Dane do zadania:

• Liczba porządkowa : 2

• Moc: P = 4, 9kW

• Przełożenie geometryczne: i = 4, 05

• Prędkość obrotowa: $n_{1} = 940\lbrack\frac{\text{obr}}{\min}\rbrack$

• Współczynnik przeciążenia: K_p = 1.0(3)

• Liczba zębów: z₁ = 19

• Materiał kół zębatych: stal 55 ulepszona cieplnie

• Żądany czas pracy: T = 5000h

  Obliczenia:

1. Koła zębate z warunku na zginanie

   Obliczeń dokonujemy dla koła mniejszego ponieważ jest ono bardziej narażone na obciążenia.

   1. Prędkość obrotowa na drugim kole:

      $n_{2}\ = \ \frac{n_{1}}{i}$ = $\frac{940}{4,05} = 232.098\ \lbrack\frac{\text{obr}}{\min}\rbrack$

   2. Momenty skręcające:

1. $M_{s1} = 9550\frac{P}{n_{1}} = 9550\frac{4,9}{940} = 49,78\ \lbrack Nm\rbrack$

2. $M_{s2} = 9550\frac{P}{n_{1}} = 9550\frac{4,9}{232.098} = 201,61\ \lbrack Nm\rbrack\ $

4. Liczba zębów na kole biernym:

z₂ = iz₁ = 4, 05 * 19 = 76.95 ≈ 77

2. Moduł zęba :

$$m \geq \sqrt[3]{\frac{K_{p}K_{v}2M_{s}q}{K_{\varepsilon}\lambda z_{1}k_{\text{gj}}}}$$

K_p −   wspólczynnik przeciążenia

K_v− współczynnik nadwyżek dynamicznych wyrażony w zależności od prędkości obrotowej

K_ε− kąt zależny od liczby przyporu, dla rozpatrywanej przekładni wynosi on 1

q− współczynnik kształtu zęba dobierany w zależności od współczynnika przesunięcia zarysu (równego 0 dla badanej przekładni), wynosi on 3,34

λ  współczynnik szerokości dobierany w zależności od modułu w granicach 5 ÷ 20

k_gj− naprężenia dopuszczalne przy zginaniu jednostronnie tętniące dla

stali 55 ulepszonej cieplnie równe 320MPa

Nie znamy współczynnika K_v poniewarz nie mamy danych pozostałych wymiarów przekładni (średnicy), przez co także prędkości obwodowej. Załóżmy, że prędkość ta będzie z przedziału $3 \div 5\ \frac{m}{s}$ . K_v  będzie równe 1, 25.

$$m \geq \sqrt[3]{\frac{1.0\left( 3 \right)*1,25*2*49,78*3,34}{1*10*19*320}} = 1,92mm$$

Przyjmujemy m = 2mm (moduł z pierwszego szeregu – uprzywilejowany)

Obliczamy średnicę koła czynnego:

d₁ = mz₁ = 2 * 19 = 38mm

Prędkość obwodową:

$$V_{1} = \frac{\pi d_{1}n_{1}}{60000} = \frac{3,14*38*940}{60000} = 1,87\ \frac{m}{s}$$

Współczynnik bezpieczeństwa dla prędkości obwodowej równej 1,87 wynosi 1,25. Został więc on słusznie założony przy obliczaniu modułu.

1. Obliczenie kół zębatych z warunku na naciski powierzchniowe.

   Korzystamy ze wzoru Hertza:

$$p_{\max} = C\sqrt{\frac{K_{p}K_{v}F}{bd_{1}}(1 + \frac{1}{i})} \leq k_{o}$$

C− współczynnik zależny od materiału i kątu przyporu, dla przypadku stal po stali i kątu przyporu 20º wynosi on $478,2\ \sqrt{\text{MPa}}$

b− czynna szerokość uzębienia równa λ d₁

F− siła obwodowa:

$$F = \frac{2M_{s1}}{d_{1}} = \frac{2*49,78}{38} = 2,6201\ kN$$

k_o− naciski dopuszczalne obliczone ze wzoru:

$$k_{o} = \frac{5HB}{W}$$

HB− twardość w skali Brinella dla stali 55 w granicach 240 ÷ 290

W− współczynnik zależny od żądanego czasu pracy T oraz prędkości obrotowej n₁, wyznaczamy go metodą interpolacji liniowej ze wzoru:

$$L\left( n_{1} \right) = W_{\min} + \frac{W_{\max} - W_{\min}}{n_{\max} - n_{\min}}(n_{1} - n_{\min})$$

