Zdanie logiczne jest zdaniem oznajmującym, któremu można przypisać jedną z wartości logicznych. W logikach dwuwartościowych są nimi prawda albo fałsz. Ponieważ język logiki i matematyki znacznie różnią się od języków naturalnych, możemy modyfikować określenie podane w poprzednim zdaniu tak, aby dopasować je do wymogów języków formalnych. I tak możemy określać zdanie logiczne jako wyrażenie (niekoniecznie o skończonej długości), złożone z symboli danego języka połączonych relacjami iloczynu logicznego, sumy logicznej i negacji, któremu można (przynajmniej teoretycznie) podporządkować jedną z wartości logicznych.

Przykłady zdań

Pada teraz deszcz.

Jest to zdanie w sensie logiki gdyż można mu przypisać wartość prawda lub fałsz.

Idź do domu!

Nie jest to zdanie w sensie logiki gdyż nie można mu przypisać wartości prawda lub fałsz.

Zasada sprzeczności, współcześnie coraz powszechniej nazywana zasadą niesprzeczności to prawo logiczne w postaci dla klasycznego rachunku zdań głoszące, że:

w postaci dla klasycznego rachunku kwantyfikatorów, że:

Koniunkcję zdania p z jego negacją, zapisywaną

nazywamy zdaniem sprzecznym. Każde zdanie sprzeczne jest zdaniem fałszywym. Stąd prawo niesprzeczności jako negacja zdania sprzecznego jest zdaniem prawdziwym.

W postaci dla klasycznego rachunku zdań zasada niesprzeczności w interpretacji metalogicznej głosi, że z dwóch zdań sprzecznych co najwyżej jedno jest prawdziwe, a w interpretacji ontologicznej, że nic nie może zarazem zachodzić i nie zachodzić. Zasada sprzeczności dla rachunku kwantyfikatorów jest natomiast interpretowana według tradycji pochodzącej od Arystotelesa - głosi ona, że danemu przedmiotowi nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać ta sama własność. Mimo że zasada sprzeczności była przez większość filozofów uznawana za oczywistą, istnieli jednak tacy, którzy ją odrzucali. Istnieją także tolerujące sprzeczność logiki parakonsystentne.

Zdania sprzeczne bywają nazywane absurdami. Należy tu zauważyć, że nie są one nonsensami rozumianymi jako wypowiedzi pozbawione znaczenia, ale pełnoprawnymi zdaniami w sensie logicznym.

Zasada niesprzeczności (principium non contradictionis)^[3] ujmowana jest wzorem ¬ (p ∧ ¬ p). Mówi ono, iż zaprzeczenie koniunkcji zdania z jego negacją jest prawdziwe; albowiem koniunkcja: p ∧ ¬ p jest zdaniem sprzecznym. Zgodnie z nią dana rzecz nie może zarazem istnieć i nie istnieć, a dany przedmiot nie może mieć daną cechę i zarazem jej nie mieć. Inaczej mówiąc, z dwóch zdań sprzecznych nie mogą być oba prawdziwe. Arystotelesowi przypisuje się zdanie wyrażające omawianą zasadę: "niepodobna, ażeby coś zarazem było i nie było".

W średniowieczu rozwinął je Duns Szkot doprowadzając do wzoru: (p ∧ ¬ p) ⇒ q, które można przedstawić słownie: jeśli p i nie-p, to q, a na przykładzie: jeśli pies i nie-pies, to kot. Prawo Dunsa Szkota mówi więc, że ze zdania sprzecznego można wyprowadzić dowolne inne zdanie.

Natomiast Jan Łukasiewicz rozbudował tą zasadę o trzy kolejne:

• ontologiczną zasadę sprzeczności - mówiącą, iż żadnemu przedmiotowi nie może zarazem przysługiwać i nie przysługiwać ta sama cecha.

• logiczną zasadę sprzeczności - twierdzącą, że dwa sądy, z których jeden przyznaje danemu przedmiotowi daną cechę, a drugi nie przyznaje temu przedmiotowi tej cechy, nie mogą być zarazem prawdziwe.

• psychologiczną zasadę sprzeczności - głoszącą, że dwa przekonania, którym odpowiadają dwa sądy sprzeczne, nie mogą istnieć w tym samym czasie w jednym umyśle.

O ile ostatnia z wymienionych zasad może - biorąc pod uwagę dorobek psychologii - budzić wątpliwości; o tyle dwie pozostałe są powszechnie przyjmowane.

Myślę iż stosowanie prawa wyłączonego środka do przesłanek argumentu, więc
albo przesłanka jest prawdziwa albo jej negacja jest czasami kłopotliwe.
Wyobraźmy sobie przesłankę.
Wypadnięcie jednego włosa z głowy powoduje wyłysienie.
Dla uproszczenia łysym może być tylko taki ktoś, kto nie ma w ogóle włosów na głowie.

