WYKŁAD 1

Def: Rozmaitość wymiaru

Rozmaitością wymiaru (rzeczywistego) n ∈ ℕ nazywamy taką przestrzeń topologiczną Hausdorffa M, gdy dla każdego p ∈ M istnieje otoczenie U oraz homeomorfizm ϕ:U→V, gdzie V jest otwartym podzbiorem w ℝⁿ.

Odwzorowanie ϕ nazywa się mapą (rozmaitości M) na zbiorze U.

Def: Atlas klasy C^k

Atlasem klasy C^k, k ∈ ℕ na rozmaitości n – wymiarowej M nazywamy taką rodzinę map {ϕ_α}_α ∈ A, że jeżeli ϕ_α:U_α → V_α, to:

i) $\bigcup_{\alpha \in A}^{}U_{\alpha}$ = M

ii) jeżeli dla α, β ∈A U_α ∩ U_β ≠ ⌀ to złożenie ϕ_β ∘ ϕ_α⁻¹_{|ϕα(Uα ∩ Uβ)} jest klasy C^k na ϕ_α(U_α ∩ U_β)

ϕ_β ∘ ϕ_α⁻¹_{|ϕα(Uα ∩ Uβ)}- odwzorowanie przejścia

Jeżeli k = ∞, to atlas nazywa się gładki.

Jeżeli k = w tzn. odwzorowania ϕ_β ∘ ϕ_α⁻¹_{|ϕα(Uα ∩ Uβ)} są analityczne (w sensie rzeczywistym) to atlas nazywamy ℝ - analitycznym.

Jeżeli każde V_α ⊂ ℂⁿ ≃ ℝ²ⁿ oraz wszystkie odwzorowania przejścia są holomorficzne to atlas nazywamy holomorficznym.

𝒜 = {ϕ_α:U_α → V_α} – atlas

Stw: Atlas maksymalny

Zbiór wszystkich map zgodnych z atlasem 𝒜 na rozmaitości M jest atlasem na M o tej samej klasie gładkości co 𝒜 zawierającym A. Jest to największy (względem zawierania) atlas o tej samej klasie gładkości co 𝒜 zawierający 𝒜.

Def: Rozmaitość różniczkowa klasy C^k

Rozmaitością różniczkową klasy C^k wymiaru n ∈ ℕ nazywamy parę (M, 𝒜), gdzie M jest rozmaitością topologiczną wymiaru n, zaś 𝒜 jest atlasem maksymalnym klasy C^k na M.

Rozmaitość (M, 𝒜) jest wyznaczona jednoznacznie przez każdą parę (M, 𝒜₁), gdzie M jest rozmaitością topologiczną wymiaru n, zaś 𝒜₁ jest atlasem klasy C^k na takim, że 𝒜₁⊂𝒜.

WYKŁAD 2

Oznaczenia:

x:U→V⊂ℝⁿ - mapa. Piszemy również (U, x)

x = (x¹, x², …, xⁿ), x^j:U→ℝ - j-ta współrzędna mapy x

Odwzorowanie x nazywamy też UKŁADEM WSPÓŁRZĘDNYCH

𝒜 = {(U_α,  x_α)} _α ∈ A – atlas, gdy każde (U_α,  x_α) jest mapą oraz ∀ α, β ∈A x_β ∘ x_α⁻¹ jest klasy C¹ na swojej dziedzinie oraz $\bigcup_{\alpha \in A}^{}U_{\alpha}$ = M.

Mapa (U, x) jest zgodna z atlasem 𝒜 gdy 𝒜∪{(U, x)} jest atlasem tej samej klasy co 𝒜.

$\overset{\overline{}}{\mathcal{A}}$ - atlas maksymalny wyznaczony przez A jest to zbiór wszystkich map zgodnych z 𝒜.

SFERA RIEMANA

M = ℂ ∪ {∞}

Zbiór U nazywamy otwartym w M, gdy:

i) U⊂ℂ i U jest otw w ℂ w sensie topologii standardowej lub

ii) ∞ ∈ U oraz ℂ\U jest zwartym podzbiorem ℂ.

Pokazuje się, że M z tak zadaną topologią jest przestrzenią zwartą i spójną.

Iloczyn kartezjański rozmaitości

(M₁, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$), (M₂, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$) – rozmaitości klasy C^r, r≥1

Na M₁ × M₂ jest określona standardowa topologia iloczynu kartezjańskiego. Bazą tej topologii stanowią zbiory postaci U×V, gdzie U – jest otwarty w M₁, zaś V – jest otwarty w M₂.