$L\left( n_{1} \right) = 2,20 + \frac{2,45 - 2,20}{1000 - 500}\left( 940 - 500 \right) = 2,42$0

Ponieważ mamy podany przedział twardości, możemy obliczyć naciski dopuszczalne dla wartości skrajnych:

$$k_{\text{omax}} = \frac{5*290}{2,420} = 599,17MPa\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{\text{omin}} = \frac{5*240}{2,420} = 495,87MPa$$

Sprawdzamy naciski rzeczywiste. Nie powinny one przekraczać nacisków maksymalnych. A jeżeli są większe od minimalnych, a mniejsze od maksymalnych to twardość materiału powinna odpowiadać tym naciskom.

$$p_{\max} = 478,2\sqrt{\frac{1,0\left( 3 \right)*1,25*2620,1}{20*38}(1 + \frac{1}{4,05})} = 1126,82\ MPa$$

Naciski rzeczywiste są o wiele większe od dopuszczalnych maksymalnych. Należy więc zwiększyć moduł co zwiększy powierzchnię nacisku na zęby. Przyjmujemy moduł równy 4mm (szereg 1 –uprzywilejowany).

Zmianie ulegną następujące wymiary:

d₁ = mz₁ = 4 * 19 = 72 mm

b = λm = 10 * 4 = 40mm

$$V_{1} = \frac{\pi d_{1}n_{1}}{60000} = \frac{3,14*72*940}{60000} = 3,74\frac{m}{s}$$

Zmianie ulegnie także współczynnik nadwyżek dynamicznych K_v. Dla nowej prędkości odczytujemu z tabeli 1, 35.

$$F = \frac{2M_{s}}{d_{1}} = \frac{2*49,78}{38} = 1,31kN$$

Sprawdzamy następnie naciski rzeczywiste:

$$p_{\max} = 478,2\sqrt{\frac{1,0\left( 3 \right)*1,35*1310}{20*38}(1 + \frac{1}{4,05})} = 414,02\ MPa$$

Są one mniejsze od dopuszczalnych minimalnych.

1. Obliczenie wymiarów kół zębatych:

• Średnica podziałowa koła czynnego:

d₁ = mz₁ = 4 * 19 = 76 mm

• Wysokość głowy:

h_a = m = 4mm

• Wysokość stopy:

h_f = 1, 25m = 5mm

• Wysokość całego zęba:

h = h_a + h_f = 2, 25m = 9mm

• Średnica wierzchołków koła czynnego:

d_a1 = m(z₁+2) = 4 * (19+2) = 84mm

• Średnica stóp koła czynnego:

d_f1 = m(z₁−2,5) = 4 * (19−2,5) = 66mm

• Średnica podziałowa koła biernego:

d₂ = mz₂ = 4 * 77 = 308mm

• Średnica wierzchołków koła biernego:

d_a2 = m(z₂+2) = 4 * (77+2) = 316mm

• Średnica stóp koła biernego:

d_f2 = m(z₁−2,5) = 4 * (77−2,5) = 298mm

• Podstawowa odległość osi:

$$a = \frac{d_{1} + d_{2}}{2} = \frac{76 + 308}{2} = 192\ mm$$

1. Obliczenie wymiarów przekładni:

   1. Grubość ścianki korpusu reduktora:

δ = (0,025a+1) = 0, 025 * 192 + 1 = 5, 8 mm

δ ma być większe od 8mm. Przyjmujemy równe 10mm.

2. Odległość od wewnętrznej powierzchni ścianki reduktora do bocznej powierzchni obracającej się części

e = (1,0÷1,2)δ = (10÷12)mm

Przyjmujemy równe 12mm

2. Odległość od wewnętrznej powierzchni ścianki reduktora do bocznej powierzchni łożyska tocznego :

e₁ = (3÷5)mm

Przyjmujemy równe 4mm

2. Promieniowa odległość od wierzchołków kół zębatych do wewnętrznej powierzchni górnej ścianki korpusu:

e₅ = 1, 2δ = 1, 2 * 10 = 15mm

2. Promieniowa odległość od wierzchołków kół zębatych do wewnętrznej powierzchni dolnej ścianki korpusu:

e₆ = (5÷10)m = (20÷40)mm

Przyjmujemy równe 30mm

6. Odległość od bocznych powierzchni części obracających się razem z wałem do nieruchomych części zewnętrznych reduktora:

e₇ = (5 ÷ 8)mm

Przyjmujemy równe 5mm

5. Obliczenia wytrzymałościowe wałów:

Najpierw obliczamy wał czynny. Wyznaczamy siłę promieniową z zależności:

P_r = P₁ tg(α) = 1310 * tg(20) = 1310 * 0, 34(8) = 476, 55 N

Siły reakcji R_az i R_bz są sobie równe poniewarz działają w tej samej samej odległości od siły promieniowej F. R_az = R_bz = 238, 27 N.