Teraz czy prawdziwe jest to zdanie, czy jego negacja?
Wygląda na to, że do końca ani to zdanie ani jego negacja nie są prawdziwe.
Czasami wypadniecie włosa powoduje wyłysienie, ale czasami nie.
Zdania którym w przypadku których nie można jednoznacznie ustalić czy są prawdziwe czy ich negacje są zdaniami wieloznacznymi.
Jak zmodyfikujemy zdanie na: Zawsze wypadnięcie jednego włosa z głowy powoduje wyłysienie, albo Czasami..............
To bez problemu ustalimy czy jest prawdziwe zdanie czy jego negacja.

Prawo wyłączonego środka (łac. tertium non datur) jedno z podstawowych praw klasycznego rachunku zdań.

Prawo to mówi, że dla dowolnego zdania w sensie logiki p albo ono samo jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie. Symbolicznie:

Jednakże interpretacja ta jest poprawna jedynie w logice dwuwartościowej - czyli takiej, w której przyjmuje się, że każde zdanie jest albo prawdziwe, albo fałszywe - i na gruncie takiej logiki jest ono powyższej zasadzie równoważne.

Właściwsze jest następujące odczytanie prawa wyłączonego środka:

dla dowolnego zdania p prawdą jest, że p lub nie p.

Tak odczytane prawo wyłączonego środka obowiązuje również w wielu logikach wielowartościowych, mimo że żadne ze zdań p i nie p nie musi być prawdziwe.

Niektóre logiki, na przykład logika intuicjonistyczna, nie akceptują prawa wyłączonego środka jako znajdującego zastosowanie do wszystkich form twierdzeń. Na przykład twierdzenia o istnieniu obiektu zdaniem intuicjonistów wymagają nie tylko wykazania sprzeczności wynikającej z jego nieistnienia, ale także jego jawnej konstrukcji.

Prawo wyłączonego środka – jedno z podstawowych praw rachunku zdań.
Prawo to mówi, że dla dowolnego zdania p ono samo jest prawdziwe albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie:

\[p\or\neg p \]

Prawo to implikuje brak "trzeciej możliwości" (łac. tertium non datur). Tym samym obowiązuje jedynie w klasycznym rachunku zdań, opartym na logice dwuwartościowej. W logice wielowartościowej (również w logice rozmytej) prawo wyłączonego środka nie obowiązuje. Znane są także historyczne prądy w filozofii matematyki (intuicjonizm), które dla pewnych kategorii zdań głosiły niewłaściwość stosowania zasady wyłączonego środka.

Prawo podwójnego przeczenia występuje we wzorze: ¬ ¬ p → p lub odwrotnie ujmując p → ¬ ¬ p; czyli nie-nie-p to p albo p to nie-nie-p.

Tak zwane tabelki zero-jedynkowe służą do określania

prawdziwości lub fałszywości zdań zawierających spójniki

logiczne. Prawdę lub fałsz nazywamy wartością logiczną

zdania. W notacji logicznej symbol 0 oznacza zdanie

fałszywe, natomiast 1 zdanie prawdziwe. Wartość logiczną

zdania prostego zapisujemy zwykle pod (lub nad)

odpowiadającą mu zmienną, wartość logiczną zdania

złożonego zapisujemy pod głównym spójnikiem tego zdania.

Negacja

~ p

1 0

0 1

Tabelka dla negacji ukazuję dość oczywistą prawidłowość, że negacja zmienia wartość

logiczną zdania.

Gdy weźmiemy dowolne zdanie fałszywe (oznaczone – 0) i następnie zanegujemy je, to

otrzymamy zdanie prawdziwe (oznaczone 1). Na przykład: Gdańsk jest stolicą Polski – fałsz,

Gdańsk nie jest stolicą Polski – prawda. Natomiast poprzedzenie negacją zdania prawdziwego

czyni z niego zdanie fałszywe. Na przykład: Kraków leży nad Wisłą – prawda, Kraków nie

leży nad Wisłą – fałsz.

Koniunkcja

p ∧ q

0 0 0

0 0 1

1 0 0

1 1 1

21

Tabelka dla koniunkcji pokazuje, że gdy przynajmniej jeden z członów tworzących

koniunkcję jest fałszywy, to całe zdanie złożone też jest fałszywe. Aby zdanie było

prawdziwe, prawdziwe muszą być oba człony koniunkcji.

