30 października 2006

Podstawy mechaniki płynów - biofizyka układu krążenia

Ciecze i gazy to płyny

• Zmieniają kształt pod wpływem znikomo małych sił

• Nie posiadają sprężystości kształtu, posiadają sprężystość objętości

• Stan stały - duże moduły sprężystości objętościowej i postaciowej

• Stan ciekły - mniejszy moduł sprężystości objętościowej, bardzo mały postaciowej

• Stan gazowy – mały moduł sprężystości objętościowej brak postaciowej

Lepkość

• Ruch płynów nazywamy przepływem

• Przepływ jest stacjonarny, gdy w określonym punkcie przestrzeni prędkość przepływu jest stała niezależnie od czasu

• Przepływ jest laminarny gdy wszystkie cząstki płynu poruszają się po torach równoległych do siebie

Hydromechanika (hydrostatyka, hydrodynamika)

• Gazy w odróżnieniu od cieczy muszą znajdować się w stanie sprężonym i odznaczają się dużą ściśliwością

• Nie będziemy wnikać w budowę molekularną ale będziemy płyny traktować jako ośrodki ciągłe to znaczy, że gęstość jest ciągłą funkcją współrzędnych przestrzennych

Hydrostatyka

• Prawo Pascala: Ciśnienie rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo, także w cieczach nieściśliwych i nieważkich

• Ciśnienie hydrostatyczne: p_h = ρ_chg

• Ciśnienie na pewnej głębokości h jest większe od ciśnienia zewnętrznego p_z o ciężar słupa cieczy o wysokości h

• Ciśnienie rośnie liniowo z głębokością i nie zależy od kształtu naczynia

Ciśnienie całkowite

• p_c = p_z + ρ_chg

• p_c – ciśnienie całkowite [Pa]

• p_z – ciśnienie zewnętrzne [Pa]

• ρ_c – gęstość cieczy [kg/m³]

• h – wysokość słupa cieczy [m]

• g – przyspieszenie ziemskie [kgm/s²]

Ciśnienie aerostatyczne

• Ciśnienie powietrza zmienia się wykładniczo wraz z wysokością h

• e ≈ 2,718…

• ρ₀ – gęstość powietrza w 273 K

• p₀ = 1,013251·10⁵N/m²

Prawo Archimedesa: na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi wypartej przez to ciało cieczy

• Q = Vρg (ciężar ciała) ρ – gęstość ciała

• W = Vρ₀g (siła wyporu) ρ₀ – gęstość cieczy

• R = W – Q (siła wypadkowa)

• ρ > ρ₀ ; R < 0 ciało tonie

• ρ=ρ₀; R=0 ciało pływa na dowolnej głębokości

• ρ < ρ₀; R>0 ciało pływa częściowo zanurzone

Prawo Torricellego

Prędkość wypływu cieczy doskonałej z otworu na głębokości h pod powierzchnią swobodną cieczy jest równa prędkości ciała swobodnie spadającego w próżni z wysokości h.

2R»2r

Miary przepływu

• Strumień masy Φ_m = m/t [kg/s]

• Strumień objętości Φ_V = V/t [m³/s]

• Strumień energii Φ_E = E/t [J/s]

Równanie ciągłości masy

v₁S₁ρ₁Δt = v₂S₂ ρ₂Δt

ρ₁ = ρ₂

v₁S₁ = v₂S₂ = const

Prawo Bernouliego (przepływ ustalony, ciecz doskonała)

Prawo dotyczące przepływu cieczy doskonałej przez przewód o zmiennym przekroju. Wiąże ono ciśnienia p i prędkości v przepływu płynu przez poszczególne przekroje poprzeczne strugi z wysokościami względem obranego poziomu odniesienia h. Trzy wyrazy równania przedstawiają kolejno: energie potencjalną elementu płynu w polu ciężkości, energię kinetyczną tego elementu oraz energię potencjalną wynikajacą z istnienia gradientu ciśnienia.

• p + ½ρv² + ρgh = const

• p – ciśnienie statyczne

• ½ρv² – ciśnienie dynamiczne

• ρgh – ciśnienie hydrostatyczne

• Suma energii kinetycznej, potencjalnej i ciśnienia jednostki masy (lub objętości) ustalonego przepływu cieczy doskonałej jest wielkością stałą

Rozkład prędkości cieczy w rurze

Współczynnik lepkości

S – powierzchnia płyty

∆v/∆x – stosunek spadku prędkości do przyrostu głębokości

η – współczynnik proporcjonalności

Współczynnik proporcjonalności η nazywamy dynamicznym współczynnikiem lepkości cieczy lub współczynnikiem tarcia wewnętrznego

η [Ns/m²]≡[Pas]≡[kg/ms]

P (puaz) ≡ [Ns/10m²]

Krew

• Krew stanowi zawiesinę erytrocytów (krwinki czerwone), leukocytów (krwinki białe) i trombocytów (płytki krwi) w plazmie i jest środowiskiem zapewniającym transport różnorodnych substancji w organiźmie. Krew rozprowadza przede wszystkim gazy oddechowe tlen i dwutlenek węgla.

