WYKŁAD 5 31.05.2011

T: PROGNOZY NA PODSTAWIE MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Prognozy zmiennych objaśniających:

- podane przez grupy ekspertów

- prognozowane na podstawie modelu

PRZYKŁAD

Model tendencji rozwojowej

Zgromadzono następujące dane:

Y_t – zgony niemowląt na 1000 urodzeń żywych

X_1t – spożycie wódki czystej i gatunkowej w przeliczeniu na alkohol 100% w litrach na osobę w ciągu roku

X_2t - PKB na jednego mieszkańca w $

Błędy w doborze zmiennych:

- ogólne zmienne objaśniające

- brak zmiennych objaśniających o charakterze medycznym

Dane

1992	17,3	3,5	2198
1993	161	3,8	2233
1994	15,1	3,8	2402
1995	13,6	3,5	3293
1996	12,2	2,9	3724
1997	10,2	2,8	3725
1998	9,5	2,4	4098
1999	8,9	2,1	4014
2000	8,1	2	4078

Można by było zastosować model tendencji rozwojowej liniowy, bo widać z wykresu Y_t, że zmienne układają się w prostą, skierowaną w dół; nie trzeba modelu ekonometrycznego, zwłaszcza, jeśli nie interesuje nas wpływ zmiennych objaśnianych, a jedynie prognoza.

Spadek alkoholizmu – zmniejszanie zgonów.

Wzrost PKB – zmniejszanie zgonów.

Na podstawie materiału statystycznego oszacowano model ekonometryczny o postaci:

Y_t = α₁X_1t + α₂X_2t + α₀

I uzyskano następujące wyniki

Y_t = 1,79X_1t – 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

(1,048) (0,000913) (5,998)

Błąd zmiennej alkoholizmu wskazuje, że trzeba tą zmienną usunąć.

n = 9

k = 3

S_u² = 0,796954

S_u = 0,892723

Istotność parametrów strukturalnych – test t-Studenta

α = 0,2

Na 100 przypadków 20 razy się mylimy - przy poziomie istotności 0,05 model trzeba by było zmieniać.

t _α = 1,415

wartości sprawdzianu:

t _α1 = 1,7118 t _α2 = -2,8073

utrzymano parametry w modelu

1,098 0,0008 - 6,134

D²(a) = 0,0008 8,32E - 0,7 - 0,005

- 6,134 - 0,005 35,986

Miary dopasowania modelu do danych:

φ² = 5,28835

R² = 94,71165

V_s = 7,24

Autokorelacja

n = 9

k = 2

H₀: r₁ = 0

d = 2,077122 H₁: r₁ <0

d’= 1,922878

d₁’ = 0,629

d_u’ = 1,699

d’ > d_u’

Prognoza przyszłych wartości zmiennych objaśniających.

(na rok 2001)s

Prognozy przyszłych wartości zmiennych objaśniających budowane będą na podstawie modelu tendencji rozwojowej o postaci liniowej.

Prognoza zmiennej X_1t

X_1t = Yt_x1t

Yt_x1t = α₁+ α₀ + ξ₁

t = 1,2,…9

Yt_x1t = - 0,24t + 4,19 + u_t

(0,032) (0,18)

(dobre parametry)

R² = 89% (słaby model do prognozowania)

Prognoza dla t = 10

Prognoza zmiennej X_2t

X_2t = Yt_x2t

Yt_x2t = α₁+ α₀ + ξ₁

t = 1,2,…9

Yt_x2t = 278,12t + 1916,64 + u_t

(38,74) (217,98)

R² = 88%

Prognoza dla t = 10

Ostatecznie:

Przyszłe realizacje zmiennej objaśniającej:

X_1t =1,79

X_2t =4697,84

Model ekonometryczny:

Y_t = 1,79X_1t – 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

(1,048) (0,000913) (5,998)

Zatem

Podstawiając przyszłe realizacje zmiennej objaśniającej do modelu, otrzymamy prognozę zmiennej endogenicznej:

