WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

Modelowanie matematyczne

Zadanie domowe

Grupa szkoleniowa: I8Y3S1

Prace wykonał: Piotr Potapczuk

Prowadzący ćwiczenie: mgr inż. Michał Kapałka

Opis werbalny problemu

Telekomunikacja Polska S.A chce przeprowadzić akcje promocyjną dotyczącą nowego planu taryfowego dla swoich obecnych klientów. Akcja realizowana jest za pomocą reklamy telefonicznej we wszystkich województwach w Polsce. W każdym z ośrodków w danym województwie zatrudnieni są zarówno nowi telemarketerzy (nowicjusze) oraz stali pracownicy telemarketerzy (doświadczeni). Wszyscy pracownicy pracują tyle samo godzin na dobę lecz za różną stawkę – w zależności czy się jest nowicjuszem czy doświadczonym. Różna jest też wydajność każdego z pracowników – wyliczana jako ilość pozyskanych klientów przez godzinę pracy.
Ponadto dla poprawy wydajności pracy w każdym z województw musi pracować grupa doświadczonych telemarketerów oraz grupa nowicjuszy.

Firma chce uzyskać co najmniej ustaloną na początku minimalna ilość zamówień nowej taryfy w każdym z województw możliwie szybko, mieszcząc się jednocześnie w przeznaczonym na to budżecie.

Opis cech.

L_W −  ilosc wojewodztw

L_N −  ilosc nowych telemarketerow

L_D −  ilosc doswiadczonych telemarketerow

Z_W^′ −  zbior numerow wojewodztw 

Z_N^′ −  zbior numerow nowych telemarketerow 

Z_D^′ −  zbior numerow doswiadczonych telemarketerow

$K_{i} - \ minimalna\ ilosc\ pozyskanych\ klientow\ w\ i - tym\ wojewodztwie\ \ \ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{W}}$

$W_{\text{Ni}} - \ wydajnosc\ nowego\ telemarketera\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{N}}$

$W_{\text{Di}} - \ wydajnosc\ doswiadczonego\ telemarketera\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{D}}$

$S_{\text{Ni}} - \ stawka\ wynagrodzenia\ nowego\ telemarketera\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{N}}$

$S_{\text{Di}} - \ stawka\ wynagrodzenia\ doswiadczonego\ telemarketera\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{D}}$

B −  zaplanowany budzet

K −  rzeczywisty koszt przeprowadzonej akcji (suma pensji pracowników)

C −  czas trwania akcji ( w godz)

$Z_{\text{Ni}} - \ zb.\ numerow\ nowych\ telem.\ pracyjacych\ w\ i - tym\ wojew.\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{W}}$

$Z_{\text{Di}} - \ zb.\ numerow\ dosw.\ \ telem.\ \ pracyjacych\ w\ i - tym\ wojew.\ \ \ \ \ i = \overline{1,L_{W}}$

Zbiór wartości dopuszczalnych:

$\dot{X} = \{ < L_{W},N > \ ,\ < L_{N},N > , < L_{D},N > , < Z_{W}^{'},2^{N} > , < Z_{N}^{'},2^{N} > ,\ \ < Z_{D}^{'},2^{N}\ > ,\ \ \{{< K_{i},N > \}}_{i = 1}^{\text{Lw}}\ \ ,\ \ \ \{{< W_{\text{Ni}},N > \}}_{i = 1}^{L_{N}}\text{\ \ }$, {<W_Di, N > }_i = 1^L_D , {<S_Ni, R₊ > }_i = 1^L_N ,
 {<S_Di, R₊ > }_i = 1^L_D , <B, R₊ > ,  < K, R₊ >  ,    < C, N >   ,    {<Z_Ni, 2^N > }_i = 1^L_W ,
 {<Z_Di, 2^N > }_i = 1^L_W }

R = { < Z₁, Y₁, R₁ > ,  < Z₂, Y₂, R₂ > ,   < Z₃, Y₃, R₃ >  ,     < Z₄, Y₄, R₄ > ,  < Z₅, Y₅, R₅ > ,   ∖ n

Z₁ – Uzyskanie minimalnej ilości klientów w każdym z województw.
Y₁ = <L_W ,   Z_W ^′,  C , L_N,  L_D,  Z_N^′,  Z_D^′ ,    {Z_Ni}_i = 1^L_W  ,   {Z_Di}_i = 1^L_W  ,   {K_i}_i = 1^L_W  ,    {W_Ni}_i = 1^L_N,    {W_Di}_i = 1^L_D >
R₁= { < l_W ,   z_W ^′,  c , l_N,  l_D,  z_N^′,  z_D^′ ,    {z_Ni}_i = 1^l_W  ,   {z_Di}_i = 1^l_W  ,   {k_i}_i = 1^l_W  ,    {w_Ni}_i = 1^l_N,    {w_Di}_i = 1^l_D >

