwa Finansów

   http://www.mofnet.gov.pl/_files_/dlug_publiczny/obligacje_hurtowe/pliki_do_pobrania/bonyskarbowe.xls?PortalMF=, 4.01.2010↩

2. http://www.money.pl/pieniadze/depozyty/walutowe/, 4.01.2010↩

3. http://www.money.pl/pieniadze/depozyty/zlotowe/, 4.01.2010↩

4. Na podstawie pliku zamieszczonego na stronie Ministerstwa Finansów

   http://www.mofnet.gov.pl/_files_/dlug_publiczny/obligacje_hurtowe/pliki_do_pobrania/bonyskarbowe.xls?PortalMF=, 4.01.2010↩

5. Na podstawie pliku zamieszczonego na stronie Ministerstwa Finansów

   http://www.mofnet.gov.pl/_files_/dlug_publiczny/obligacje_hurtowe/pliki_do_pobrania/bonyskarbowe.xls?PortalMF=, 4.01.2010↩

6. Na podstawie pliku zamieszczonego na stronie Ministerstwa Finansów

   http://www.mofnet.gov.pl/_files_/dlug_publiczny/obligacje_hurtowe/pliki_do_pobrania/bonyskarbowe.xls?PortalMF=, 4.01.2010↩

7. Ministerstwo finansów prezentuje dane dotyczące rentowności omawianych bonów dla okresu 2.03.2009-30.03.2009, który zawiera się w okresie życia kontraktu↩

8. Na podstawie pliku zamieszczonego na stronie Ministerstwa Finansów

   http://www.mofnet.gov.pl/_files_/dlug_publiczny/obligacje_hurtowe/pliki_do_pobrania/bonyskarbowe.xls?PortalMF=, 4.01.2010↩