ℬ ={U×V⊂M₁ × M₂:U∈τ₁, V∈τ₂}

Każda para map (x, y) taka, że x$\in \hat{\mathcal{A}_{1}}$, y$\in \hat{\mathcal{A}_{2}}$ określa mapę na M₁ × M₂ wzorem

(x, y)(p, q) :=(x(p), y(q))

Gdzie x:U→W, W⊂ℝⁿ, y:V→T, T⊂ℝ^m, p∈U, q∈V

(x, y):U×V→W×T.

Z faktu, że x, y są homeomorficzne wynika, że (x, y) jest homeomorfizmem. Rodzina map $\hat{\mathcal{A}}$=$\hat{\mathcal{A}_{1}} \times \hat{\mathcal{A}_{2}}$ jest atlasem klasy C^r na M₁ × M₂. Strukturę różniczkową (M₁ × M₂,$\ \hat{\mathcal{A}}$) nazywamy standardową strukturę iloczynu kartezjańskiego rozmaitości.

PODROZMAITOŚĆ

Niech (N, $\hat{\mathcal{A}}$) będzie rozmaitością różniczkową klasy C^r wymiary n.

Def. podrozmaitość

Mówimy, że podzbiór M zbory N jest podrozmaitością rozmaitości (N, $\hat{\mathcal{A}}$) wymiaru m≤n, gdy ∀ p∈M ∃ (U, x)$\in \hat{\mathcal{A}}$ x(U∩M) = x(U)∩(ℝ^m×{0})

U∩M⊂ℝⁿ=ℝ^m × ℝ^nm

M traktujemy jako podp topologiczną przestrzeni topologicznej N. Wybierzmy dla każdego p∈M taką mapę i ozn ją przez (U_p, x_p). Wówczas $\hat{\mathcal{A}_{M}}$={(U_p ∩ M, πx_{p|Up ∩ M})}_p ∈ M jest atlasem rozmaitości kl C^r na M.

Ponieważ p∈U_p, więc $\bigcup_{p \in M}^{}U_{p}$=M

Def:

Niech F:D→ℝ^m, D⊂ℝⁿ, będzie odwz co najmniej kl C¹. Punkt t∈D nazywamy punktem regularnym odwzorowania F, gdy pochodna F′(t)∈(ℝⁿ,  ℝ^m) ma maks możliwy rząd. (tzn., min{m, n})

Jeżeli punkt t∈D nie jest punktem regularnym, to nazywamy go punktem krytycznym odwz F.

Wartością regularną odwz F nazywamy taki pkt w∈ℝ^m, że F⁻¹({w}) zawiera tylko punkty regularne lub jest pusty. W przeciwnym przypadku w nazywa się wartością krytyczną odwzorowania F.

Tw: Sarda

Zbiór wartości krytycznych odwzorowania klasy C^∞ jest zbiorem miary Lebesque’a zero.

Def:

(N, $\hat{B}$), (M, $\hat{\mathcal{A}}$)- rozmaitości klasy C^r.

Odwzorowanie F:N→M jest klasy C^r, gdy dla każdych map (U, x)$\in \hat{\mathcal{A}}$, (W, y)$\in \hat{B}$ złożenie

x○F○y⁻¹:y(F⁻¹(U)∩W)→ℝⁿ (⋆)

jest klasy C^r lub zbiór F⁻¹(U)∩W jest pusty.

x○F○y=F_y, x - reprezentacja F za pomocą map x i y.

Gdy M=ℝ ze standardową strukturą rozmaitości, to F nazywamy funkcją klasy C^r na N. Wówczas warunek (⋆) przyjmuje wtedy postać F○y⁻¹ jest klasy C^r na V=y(W).

Def:

Niech F:N→M będzie odwzorowaniem klasy C^r. Wówczas punkt g∈N jest punktem regularnym odwzorowania F, gdy istnieją mapy (W, y) na N oraz (U, x) na M takie, że g∈W, F(g)∈U i punkt y(g) jest punktem regularnym złożenia x○F○y⁻¹:y(F⁻¹(U∩W))→ℝⁿ.