$$\in \ N^{4}\ \times \ \ {{(2}^{N})}^{3 + {2l}_{w}}\ \times \ N^{l_{w} + l_{N} + l_{D}}\ \ \ \ \ \ :\ \ \bigwedge_{i \in \text{\ z}_{\text{W\ }}^{'}}^{}{(\ c\ (\sum_{j \in z_{\text{Ni}}}^{}w_{\text{Nj}} + \sum_{j \in z_{\text{Di}}}^{}w_{\text{Dj}}\ ) \geq k_{i})}\ \ \}\backslash n$$

$$\bigwedge_{i \in \text{\ z}_{\text{W\ }}^{'}}^{}{(\ \ \ \bigvee_{j \in \text{\ z}_{\text{N\ }}^{'}}^{}{j\ \in \ }}z_{Ni}\ \ \land \ \bigvee_{k \in \text{\ z}_{\text{D\ }}^{'}}^{}{k\ \in \ \ }z_{\text{Di}}\ \ \ \ )\ \ \}$$

Z₃ – W akcji biorą udział wszyscy zatrudnieni pracownicy.
Y₃ = <L_N,  L_D ,  Z_N^′,  Z_D^′ >
R₃= { <l_N,  l_D , z_N^′,  z_D^′  > ∈ N²  ×   (2^N)²      : l_N +  l_D =  |z_N^′ ∪ z_D^′| }

Z₄ – Każde województwo jest uwzględniane w akcji.
Y₄ = <L_W,  Z_W ^′>
R₄= { <l_W,  z_W^′  > ∈ N  ×  2^N     : l_w  =  | z_w^′| }

Z₅ – Koszt akcji
Y₅ = <K, C , L_N,  L_D,  Z_N^′,  Z_D^′,   {S_Ni}_i = 1^L_N,  {S_Di}_i = 1^L_D>
R₅= { <k, c, l_N,  l_D,   z_N^′ ,  z_D^′ , {s_Ni}_i = 1^l_N,  {s_Di}_i = 1^l_D > ∈ N³  ×  (R₊)^{1 + l_N + l_D}×(2^N)²     :

$$k = c\ (\ \sum_{i \in \text{\ z}_{\text{N\ }}^{'}}^{}{s_{\text{Ni}} + \ \ }\ \sum_{j \in \text{\ z}_{\text{D\ }}^{'}}^{}{s_{\text{Dj}}\text{\ \ }})\ \}$$

Z₆ – Koszt akcji nie może przekroczyć zaplanowanego budżetu
Y₆ = <K, B>
R₆= { <k , b> ∈ (R₊)²     : k  ≤ b   }

Z₇ – Czas trwania całej akcji.
Y₇ = <L_W ,   Z_W ^′ , L_N,  L_D ,    {W_Ni}_i = 1^L_N,    {W_Di}_i = 1^L_D,   {Z_Ni}_i = 1^L_W  ,   {Z_Di}_i = 1^L_W  ,   {K_i}_i = 1^L_W  ,   C   >
R₇= { < l_W ,   z_W ^′ , l_N,  l_D,     {w_Ni}_i = 1^l_N,    {w_Di}_i = 1^l_D,   {z_Ni}_i = 1^l_W  ,   {z_Di}_i = 1^l_W  ,   {k_i}_i = 1^l_W  ,   c  >
∈ N^{4 + l_N + l_D + l_W} ×(2^N)^1 + 2l_W :

$$c = \ \operatorname{}{\left\{ \text{\ \ }\frac{k_{i}}{\sum_{j \in \text{\ z}_{\text{Ni\ }}^{'}}^{}{w_{\text{Nj}} + \ \sum_{k \in \text{\ z}_{\text{Di\ }}^{'}}^{}{w_{\text{Dk}}\text{\ \ }}\ }}\ \right\}\ \ \ \ \}}$$

Podział cech na dane , zmienne decyzyjne oraz wskaźniki:

Dane:
a = { L_W ,   Z_W ^′ , L_N,  L_D ,  Z_N^′,   Z_D^′,   {W_Ni}_i = 1^L_N,    {W_Di}_i = 1^L_D  ,   {S_Ni}_i = 1^L_N,  {S_Di}_i = 1^L_D,   {K_i}_i = 1^L_W  ,  B }

