Geometri a różni czkowa - odpowi edzi
1)
10)
x − 3
y − 1
z − 3
r
a) prosta:
=
=
a) t =
2
2
0 ,
,
− 7
4
− 1
2
2
b) odcinek: 5 x + 3 y = 15 , x ∈ 0 3
,
r
1 2
b =
3
3
3
,
−
,
c) parabola: y =
x , x ∈ ℜ
3
3
3
2
2
2
r
x
y
d) elipsa: + = 1
n =
6
6
6
−
,
,
6
2
3
6
6
e) okrąg: 2
2
x + y = 1
r
b)
3
3
4
2
2
t = −
cos t,
sin t,
−
f) okrąg: x + y = 1
5
5
5
r
g) gałąź hiperboli:
12
12
3
b
2
2
=
cos t, −
sin t,
−
y − x + 4 = , 0 x ∈ 2 +
, ∞)
15
15
5
r
n
h) krzywa Vivianiego - przecięcie sfery z
= [ sin t,cos t 0
, ]
1 2
11) NIEEEE
2
1
x −
+ y =
walcem:
2
4
x = 1
2
x + 2
y + 2
z
= 1
12) l: y = 2 + s 2
, s ∈ ℜ
2
2
2
x
y
z
z = −1 + s
4
2) + + = 1
a
b
c
x = 1 −
s
62
3)
2
2
z = 2 x + 2 y 13) l
y = 1 −
, s ∈
N:
s
52
ℜ
1 2
z = 1 +
2
2
1
1
s
44
4)
x + y −
+ z =
⇒ R =
2
4
2
x = 1 +
s
12
5)
l
y = 1 −
, s ∈
B:
s
16
ℜ
x = −1 + s
a) l:
, s ∈ ℜ
z = 1 − s
2
y = 2 + s
2
x = 1 + s
x = 1 + s
14) l
y = 1 +
, s ∈
S:
s
ℜ
b) l: y = s
, s ∈ ℜ
z = 2 + s
4
z = 1 + s
x = 1 −
s
16
y = 1 −
, s ∈
x =
2 + s 2
lN:
s
16
ℜ
z = 2 +
c) l: y = 1 + s 2
, s ∈ ℜ
s
8
π
x = 1 + 4 s
z =
+ s
4
l
y = 1 −
, s ∈
B:
4 s
ℜ
49
z =
6) y = 2 x +
2
27
π
x = 8 +
s
12
15) , nie przecina
7) l:
, s ∈ ℜ
2
y = 4 + s
4
3π
16)
8) (− 2 3
, , 4
− ) ∨ (− 2 12
,
14
,
)
4
π
1 1
1
1
9)
17) 1 , , ∨ − 1 ,
−
,
4
2 3
2
3
1
−
,
)
28)
19)
a)
13123 2
6437 2
3459 2
x +
+ y +
+ z +
=
136926
406
406
406
a)
571787
144
=
278
236 229
406
b)
−
,
,
9 x − 18 y + z − 3 = 0
57
57
57
20) y + 2 z = 0
2
2
x = 2 + s
3
3
1
x − + y − =
b)
4
4
21)
2
l
y = 2 +
, s ∈
S :
s
ℜ
z = 2
z = 2 + s
2
c) !punkt nie leży na krzywej!
π : x
n
+ y + 2 z − 8 = 0
1
5
29) ℵ =
22) π : x
a
2
2 − 2 cos t
n
+ y + z −
= 0
8
1
23)
ℵ
=
π
108 x − 18 y + z − 216 = 0
, dla :
2
min
( a , a)
a
4
3 x − 3 y + z − 1 = 0
30)
3 x + 3 y + z + 1 = 0
2
t
−
a)
2
1
ℵ =
, σ =
24) − x + 4 y + z − 1 = 0
(2 t + )2
2
1
t ⋅ (2 t + )2
2
1
25) dowód
2
− t
−
e
b)
t
ℵ =
e , σ =
26)
3
3
1
2 5
5 5
2
2
a) ℵ = 2 , R =
∨ ℵ =
, R =
c) ℵ =
, σ = −
2
25
2
4
4
1
1
31) ℵ = 2 , σ = 3
b) ℵ = 3 , R =
∨ ℵ = , R = 9
3
9
32) wyprostowanie: ( ,
0 ,
0 kπ ) , k ∈ Z
4 5
5 5
c) ℵ =
, R =
spłaszczenie:
25
4
π
π
3 2
2
,
1 − ,
1
+ kπ ∨ − ,
1 ,
1
+ kπ , k ∈ Z
d) ℵ =
, R =
2
2
2
3
a
b
e) ℵ = 1
σ =
, R = 1
33) ℵ =
= const,
a 2 + b 2
2
2
a + b
1
f) ℵ =
, R = 6
34) ∀ σ ( t
t
) = 0
6
∈ℜ
2 x + 3 y + 19 z − 27 =
2
0
g) ℵ = 2 , R =
2
4
35)
σ ( t
t
) =
∀
(
ℵ t) =
2
9
∈ℜ
( t + 2)2
2
h) ℵ =
, R =
9
2
36)
(
ℵ
∀
t
σ
t
) = 2 = const ∧ ( t) = 0
∈ℜ
27)
2
1
1
2
2
π
R =
; S
−
,
0
,
a)
1
1
x −
+ y −
=
2
2
2
2
2
4
37)
b)
1 2
2
1
x + y − =
a
2
4
a) cos α =
= const
a 2 + b 2
c) ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 36
2
2
b) dowód: z iloczynem mieszanym
d)
37 2
37 2
1
x −
+ y −
=
c) dowód: kąt z osią OZ
144
144
5184
2