Następnie wyznaczamy największą wartość momentu gnącego, który będzie występował na kole zębatym:

$$M_{g\text{zx}} = R_{\text{az}}\ \frac{l_{1}}{2}$$

l₁ = b + 2e + 2e₁ + B

B jest szerokością łożyska wału. Nie znamy tej wartości. Musimy więc najpierw obliczyć wymiary łożyska, a następnie wykorzystać je przy obliczaniu wału.

Dobór łożyska:

Musimy wyznaczyć nośność dynamiczną łożyska C:

$$C = P\frac{f_{h}}{f_{n}}$$

f_h −  współczynnik czasu pracy

f_n−współczynnik obrotu

P− obciążenie zastępcze, obliczane z zależności:

P = XVP_p + YP_w

X −  współczynnik obciążenia promieniowego

Y− współczynnik obciążenia wzdłużnego

P_w− siła wzdłużna (nie działa na rozpatrywane łożysko)

P_p− siła poprzeczna działająca na łożysko

V- współczynnik przypadku obciążenia; dala ruchomego wału równy 1

Siła poprzeczna P_p równa jest sile reakcji R_a, która wynosi:

$$R_{a} = \sqrt{{R_{\text{az}}}^{2} + {R_{\text{ay}}}^{2}}$$

R_az −  składowa od siły promieniowej 

R_ay−składowa od siły obwodowej

R_ay równe jest połowie wartości siły obwodowej i wynosi 655, 02 N. Siła reakcji R_a będzie zatem równa:

$$R_{a} = \sqrt{{288,27}^{2} + {655,02}^{2}} = 697,01\ N$$

Obliczamy obciążenie zastępcze. Współczynnik X określamy w zależności od wartości wyrażenia: $\frac{P_{w}}{P_{p}V}$ i przyrównujemy ja do e = 0, 25. P_w wynosi 0 więc wyrażenie ma wartość mniejszą od e. Współczynnik X równa się 1. Obciążenie zastępcze wobec przyjętych wartości współczynników równe jest wartości reakcji R_a.

Wracamy do obliczenia nośności. Wyznaczamy współczynnik f_h z zależności:

$$f_{h} = \sqrt[3]{\frac{T}{5000}} = \sqrt[3]{\frac{5000}{500} =}2,15$$

Współczynnik $\mathbf{f}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{3}]{\frac{\mathbf{33}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{1}}}{\mathbf{n}_{\mathbf{1}}}}\mathbf{= 0,32}$

Nośność minimalna łożyska wynosi więc:

C = 697, 01 * 2, 15/0, 32 =  4570, 81 N

Dobieramy łożysko z katalogu według nośności dynamicznej.

Łożysko kulkowe zwykłe o nr serii 6206 o wymiarach: d = 30mm,  

D = 62mm,     B = 16mm, C_max = 19500 N, R = 0, 3mm

d− średnica wewnętrzna,   D−średnica zewnetrzna, B−szerokość łożyska

Wyznaczamy trwałość łożyska (w milionach obrotów) ze wzoru:

$$L = \left( \frac{C}{P} \right)^{a}$$

Gdzie a jest współczynnikiem, dla łożysk kulkowych wynosi 3.

$$L = \left( \frac{19500}{697,01} \right)^{3} \approx 21896\ \lbrack 10^{6}\ obrotow\rbrack$$

Wracamy do obliczeń wału. Mając daną szerokość łożyska możemy wyznaczyć długość czynną wału:

l₁ = 40 + 2 * 12 + 2 * 4 + 16 = 88mm = 0, 088m

Wyznaczamy wypadkowy moment zginający na wale:

$$M_{\text{gw}} = \sqrt{{M_{\text{gxz}}}^{2} + {M_{\text{gxy}}}^{2}}$$

Moment od siły promieniowej wynosi:

$$M_{\text{gxz}} = R_{\text{az}}\frac{l_{1}}{2} = 288,27*\frac{0,88}{2} = 10,48\ Nm$$

Moment od siły obwodowej:

$$M_{\text{gxy}} = R_{\text{ay}}\frac{l_{1}}{2} = 655,02*\frac{0,088}{2} = 28,82\ Nm$$

Moment zginający wypadkowy jest więc równy:

$$M_{\text{gw}} = \sqrt{{(10,48)}^{2} + {(28,82)}^{2}} = 30,67\ Nm$$

Poniżej zobrazowany jest układ sił działających na wał w płaszczyźnie xz:

Wykres momentu zginającego w płaszczyźnie xz:

Maksymalny moment zginający występuje pod kołem zębatym.