WYKŁAD 5

Def:Zbiór Γ(z₀, r₁, …, r_n)= ∂D(z₀₁, r₁)×…×∂D(z_0n, r_n), r₁, …, r_n>0 jest n-wymiarową podrozmaitością klasy C^w w ℂⁿ ≅ ℝ²ⁿ. Nazywamy ją też torusem wymiaru n.

WYKŁAD 6

Def:

Bijekcją F:M₁ → M₂ klasy C^r między rozmaitościami (M₁, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$) i (M₂, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$) klasy C^r nazywamy defeomorfizmem, gdy odwz F⁻¹:M₂ → M₁ jest też kl C^r.

Jeżeli dla rozmaitości (M₁, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$) i (M₂, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$) klasy C^r taki dyfeomorfizm istnieje, to (M₁, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$) i (M₂, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$) nazywamy dyfeomorficznymi.

Def: Struktury różniczkowe

Struktury różniczkowe (atlasy maksymalne) $\hat{\mathcal{A}}$, $\hat{B}$ określone na tej samej rozmaitości topologicznej M nazywamy różnymi, gdy odwz identycznościowe id_M nie jest defeomorfizmem. (tzn., id_M nie jest klasy C^r między (M, $\hat{\mathcal{A}}$) i (M, $\hat{B}$) lub odwrotnie)

Tw:

Jeżeli (M, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$) i (M, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$) są rozmaitościami klasy C^r na tej samej przestrzeni topologicznej M wymiaru dimM≤3, to są one dyfeomorficzne.

Tw: (John Milnor 1959)

Na sferze wymiaru 7 istnieje dokładnie 28 różnych struktur różniczkowych.

Niech G:ℝ → ℝ

G(t)=t³

id_ℝ○G○x⁻¹=G○x⁻¹

(G○x⁻¹)(s)= G($\sqrt[3]{s}$)= ${(\sqrt[3]{s})}^{3}$=s

G○x⁻¹=id_ℝ - odwzorowanie analityczne

x○G⁻¹○(id_ℝ)⁻¹=x○G⁻¹

(x○G⁻¹)(s)= x(G⁻¹(s))= x($\sqrt[3]{s}$)= s·id_ℝ(s) –analityczne

Zatem G:(ℝ, $\hat{B}$)→(ℝ, $\hat{\mathcal{A}}$) dyfeomorfizm.

Stw:

Jeżeli F:(M₁, $\hat{\mathcal{A}_{1}}$)(M₂, $\hat{\mathcal{A}_{2}}$), N₁ jest podrozmaitością M₁ klasy C^r, N₂ jest podrozmaitością M₂ klasy C^r oraz F(N₁)=N₂, to F_|N1:N₁ → N₂ jest klasy C^r względem struktur podrozmaitości.

Def: Grupa Liego

Grupę G nazywamy grupą Liego, gdy na G istnieje struktura rozmaitości klasy C¹ taka, że odwz G×G→G – działania grupowe, oraz ^-1:G→G – odwrotność są kl C¹.

WYKŁAD 7

Przykład: Grup Liego

1. (ℝⁿ,+) ze standardową strukturą rozmaitoś analityczną

WYKŁAD 8

WEKTORY STYCZNE

Def:Jeżeli p:(−a,a)→ℝⁿ jest odwzorowaniem (drogą) klasy C¹ to $\dot{\gamma}$(t)= $\frac{\text{dγ}}{\text{dt}}$(t), t∈(−a,a).

Wektor $\dot{\gamma}$(t) nazywamy wektorem prędkości drogi γ w punkcie (chwili) t lub wektorem stycznym do γ w punkcie γ(t).

Jeżeli A⊂ℝⁿ i p∈A, to wektorem stycznym do A w punkcie p nazywamy każdy element v∈ℝⁿ, dla którego istnieje droga γ:(−a,a)→A taka, że γ(0)=p, $\dot{\gamma}$(0)=0.

Zbiór wektorów stycznych do zbioru A w punkcie p oznaczamy przez T_pA.

Jeżeli A≠⌀ i A– otwarty w ℝⁿ, to T_pA=ℝⁿ.

Istotnie, jeżeli v∈ℝⁿ, to istnieje a>0 takie, że γ(t)=p+tv∈A dla t∈(−a,a).

Mamy też $\dot{\gamma}$(0)=$\frac{d}{\text{dt}}{(p + \text{tv})}_{t = 0}$=v.

Jeżeli f∈C¹(V), V– otwarty w ℝⁿ,v∈ℝⁿ to pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora v∈T_pV.