• Krew jest płynem nie spełniającym warunków Newtona, jest to płyn plastyczno-lepki

• Lepkość krwi zależy od:

• hematokrytu (stosunek objętości krwinek do objętości krwi)

• temperatury

• przekroju naczynia

• η_powietrza = 17,8·10^-6 η_wody = 10·10^-4

• η_krwi = 20·10^-4 [kg/ms]

Temperatura a lepkość krwi

• Lepkość krwi podobnie jak innych płynów wykładniczo zależy od temperatury

• W temperaturze 0^o C krew jest 2,5 razy bardziej lepka niż w temperaturze 37^oC

Serce

• Rytmiczne skurcze i rozkurcze serca wymuszają ruch krwi w układzie krążenia

• Serce stanowi rodzaj pompy, która nie zużywa energii do napełniania (przedsionki i komory napełniają się w sposób bierny), serce zużywa energię podczas opróżniania

• Nie jest pompą ssąco-tłoczącą, nie wytwarza podciśnienia podczas napełniania. Ciśnienie w komorach jest zawsze dodatnie

Fala tętna

Rytmiczne skurcze serca wprowadzają do układu tętniczego zarówno dużego jak i płucnego, w odstępach około 0,8 s, takie same objętości krwi około 70 cm³ (pojemność wyrzutowa serca w spoczynku). Dzięki dużemu oporowi obwodowemu krew ta nie od razu zostaje włączona w obieg krążenia, lecz rozciąga podatne ściany tętnicy głównej, dzięki czemu tuż za sercem tworzy się wybrzuszenie, które rozchodzi się w kierunku obwodowym w postaci fali tętna

Liczba Reynoldsa

• Eksperymenty pokazują, że w pewnych warunkach przepływ laminarny przechodzi w turbulentny (burzliwy)

R_e = vdρ/η

• v – prędkość cieczy,

• d – średnica rury,

• ρ – gęstość cieczy

• η - współczynnik lepkości

• R_e < 2000 (2300) przepływ laminarny

• R_e > 3000 przepływ turbulentny

• 2000 (2300) < R_e < 3000 charakter nieustalony

Siły aero- i hydrodynamiczne

• Siły aero- i hydrodynamiczne wynikają z lepkości płynu opływającego przeszkodę - opór tarcia oraz z różnicy ciśnień przed i za przeszkodą powstającej w wyniku opływu turbulentnego – opór ciśnienia

• O tym który rodzaj oporu przeważa, decyduje kształt i położenie ciała względem kierunku ruchu

R_a,h = ½ρC_x(α)Sv²

gdzie:

ρ – gęstość płynu [kg/m³]

C_x(α) – współczynnik kształtu zależny od kierunku opływu [-]

S – pole powierzchni przekroju czołowego [m²]

v – prędkość płynu względem obiektu

Opór ciał o różnym kształcie

S = const, ρ = const, v² = const

Zmienia się kształt czyli C_x

Przyjęto, że opór kształtu opływowego jest równy 1

Siłą i moc oporu aero- i hydrodynamicznego

R_a,h = ½ρC_x(α)Sv²

Dla tego samego obiektu poruszającego się w określonym płynie siła oporu zależy od kwadratu prędkości natomiast moc od prędkości w trzeciej potędze:

R_a,h = kv² P_a,h = kv³

Ciśnienie hydrostatyczne krwi Prędkości przepływu krwi

Schemat układu krwionośnego Przepływ krwi w układzie krwionośnym

Przekształcenie krwinki w zależności od szybkości przepływu

Siły i momenty sił działające na jacht żaglowy w ruchu

• Siły i momenty aerodynamiczne

• Siły i momenty hydrodynamiczne

• Siły i momenty grawitacyjne

• Siły i momenty hydrostatyczne

Składowe siły aerodynamicznej działającej na jacht żaglowy w płaszczyźnie poziomej

A – siła aerodynamiczna

X_A – siła napędowa

Y_A – siła dryfu

W – prędkość wiatru