Zmienne decyzyjne:
x = < {Z_Ni}_i = 1^L_W  ,   {Z_Di}_i = 1^L_W >

Wskaźniki:
w = < C >

Analiza poziomu informacyjnego:

Decydent w chwili podejmowania decyzji zna wartości zmiennych:

a) L_W− ilość województw
b) L_N, L_D – ilość telemarketerów nowych i doświadczonych
c) W_Ni, W_Di – wydajność telemarketerów nowych i doświadczonych
d) S_Ni,  S_Di – stawka za godzinę pracy telemarketerów nowych i doświadczonych
e) K_i – minimalna ilość pozyskanych klientów dla każdego z województw
f) B – budżet

Decydent w chwili podejmowania decyzji nie zna wartości tych zmiennych gdyż będą one skutkiem podjętych przez niego decyzji.

a) K – rzeczywisty koszt przeprowadzenia akcji ( zał. że nie może przekroczyć danego B )
b) C – całkowity czas trwania akcji (dążymy do jego minimalizacji )
c) Z_Ni,  Z_Di – przyporządkowanie telemarketerów do odpowiednich województw

Określenie zbiorów poprawnych wartości danych, dopuszczalnych wartości zmiennych decyzyjnych oraz możliwych wartości wskaźników

A = { L_W ,   Z_W ^′ , L_N,  L_D ,  Z_N^′,   Z_D^′,   {W_Ni}_i = 1^L_N,    {W_Di}_i = 1^L_D  ,   {S_Ni}_i = 1^L_N,  {S_Di}_i = 1^L_D,   {K_i}_i = 1^L_W  ,   B   ∖ n  ∈ N^{3 + L_N + L_D + L_W} ×(2^N)³ × (R₊)^{1 + L_N + L_D} }

Ω(a) = { < {Z_Ni}_i = 1^L_W  ,   {Z_Di}_i = 1^L_W , K > ∈ (2^N)^2L_W  :     

$${\bigwedge_{i \in \text{\ Z}_{\text{W\ }}^{'}}^{}{(\ \ \ \bigvee_{j \in \text{\ Z}_{\text{N\ }}^{'}}^{}{j\ \in \ }}Z_{\text{Ni}}\ \ \land \ \bigvee_{k \in \text{\ Z}_{\text{D\ }}^{'}}^{}{k\ \in \ \ }z_{\text{Di}}\ \ \ \ )\ \ \ \ \ \ \ \ \land}{\bigwedge_{i \in \text{\ Z}_{\text{W\ }}^{'}}^{}{\left( \text{\ c\ }\left( \sum_{j \in Z_{\text{Ni}}}^{}w_{\text{Nj}} + \sum_{j \in Z_{\text{Di}}}^{}W_{\text{Dj}}\ \right) \geq K_{i} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \land \ }}$$

K ≤ B }

W(a) = { C   ∈ N :

$$c = \ \operatorname{}{\left\{ \text{\ \ }\frac{K_{i}}{\sum_{j \in \text{\ Z}_{\text{Ni\ }}^{'}}^{}{W_{\text{Nj}} + \ \sum_{k \in \text{\ Z}_{\text{Di\ }}^{'}}^{}{W_{\text{Dk}}\text{\ \ }}\ }}\ \right\}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \}}$$

Definicja funkcji oceny osiągnięcia celu

$$\text{Ea}\left( y \right) = \left\{ \begin{matrix} 1,\ gdy\ \& y = \operatorname{}{\operatorname{}{\left\{ \text{\ \ }\frac{K_{i}}{\sum_{j \in \text{\ Z}_{\text{Ni\ }}^{'}}^{}{W_{\text{Nj}} + \ \sum_{k \in \text{\ Z}_{\text{Di\ }}^{'}}^{}{W_{\text{Dk}}\text{\ \ }}\ }}\ \right\}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}} \\ 0,\ \ \& w\ przeciwnym\ przypadku \\ \end{matrix} \right.\ $$

Szukamy minimalnego czasu który jest w grupie najdłuższych (max ) czasów po których zakończyła się akcja w każdym z województw.

Sformułowanie zadania optymalizacyjnego:

Dla danych a ∈A wyznaczyć takie $x^{*} \in \ \mathrm{\Omega}\left( a \right),\ ze\ \bigwedge_{w \in W(a,x^{*})}^{}{\text{Ea}\left( w \right) = 1}$