∇_vf=$\operatorname{}\frac{f\left( p + hv \right) - f(p)}{h}$

Wiadomo, że

1. ∇_v jest funkcjonałem liniowym na C¹(V) tzn.

∇_v(a₁f₁+a₂f₂)=a₁∇_vf₁+a₂∇_vf₂,

2. Ponadto ∇_v spełnia warunek Leibniza.

∇_v(f·g)= ∇_vf·g(p)+f(p)∇_vg (warunek zerowania stałych)

WYKŁAD 9

Def:

Niech M będzie rozmaitością wymiaru n∈ℕ  klasy C^∞. Dla każdego pktu p∈M przestrzenią styczną do M w punkcie p nazyw zbiór T_pM wszystkich funkcjonałów liniowych C^∞(M) spełniających w pkcie p war Leibniza

α ∈ T_pM⇔∀f,g∈C^∞(M) α(f·g)=α(f)·g(p)+f(p)·α(g).

Def:

Niech M, N będą rozmaitościami klasy C^∞ wym m i n odpowiednio, zaś f:M→N jest odwz gładkim.

Wówczas dla każdego p∈M określamy odwzorowanie: f_*p:T_pM → T_f(p)N

wzorem: ∀ α ∈ T_pM, (f_*pα)(g)=α(g○f), g∈C^∞(N).

Def:

Odwzorowanie f_*p naz odwz stycznym do f wzgl p.

f_*p oznacza się też przez T_pf lub przez df(p).

Stw:

Przestrzeń T_pM styczna do rozmaitości M w pkcie p jest przestrze wektorową ze zwykłymi działaniami dodawania funkcjonałów i mnożenia funkcjonałów przez liczby.

WYKŁAD 10

Niech $\left( M,\hat{\mathcal{A}} \right)$ będzie rozmaitością gładka (klasy C^∞) zaś U niech będzie zbiorem otwartym w M. Jeżeli x_α : U_α → V_α jest mapą z $\hat{\mathcal{A}}$ taką, że U ∩ U_α ≠ ⌀. Wówczas x_{α ∖ U ∩ Uα} jest mapą na U o obszarze x_α(U_α∩U)=w_α ⊂ V_α , to {x_{α|U ∩ Uα}}_{α ∈ A0}- $\tilde{\mathcal{A}_{U}}$jest atlasem U.

Para $\left( U,\tilde{\mathcal{A}_{U}} \right)$ jest rozmaitością gładką przy czym odwzorowanie i_u : U → M dane wzorem i_u(p) = p, p ∈ U jest dyfeomorfizmem na obraz i jest gładkie.

Istotnie jeżeli x_α, $x_{\beta} \in \hat{A_{0}}$, to x_p○(x_{α|U ∩ Uα})⁻¹=(x_β○x_α⁻¹)|_Wα jest dyfeomorfizmem na obraz.

W szczególności można wziąć U = U_α0, gdzie α₀ ∈ A. Wówczas x_α0 :  U_α0 → V_α0 jest dyfeomorfizmem rozmaitości gładkich, gdzie V_α0 traktujemy jako podrozmaitość gładką w ℝⁿ.

Rzeczywiście jeżeli id_Vα0 weźmiemy jako mapę na V_α0 zaś x_α0 jako mapę na U_α0, to id_Vα0○x_α0○(x_α0)⁻¹=id_Vα0○id_Vα0=id_Vα0 ∈ C^∞(V_α0,Rⁿ).

Analogicznie (x_α0)⁻¹ : V_α0 → U_α0 jest gładkie w sensie teorii rozmaitości.

Jeżeli U-otwarty w M, to ∀_p ∈ U odwzorowanie i_kp : T_pM → T_pM jest izomorfizmem.

Tw:

Niech U będzie zbiorem otwartym w rozmaitości gładkiej $\left( M,\hat{A} \right)$. Wówczas ∀_p ∈ U i ∀_{f ∈ C^∞(U)} istnieje otoczenie U₁ punktu p w U (a więc i w M) oraz funkcja $\tilde{f} \in C^{\infty}\left( M \right)$ takie, że ${\tilde{f}|}_{U_{1}}$=f|_U2.

Tw:

Niech f, g ∈ C^∞(M), p ∈ M, ∃_{U − otwarte}: f|_u = g|_u. Wówczas dla każdego wektora v ∈ T_pM

v(f) = v(g).