Y^p _T=2001 = 1,79*1,79 – 0,0026*4697,84 + 15,46 + u_t

Średni błąd predykcji:

1,098 0,0008 - 6,134

D²(a) = 0,0008 8,32E - 0,7 - 0,005

- 6,134 - 0,005 35,986

S_u² = 0,796954

Y_t = 1,79X_1t – 0,0026X_2t + 15,46 + u_t

1,79

X_T = 4697,84

1

$$V = \sqrt{X_{T}^{'}*D^{2}\left( a \right)*X_{T} + S_{u}^{2}}$$

V = 1,08962

(błąd)

Rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 1,08 zgonów niemowląt na 1000 urodzeń żywych od postawionych prognoz.

Prognozy – w liczbie mnogiej – bo jest cały zbiór prognoz. Wartości parametrów są prognozami ex post. Prognozą ex ante jest wartość na 2001 r.

Względny średni błąd predykcji wynosi:

V* = 16,41 %

V* = (V : Y_t ) * 100%

W 2001 r. faktycznie było 7,7 zgonów na 1000 urodzeń żywych.

Współczynnik Janusowy – jeśli jest mniejszy od 1, model jest aktualny i struktury modelu nie trzeba zmieniać.

TEMAT: MODELE ADAPTACYJNE

Cechy ogólne i zastosowania:

• dostosowanie do przebiegu proces – naśladowanie procesu (model będzie się dostosowywał)

• budowa prognoz krótkookresowych

• prosta budowa

• możliwość prowadzenia symulacji

• możliwość uwzględniania wahań przypadkowych, trendu oraz wahań sezonowych (można stosować te modele w każdych warunkach prognostycznych)

• minimalna liczba obserwacji w przypadku modeli bez wahań sezonowych: 8-35 (lub do 40); w przypadku modeli z wahaniami sezonowymi niezbędna jest wiedza na temat 3 pełnych cykli

Ogólna postać modeli adaptacyjnych:

Y_t – zmienna prognozowana

Y_t = η_t + u_t η_t - funkcja trendu (nieznana postać analityczna trendu)

u_t – błąd

u_t to nie reszta modelu; nie musi spełniać warunków obowiązujących dla reszt, u_t nie muszą sumować się do zera!

Wady:

• trudności w ustalaniu początkowych wartości do symulacji

• strata informacji (brak pierwszych prognoz; zostają utracone, szereg czasowy teoretyczny po zastosowaniu modelu będzie skrócony; o kilka pierwszych obserwacji lub (w wahaniach sezonowych) o jeden pełny cykl

• założenie o liniowości zmian zmiennej prognozowanej w przyszłości

• postarzanie informacji

Symulacja

W przypadku modeli adaptacyjnych symulacja polega na takim doborze parametrów wygładzania, by zminimalizować dowolnie wybrany błąd ex post prognoz wygasłych.

Wybór błędu do minimalizowania: taki, którego zasadę działania dobrze rozumiemy.

Model wyrównywania wykładniczego Browna

Zastosowanie: zmienna prognozowana wykazuje trend oraz wahania przypadkowe (nie ma sezonowości).

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Ocena trendu na moment t:

m_t = αy_t + (1-α) m_t-1

m_t – ocena trendu na okres bieżący t

α – parametr wygładzania

y_t – realizacja zmiennej prognozowanej w momencie t

m_t-1 - ocena trendu na moment poprzedni t-1

parametr wygładzania: 0≤ α ≤ 1

Jeżeli szereg (zmienna prognozowana) wykazuje bardzo szybkie tempo zmian, to parametr (alfa) dąży do jedności bądź jest równy 1. Jeśli tempo zmian jest niskie, parametr wygładzania jest bliski 0 lub równy 0.

Dokładność parametru: do 2-4 miejsc po przecinku.

Równanie prognozy:

Y_Tp = m_t + (m_t – m_t-1)h

h – horyzont prognozy

Gdyby nie uwzględniać horyzontu prognozy, prognozy na kolejne okresy miałyby cały czas tę samą wartość, rokrocznie byłyby stałe.