Przykładowo, gdy ktoś stwierdza: W tym roku byłem w Afryce i Australii, a my skądinąd

wiemy, że nie był on ani w Afryce, ani w Australii (oba człony koniunkcji fałszywe –

pierwszy rząd w tabeli), to oczywiście całą wypowiedź należy uznać za fałszywą. Podobnie,

gdyby okazało się, że wypowiadający zdanie był tylko w jednym z wymienionych miejsc

(drugi i trzeci rząd w tabeli – jeden człon koniunkcji prawdziwy, a drugi fałszywy), to cała

wypowiedź w dalszym ciągu pozostaje fałszywa. Dopiero w przypadku prawdziwości obu

członów koniunkcji (ostatni wiersz tabeli) całe zdanie złożone należy uznać za prawdziwe.

Alternatywa

p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 1 0

1 1 1

Tabelka dla alternatywy pokazuje, iż jest ona zdaniem fałszywym tylko w jednym

przypadku – gdy oba jej człony są fałszywe. Gdy przynajmniej jeden człon jest zdaniem

prawdziwym – prawdziwa jest również cała alternatywa.

Gdy w prognozie pogody słyszymy, że będzie padał deszcz lub śnieg, tymczasem

następnego dnia nie będzie ani deszczu, ani śniegu (czyli oba człony alternatywy okażą się

zdaniami fałszywymi), to całą prognozę należy uznać za fałszywą. Gdy jednak spadnie sam

deszcz (pierwszy człon prawdziwy), sam śnieg (drugi człon prawdziwy), lub też i śnieg i

deszcz (oba człony alternatywy prawdziwe), zdanie mówiące że będzie padał deszcz lub śnieg

okazuje się prawdziwe.

Uwaga na marginesie.

Jeżeli ktoś ma wątpliwości co do ostatniego wiersza tabelki dla alternatywy, to są to wątpliwości

całkowicie uzasadnione. Tabelka ta ilustruje bowiem tylko jedno ze znaczeń, w jakim alternatywa jest używana.

Znaczenie to można opisać zwrotem przynajmniej jedno z dwojga; czy też jedno lub drugie lub oba naraz – jest

to tak zwana alternatywa nierozłączna. W języku potocznym alternatywy używamy też często w znaczeniu

dokładnie jedno z dwojga; albo tylko jedno, albo tylko drugie (alternatywa rozłączna). W takim rozumieniu

alternatywy w ostatnim wierszu tabelki powinno pojawić się zero. W niektórych systemach logicznych oba

znaczenia alternatywy są starannie rozróżniane (jest to szczególne istotne dla prawników) i oddawane przy

pomocy różnych symboli (najczęściej ⊥ – dla alternatywy rozłącznej).

Implikacja

p → q

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Z tabelki dla implikacji możemy dowiedzieć się, że zdanie, którego głównym spójnikiem

jest jeśli... to może być fałszywe tylko w jednym wypadku, mianowicie, gdy jego poprzednik

jest prawdziwy, natomiast następnik fałszywy.

Jako przykładem ilustrującym tabelkę dla implikacji posłużymy się zdaniem

wypowiedzianym przez ojca do dziecka: Jeśli zdasz egzamin, to dostaniesz komputer. Gdy

następnie dziecko nie zdaje egzaminu i komputera nie dostaje (pierwszy wiersz tabeli –

poprzednik i następnik implikacji fałszywe) lub gdy zdaje egzamin i dostaje komputer (ostatni

wiersz tabeli – poprzednik i następnik implikacji prawdziwe), to nie powinno być

wątpliwości, że obietnica ojca okazała się prawdziwa. Gdy natomiast dziecko zdaje egzamin,

a jednak komputera nie dostaje (trzeci wiersz tabeli – poprzednik implikacji prawdziwy, a

następnik fałszywy), należy wówczas uznać, że ojciec skłamał składając swoją obietnicę.

Pewne kontrowersje może budzić uznanie za prawdziwego zdania w przypadku, gdy

poprzednik implikacji jest fałszywy, natomiast następnik prawdziwy (drugi wiersz tabeli),

czyli w naszym przykładzie, gdy dziecko wprawdzie nie zdało egzaminu, a mimo to dostało

komputer. Zauważmy jednak, że wbrew pozorom ojciec nie łamie wcale w takim przypadku

obietnicy dania komputera po zdanym egzaminie – nie powiedział on bowiem, że jest to

jedyny przypadek, gdy dziecko może otrzymać komputer. Powiedzenie, że jeśli zdasz

egzamin, to dostaniesz komputer, nie wyklucza wcale, że dziecko może również dostać

komputer z innej okazji, na przykład na urodziny.

Powyższe wytłumaczenie drugiego wiersza tabelki dla implikacji może się wydawać

nieco naciągane, a jest tak dlatego, że w języku potocznym często wypowiadamy zdania typu

jeśli... to rozumiejąc przez nie wtedy i tylko wtedy (którego to zwrotu nikt raczej nie używa).