WYKŁAD 11

STRUKTURA ROZMAITOŚCI M PRZESTRZENI STYCZNEJ

Jeżeli x:U → V jest mapą na rozmaitości M, to dla każdego p∈U i każdego v∈T_pM, v=$v^{i}{\frac{\partial}{\partial x^{i}}|}_{p}$. Jeżeli y:U₁ → V₁ jest inną mapą na M taką, że p∈U₁, to v=$v_{1}^{i}{\frac{\partial}{\partial y^{i}}|}_{p}$. Mamy ${\frac{\partial}{\partial y^{i}}|}_{p}$=(y⁻¹)_*y(p)∇_ei=(x⁻¹○x○y⁻¹)_*y(p)∇_ei=(x⁻¹)_*x(p)○(x○y⁻¹)_*y(p)∇_ei=(x○y⁻¹)(y(p))e_i= ($x)_{*x\left( p \right)}\begin{bmatrix} \frac{\partial x^{1}}{\partial y^{i}} \\ \vdots \\ \frac{\partial x^{n}}{\partial y^{i}} \\ \end{bmatrix}$(y(p))= ($x)_{*x\left( p \right)}\nabla_{\begin{bmatrix} \frac{\partial x^{1}}{\partial y^{i}} \\ \vdots \\ \frac{\partial x^{n}}{\partial y^{i}} \\ \end{bmatrix}}$= $\frac{\partial x^{j}}{\partial y^{i}}$(y(p))${\frac{\partial}{\partial x^{j}}|}_{p}$

Zatem v=$v_{1}^{i}\frac{\partial x^{j}}{\partial y^{i}}$(y(p))${\frac{\partial}{\partial x^{j}}|}_{p}$, co daje wzory:

v^j=$v_{1}^{i}\frac{\partial x^{j}}{\partial y^{i}}$(y(p)) - odwzorowanie przejścia dla współrzędnych wektorów stycznych, v₁ⁱ=$v^{j}\frac{\partial y^{i}}{\partial x^{j}}$(x(p)).

WYKŁAD 12

Def: Pole wektorowe

Polem wektorowym na rozmaitości M nazywamy takie odwz X:M→TM, że dla każdego p∈M X(p)∈T_pM.

Jeżeli odwzorowanie π:TM→M określamy wzorem π(0)=p dla każdego v∈T_pM, to odwzorowanie X:M→TM jest polem wektorowym, gdy π○X=id_M.

Def:

Pole wektorowe X na M nazywamy gładkim, gdy X:M→TM jest odwzorowaniem gładkim.

Stw:

Pole wektorowe X na rozmaitości M jest gładka witw, gdy istnieje atlas 𝒜 na M taki, że dla każdej mapy x=(x¹,…,xⁿ):U→V⊂ℝⁿ współrzędne x¹,…,xⁿ pola X związane z mapą X są funkcjami gładkimi na U.

Def:

Rodzinę {ϕ_t}_{t ∈ ( − a, a)} nazywamy lokalnym potokiem zadanym przez pole X.

Stw:

Jeżeli {ϕ_t}_{t ∈ ( − a, a)} jest potokiem lokalnym pola wektorowego X, to

∀t₁,t₂∈(−a,a) [(t₁,t₂, t₁+t₂∈(−a,a))⇒ϕ_t1 + t2=ϕ_t1○ϕ_t2]

Dlatego każdy potok nazywamy też lokalnie jednoparametrową grupą dyfeomorfizmów.

Jeżeli M zwarta, to {ϕ_t}_{t ∈ ℝ} jest grupą dyfeomorfizmów (jednoparametrową).

NAWIAS LIEGO PÓL WEKTOROWYCH

Jeżeli X jest polem wektorowym na M, f∈C^∞(M) to funkcję Xf:M→ℝ określamy wzorem (Xf)(p)=X(p)f, p∈M.

Stw:

Jeżeli X jest polem gładkim i f∈C^∞(M), to Xf∈C^∞(M).

Jeżeli Y jest innym polem gładkim na M, to funkcja Y(Xf)∈C^∞(M), natomiast funkcjonał ∈

C^∞(M)∋f→ [Y(Xf)](p)∈ℝ nie spełnia warunku Leibniza, gdyż dla f, g∈C^∞(M), mamy:

X(Y(f,g))(p)= X((Yf)_p·g(p)+f(p)(Yg)(p)).