Jeśli parametr wygładzania równy jest zero, ocena trendu z momentu bieżącego jest równa ocenie trendu z momentu poprzedniego. Zasada prognozy naiwnej – „to co wczoraj, to dzisiaj, to co dzisiaj, to jutro”.

Wartości początkowe do symulacji:

m₁ = y₁

pierwsza ocena trendu jest równa pierwszej realizacji y

lub

m₁ = ẏ (średnie y)

Pierwsza ocena trendu jest równa średniej z realizacji y.

Model Holta – postać klasyczna

Bardziej zaawansowany, dwa parametry wygładzania dobierane jednocześnie.

Zastosowanie: zmienna prognozowana wykazuje trend oraz wahania przypadkowe (nie ma sezonowości).

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Musimy mieć wartość początkową; straty w informacjach

Ocena trendu:

F_t-1 = αy_t-1 + (1 - α) (F_t-2 + S_t-2)

(wygładzona wartość przyrostu trendu)

S_t-1 = β (F_t-1 – F_t-2) + (1 - β) S_t-2

parametr wygładzania: 0≤ α,β ≤ 1

Y_Tp = F_n + S_n (t – n) gdzie t > n

(wyprzedzenie czasowe

– horyzont prognozy)

Wartości początkowe do symulacji:

F₁ = y₁ lub Y_t* = a₁t + a₀ + u_t

parametr wolny

z modelu trendu

Model generuje wartości od F₂

S₁ = y₂ – y₁ lub Y_t* =a₁t + a₀ + u_t

Model Wintersa – postać addytywna

Wady modelu: straty informacji, problem z doborem wartości początkowych.

Zalety: łatwość prowadzenia obliczeń.

Ocena trendu:

F_t-1 = α(y_t-1 – C_t-1-r) + (1 - α) (F_t-2 + S_t-1)

C_t-1-r­ – wskaźnik sezonowości w sensie Wintera

r – długość cyklu

wyrównana wartość przyrostu trendu:

S_t-1 = β (F_t-1 – F_t-2) + (1 - β) S_t-2

Ocena wskaźnika sezonowości:

C_t-1 = γ (y_t-1 – F_t-1) + (1 – γ) C_t-1-r

parametr wygładzania: 0≤ α,β,γ ≤ 1

Wartości początkowe do symulacji:

F₁ = y_1­ lub F₁ = y średnie

S₁ = y₂ – y₁

$$C_{1} = \overset{\overline{}}{}y_{t}$$

(średnia z przyrostów y)

Δy_t = y_t – y_t-1

Jeden parametr za cykliczność.

Równanie prognozy dane jest jako:

Y_Tp = F_n + S_n (t – n) + C_1-r

Wada: ograniczenie co do horyzontu prognozy (prognoza na jeden pełny cykl)

t > n (wyprzedzenie czasowe)

Model Wintersa – postać multiplikatywna

Ocena trendu:

$$F_{t - 1} = \alpha\frac{y_{t - 1}}{C_{t - 1 - r}} + \left( 1 - \alpha \right)(F_{t - 2} + S_{t - 2})$$

Wyrównana wartość przyrostu trendu:

S_t − 1 = β(F_t − 1 + F_t − 2)+(1−β)S_t − 2

Ocena wskaźnika sezonowości:

$$C_{t - 1} = \gamma\frac{y_{t - 1}}{F_{t - 1}} + \left( 1 - \gamma \right)C_{t - 1 - r}$$

Parametry wygładzone:

0≤ α,β,γ ≤ 1

Jeśli bardzo głębokie cykle: γ bliskie 1

Jeśli bardzo płytkie cykle: γ bliskie 0

Równanie prognozy dla modelu multiplikatywnego:

Y_Tp = [F_n + S_n (t – n)] * C_t-r

t > n

Jeśli zmiany zachodzą wolno, parametry wygładzania są bliskie 0, jeśli zmiany zachodzą szybko, parametry wygładzania są bliskie 1.