Geodezja górnicza i metrologia – sprawozdanie z projektu

Joanna Policht nr indeksu 247932

Marzena Połeć nr indeksu 247933

II rok GiG, Grupa 7

SPIS TREsci

Informacje wstępne 3

Zadanie 1. 3

Zadanie 2. 4

Zadanie 3. 4

Zadanie 4. 5

Zadanie 5. 7

Zadanie 6. 8

Zadanie 7. 9

Wnioski 9

Informacje wstępne

Do wykonania ćwiczenia otrzymaliśmy mapę wysokościową. Jej skala wynosiła 1:5000. Za pomocą kroczka i podziałki transwersalnej należało zdjąć współrzędne punktów zaznaczonych na mapie, a następnie na podstawie tych współrzędnych wykonać kilka zadań, których treści były zamieszczone obok mapy. Oto one:

1. Zdjąć współrzędne punktów 101, 102, 103 oraz 1, 2, 3, 4, 5, 6

2. Obliczyć ze współrzędnych długości odcinków: 101-102, 102-103

3. Obliczyć ze współrzędnych azymuty boków 101-102 i 102-103 oraz kąt 101-102-103

4. Narysować profil wzdłuż linii przekroju A-A w skali 1:50/5000

5. Metodą analityczną (ze wzoru Gaussa) obliczyć pole powierzchni wieloboku 1-6

6. Dwukrotnie wyznaczyć pole wielokąta 1-6 metodą graficzną (podział na trójkąty)

7. Porównać wartości pól powierzchni wyznaczonej analitycznie (wzór Gaussa) i graficznie (metoda trójkątów).

Zadanie 1.

Przy pomocy kroczka i podziałki transwersalnej mogliśmy wyznaczyć współrzędne zaznaczonych na mapie punktów, mianowicie:

101 (4173,7331)

102 (4083,7594)

103 (4788,7633)

1 (4344,7767)

2 (4396,7825)

3 (4130,8194)

4 (3890,8067)

5 (3890,7836)

6 (3947,7777)

Zadanie 2.

Na podstawie danych z zadania pierwszego można obliczyć poszczególne Δx oraz Δy, a następnie wyznaczyć przy ich pomocy długości odcinków 101-102 i 102-103.

Δx=4083-4173= -90 Δy=7594-7331= 263

Δx=4788-4083= 750 Δy=7633-7594= 39

Liczymy długości poszczególnych odcinków:

|101-102|=$\sqrt{{(263}^{2} + \left( - 90 \right)^{2}})$= $\sqrt{69169 + 8100}$=$\sqrt{77269}$≈277,973

|102-103|=$\sqrt{{(39}^{2} + 750^{2}})$= $\sqrt{1521 + 562500}$=$\sqrt{564021}$≈701,01331

	x	y
101	4173	7331
102	4083	7594
103	4788	7633

Δx	Δy	tg ϕ	ϕ	α
-90	263	2,9(2)	79,0097ᵍ	120,9903ᵍ
750	39	0,052	3,3074ᵍ	3,3074ᵍ

Zadanie 3.

Ze współrzędnych wyznaczonych w zadaniu pierwszym należało obliczyć azymuty odcinków 101-102 i 102-103, a także wyznaczyć kąt 101-102-103.

Do wyznaczania azymutów przydatne były 3 informacje:

1. Δx oraz Δy (różnice) z zadania wcześniejszego dla punktów granicznych odcinka (zarówno dla współrzędnych pierwszych jak i drugich);

2. Wyznaczenie kąta ze wzoru:

$\mathbf{\ }\varphi = arctg|\frac{\text{Δy}}{\text{\ Δx}}|$

(już wcześniej wyliczone i podane w tabelce wyżej)

1. Określenie ćwiartki z wyznaczonych wcześniej różnic i obliczenie azymutów z przypisanych do odpowiednich ćwiartek wzorów:

Jeśli :

Δx⁺ i Δy⁺ jest to ćwiartka I i obowiązuje wzór: Az = φ

Δx^- i Δy⁺ jest to ćwiartka II i obowiązuje wzór: Az = 200^g - φ

Δx^- i Δy^- jest to ćwiartka III i obowiązuje wzór: Az = 200^g + φ

Δx⁺ i Δy^- jest to ćwiartka IV i obowiązuje wzór: Az = 400^g - φ

• Zatem liczymy azymut odcinka 101-102:

Δx = -90 Δy = 263 => II ćwiartka

Kąt φ: $\mathbf{\varphi} = arctg\left| \frac{\text{Δy}}{\text{\ Δx}} \right| = \ \text{arctg}\left| \frac{263}{- 90} \right| = arctg2.9(2) = \mathbf{79}^{\mathbf{g}}\mathbf{00}^{\mathbf{c}}\mathbf{97}^{\mathbf{\text{cc}}}$

Azymut odcinka 101-102: Az = 200^g - 79^g00^c97^cc  = 120^g99^c03^cc

• A także azymut odcinka 102-103:

Δx = 750 Δy = 39 => I ćwiartka

Kąt φ: $\mathbf{\varphi} = arctg\left| \frac{\text{Δy}}{\text{\ Δx}} \right| = \ \text{arctg}\left| \frac{39}{750} \right| = arctg0,052 = \mathbf{3}^{\mathbf{g}}\mathbf{30}^{\mathbf{c}}\mathbf{74}^{\mathbf{\text{cc}}}$

Azymut odcinka 101-102: Az = φ = 3^g30^c74^cc

• Oraz kąt 101-102-103:

Okrąg ma 360˚, a więc 400ᵍ. Znając tą informację oraz wyznaczone wcześniej azymuty, możemy wyliczyć kąt 101-102-103 lub też rozrysowując i dzieląc na trójkąt, wyliczając odpowiednie boki

ᶲ101 − 102 − 103=200^g − 20^g99^c03^cc −  96^g69^c26^cc =  82^g31^c71^cc 

Zadanie 4.