X(Yf)(p)g(p)+(Yf)(p)(Xg)(p)+(Xf)(p)(Yg)(p)+f(p)X(Yg)(p)= [X(Yf)](p)g(p)+f(p)[X(Yg)](p)+reszta.

Dopiero różnica

[X,Y]f= X(Yf)−Y(Xf) spełnia warunek Leibniza w każdym punkcie p, a więc reprezentuje pole wektorowe:

[X,Y] – nawias Liego pól wektorowych.

WYKŁAD 13

ROZMAITOŚCI RIEMANNA

M –rozmaitość klasy C^∞

C^∞(M) –pierścień (przemienny) funkcji gładkich na M

C^∞(TM) –gładkie pole wektorowe na rozmaitości M

r∈ℕ

C_r^∞(TM)$: = \underset{r}{}$

C₀^∞(TM)=C^∞(M)

Def:

Niech M –gładka rozmaitość różniczkowalna. Gładkie (klasy C^∞) pole tensorowe A na M typu (r,s) to odwzorowanie gładkie A:C_r^∞(TM)→C_s^∞(TM), które jest wieloliniowe nad C^∞(M) tzn.

∀f,g∈C^∞(M) ∀k=1,…,r ∀X₁,…,X_k − 1,X_k + 1,…,X_r, Z, Y∈C^∞(TM)

A(X₁,…,X_k − 1,fY+gZ,X_k + 1,…,X_r)= f·A(X₁,…,X_k − 1,Y,X_k + 1,…,X_r) + g·A(X₁,…,X_k − 1,Z,X_k + 1,…,X_r)

Def: Metryka Riemanna

Niech M –gładka rozmaitość różniczkowalna. Metryką Riemanna g na M nazywamy pole tensorowe (typu (2,0))

g:C₂^∞(TM)→C₀^∞(TM)

takie, że dla każdego p∈M

g_p=g|_{TpM ⊗ TpM}:T_pM ⊗ T_pM→ℝ, gdzie g_p(X_p,Y_p)=g(X,Y)(p)

jest iloczynem skalarnym w przestrzeni stycznej T_pM.

Parę (M,g) nazywamy rozmaitością Riemanna.

Stw:

Niech A:C_r^∞(TM)→C_s^∞(TM), będzie polem tensorowym na M. Niech X₁,…,X_r oraz Y₁,…,Y_r ∈ C₁^∞(TM) takie, że ∀k=1,…,r (X_k)_p=(Y_k)_p. Wtedy A(X₁,…,X_r)(p) = A(Y₁,…,Y_r)(p)

Oznaczenie

$A_{p} : = \underset{r}{}$ $\rightarrow \underset{s}{}$

$A_{p} : = {A|}_{\underset{r}{}}$,

A_p((X₁)_p,…,(X_r)_p):=A(X₁,…,X_r)(p).

Def: długość krzywej

Niech (M,g) –rozmaitość Riemanna, γ:I→M –klasy C¹. Wtedy l(γ)=$\int_{a}^{b}\sqrt{g(\dot{\gamma}\left( t \right),\dot{\gamma}\left( t \right))}$dt –długość krzywej γ.

Przykład:

d:M×M→ℝ₊={X≥0}

d(p,q) = inf{l(γ):γ ∈ C_p, q}

(M,g) –metryka Riemanna$\tilde{\rightarrow}$ (M,d) –przestrzeń metryczna

(N,h) –rozmaitość Riemanna, C₀^∞(TM)=C^∞(M)

M⊂N, M –podrozmaitość różniczkowa klasy C^∞

g:C₂^∞(TM)→C₀^∞(TM),

Jeżeli X_p,Y_p ∈ T_pM ⊂ T_pN

∀p∈M g_p(X_p,Y_p)= h_p(X_p,Y_p)

g –metryka indukowana przez (N,h)

Wtedy (M,g) –rozmaitość Riemanna.

Def: przestrzeń parazwarta

Przestrzeń top. (Hausdorffa) X nazyw przestrzenią parazwartą, jeżeli w dowolne pokrycie przestrz X można wpisać lokalne skończone otwarte pokrycie dla X.

Tw:

Jeżeli M jest gładką rozmaitością parazwartą, to istnieje na M metryka Riemanna.