To zadanie ze względu na precyzję, wykonałyśmy w programie Excel. Najpierw jednak należało przy pomocy kroczka i podziałki transwersalnej wyznaczyć odległości pomiędzy punktami 101,102 i 103. Gdy już to wykonałyśmy sporządziłyśmy tabelkę z wartościami: odległością między kolejnymi poziomicami [m] oraz ich wysokościami [m n.p.m.]. Na ich podstawie wykonałyśmy profil w skali 1:50/5000

Odległość [m]	Wysokość [m n.p.m.]
0	280,38
20	280,5
49	280,75
72	281
96	281,25
115	281,5
133	281,75
150	282
167	282,25
185	282,5
209	282,75
251	283
289	283,25
450	283
545	282,75
631	282,5
696	282,25
731	282
761	281,75
793	281,5
822	281,25
850	281
881	280,75
926	280,5
990	280,15

Zadanie 5.

Zadanie to polegało na wyliczeniu pola wieloboku 1-6 metodą analityczną, czyli metodą Gaussa.

W tym celu należało użyć wzoru Gaussa:

$$\mathbf{- 2}\mathbf{P =}\sum_{\mathbf{i}}^{\mathbf{n}}{\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i + 1}}\mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{i - 1}} \right)\mathbf{y}_{\mathbf{i}}}$$

$$\mathbf{\ \ \ 2}\mathbf{P =}\sum_{\mathbf{i}}^{\mathbf{n}}{\left( \mathbf{y}_{\mathbf{i + 1}}\mathbf{-}\mathbf{y}_{\mathbf{i - 1}} \right)\mathbf{x}_{\mathbf{i}}}$$

Ułatwieniem w obliczeniach będzie wykonanie tabeli z odpowiednimi wartościami.

Numer punktu	xi	yi	xi + 1−xi − 1	yi + 1−yi − 1
1	4344	7767	449	48
2	4396	7825	-214	427
3	4130	8194	-506	242
4	3890	8067	-240	-358
5	3890	7836	57	-290
6	3947	7777	454	-69
			∑=0	∑=0

Podstawiając te dane do wzorów otrzymujemy:

2P=292001/: 2

P=146 000,5 [m²]

-2P=-292000/: (-2)

P=146 000,5 [m²]

Zadanie 6.

W zadaniu tym należało obliczyć pole wieloboku 1-6 metodą graficzną, czyli dzieląc wielobok na trójkąty, licząc ich pole i następnie je sumować. Po obliczeniu należało wykonać ćwiczenie raz jeszcze z uwzględnieniem innych trójkątów, prowadząc odcinki z innego wierzchołka.
Wysokości trójkątów należało zmierzyć za pomocą troczka i podziałki transwersalnej.

• Dzieląc wielobok od wierzchołka 1(4344,7767) otrzymaliśmy następujące trójkąty:

P₁₅₆=460*50*$\frac{1}{2}$=11500

P₁₅₄=540*188*$\frac{1}{2}$=50760

P₁₄₃=540*238*$\frac{1}{2}$=64260

P₁₃₂=483*77*$\frac{1}{2}$=18595,5

∑=145 115,5 [m²]

• Dzieląc wielobok od wierzchołka 2(4396,7825):

P₂₆₁=452*53*$\frac{1}{2}$=11978

P₂₆₅=505*59*$\frac{1}{2}$=14897,5

P₂₅₄=508*210*$\frac{1}{2}$=53340

P₂₄₃=508*223*$\frac{1}{2}$=56642

∑=136 857,5 [m²]

Zadanie 7.

Porównanie wyników.
Metoda Gaussa: 146 000,5 [m²]
Metoda analityczna: 145 115,5 [m2] oraz 136 857,5 [m²]

Różnica pomiędzy polem wyliczonym metodą Gaussa a metodą analityczną mierzoną z wierzchołka 1 wynosi 885 metrów kwadratowych, zaś z wierzchołka 2 jest to już 9143 metry kwadratowe, a więc niemal 10tyś. Taka rozpiętość wynika z niedokładnie pomierzonych współrzędnych, nie wykluczone, że także wynik obliczony metodą Gaussa jest błędny.

Wnioski

Każde niedokładne zmierzenie współrzędnych czy też odległości skutkuje błędnymi wynikami, które są powielane w kolejnych obliczeniach i końcowy wynik kolosalnie różni się od prawdziwego. Dlatego ważne jest, aby starać się mierzyć jak najdokładniej, aby nasze wyniki nie odbiegały od tego co jest w rzeczywistości. Stąd też profil warto wykonać komputerowo, nie zaś ręcznie, gdyż uzyskamy dzięki temu większą dokładność i precyzję.