KONEKSJA LEVI – CIVITA

M=ℝ^m

Tℝ^m, C^∞(Tℝ^m)

∂ : C^∞(Tℝ^m) × C^∞(Tℝ^m) → C^∞(Tℝ^m)

∂_XY - pochodna kierunkowa pola wektorowego Y w kierunku pola wektorowego X

(∂_XY)(x) = $\operatorname{}\frac{Y\left( x + tX\left( x \right) \right) - Y(x)}{t}$

Własności (operatora ∂)

λ, μ∈ℝ

f, g ∈ C^∞(ℝ^m)

X, Y, Z ∈C^∞(Tℝ^m)

i) ∂_X(λY + μZ) = λ∂_XY + μ∂_XZ

ii) ∂_X(fY) = X(f)Y + f∂_XY

iii) ∂_{(fX + gZ)}Y = f∂_XY + g∂_ZY

iv) ∂_XY - ∂_YX = [X,Y]

v) X(⟨Y,Z⟩_ℝ^m) =⟨∂_XY,Z⟩ + ⟨Y,∂_XZ⟩

Def: Koneksja

Niech Π : TM → M będzie wiązką styczną nad M. Koneksją na Π : TM → M nazywamy każde odwzorowanie ∇ : C^∞(TM) × C^∞(TM) → C^∞(TM)

∇(X, Y) = ∇_XY

takie, że dla każdych λ, μ∈ℝ, f, g ∈ C^∞(M), X, Y, Z ∈C^∞(TM)

spełnione są własności:

i) ∇_X(λY + μZ) = λ∇_XY + μ∇_XZ

ii) ∇_X(fY) = X(f)Y + f∇_XY

iii) ∇_{(fX + gZ)}Y = f∇_XY + g∇_ZY

Def:

Niech ∇ będzie koneksją na wiązce stycznej TM. Powiemy, że pole wektorowe Y ∈ C^∞(TM) jest równoległe (względem koneksji ∇) jeżeli:

∀_{X ∈ C^∞(TM)} ∇_XY = 0

Def: Torsja koneksji

Niech ∇ będzie koneksją na wiązce stycznej. Torsją koneksji ∇ nazywamy odwzorowanie

T: C₂^∞(TM) → C₁^∞(TM) dane przez

T(X, Y) = ∇_XY - ∇_YX – [X,Y]

gdzie X,Y ∈C^∞(TM)

Koneksję ∇ nazywamy beztorsyjną jeżeli T znika tzn. ∇_XY - ∇_YX = [X,Y]

Def:

(M,g) – rozmaitość Reimanna; ∇ - koneksja na Π : TM → M. Powiemy, że koneksja ∇ jest zgodna ze strukturą riemannowską ( jest metryczna) jeżeli zachodzi

∀_{X, Y, Z ∈ C^∞(TM)} X(g(Y,Z)) = g(∂_XY, Z) +g(Y, ∂_XZ)

Tw:

Niech (M,g) – rozmaitość Reimanna . Wtedy odwzorowanie ∇ : C^∞(TM) × C^∞(TM) → C^∞(TM) dane przez

Zg(∇_XY, Z) = {X(g(Y,Z)) + Y(g(X,Z)) – Z(g(X,Y)) + g([Z,X], Y) + g([Z,Y], X) + g(Z, [X,Y])}

nazywamy koneksją Levi- Civita na wiązce stycznej TM.

Stw:

Niech (M,g) – rozmaitość Reimanna. Wtedy koneksja Levi – Civita jest jedyną „metryczną” i beztorsyjną koneksją na wiązce stycznej Π : TM → M

Przykład:

(M,g) – rozmaitość Reimanna

∇- koneksja Levi – Civita

dim M = n

(U,x) – mapa na M

X_i = $\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ ∈C^∞(TM) i=1,…,n

{X₁, …, X_n} – lokalny reper na TM nad U

∇_XiX_j = $\sum_{}^{}\Gamma_{\text{ij}}^{*}X_{k}$ ∀_{i, j = 1, …, n}

Γ_ij^* - symbole Christoffela

Γ_ij^*: U→ℝ

dx⁻¹(e_i) = X_i

x(U) ⊂ ℝⁿ

g_ij = g(X_i, X_j) = ⟨e_i,e_j⟩

Γ_ij^k(x¹, …, xⁿ) = $\frac{1}{2}g^{\text{kl}}$($\frac{\partial g_{\text{il}}}{\partial x^{j}}$ + $\frac{\partial g_{\text{lj}}}{\partial x^{i}}$ - $\frac{\partial g_{\text{ij}}}{\partial x^{l}}$)