W płaszczyźnie xy układ sił oraz wykres momentu zginającego wyglądają tak jak w płaszczyźnie xz. Inne wartości przyjmują jedynie siły działające na wał.

Moment skręcający jest stały i działa miedzy elementem napędzającym a kołem zębatym:

Z rysunku przedstawiającego układ sił oraz momenty: skręcający i zginający wynika, że wał można podzielić na 3 przedziały. W przedziale I na wał działa jedynie moment zginający. W przedziale II działa jednocześnie moment skręcający oraz zginający, a w przedziale III działa tylko moment skręcający.

Znając wartości momentów działających w tych przedziałach można wyznaczyć odpowiednie średnice wału.

• W przedziale I (miedzy korpusem a zębatką) na wał działa jedynie moment zginający. Wykorzystując warunek wytrzymałości na zginanie:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{\text{gw}}}{W_{x}} = \frac{M_{\text{gw}}}{\frac{\pi d^{3}}{32}} \leq k_{\text{go}}$$

wyznaczamy średnicę wału:

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{32M_{\text{gw}}}{k_{\text{go}}\pi}}$$

k_go−naprężenia dopuszczalne przy zginaniu, obustronnie tętniące dla stali 55 ulepszonej cieplnie równe 90 MPa.

Poniższa tabela obrazuje wartość minimalnej średnicy w zależności od odległości od korpusu tylnego.

Odległość od korpusu [mm] 0 8 16 24 32 38 Minimalna średnica [mm] 0 8,578 10,807 12,371 13,616 14,419

• W przedziale II działa jednocześnie moment skręcający oraz zginający. Moment zastępczy (gdy dominujący jest moment zginający) obliczamy z zależności:

$$M_{z} = \sqrt{{M_{\text{gw}}}^{2} + (\alpha{M_{s1})}^{2}}$$

α− współczynnik dla momentu skręcającego większego od gnącego równy jest stosunkowi $\frac{k_{\text{go}}}{2k_{\text{sj}}}$,

k_sj− naprężenia dopuszczalne przy skręcaniu jednostronnie tętniące, dla stali 55 ulepszonej cieplnie równe 95 MPa

α przyjmuje wartość 0, 47. Maksymalny moment zastępczy w tym przedziale występuje na kole zębatym:

$$M_{z} = \sqrt{{30,67\ }^{2} + (0,47*{49,78)}^{2}} = 38,58\ Nm$$

Minimalne średnice w tym przedziale obliczamy z warunku wytrzymałości:

$$\sigma_{z} = \frac{M_{z}}{W_{x}} = \frac{M_{z}}{\frac{\pi d^{3}}{32}} \leq k_{\text{go}}$$

Po przekształceniu przyjmuje on postać:

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{32M_{z}}{k_{\text{sj}}\pi}}$$

Odległość od korpusu [mm]	44	52	60	68	76	82	88
Minimalna średnica [mm]	16,052	15,590	15,409	14,820	14,315	13,963	13,835

• W przedziale III działa tylko moment skręcający. Średnicę liczymy z warunku na skręcanie:

$$\tau_{s} = \frac{M_{s1}}{W_{0}} = \frac{M_{s1}}{\frac{\pi d^{3}}{16}} \leq k_{\text{sj}}$$

stąd:

$$d \geq \sqrt[3]{\frac{16M_{s1}}{\pi k_{\text{sj}}}} = \sqrt[3]{\frac{16*49,78*1000}{3,14*95}} = 13,909\ mm$$

Średnice wału pod koło zębate przyjmujemy równą 35mm. Zakładam że będzie to połączenie wpustowe nieruchome. Należy obliczyć wymiary wpustu. Wysokość(h) oraz szerokość(b) dobieramy na podstawie średnicy wału. Będzie to wymiar: b × h = 10mm × 8mm. Musimy obliczyć czynną długość wpustu z warunku:

$$l_{0} \geq \frac{2M_{s1}}{d_{w}\frac{h}{2}k_{0}} = \frac{2*49,78*1000}{31*\frac{8}{2}*240} = 3,34mm$$

Przyjmujemy równy 28 mm.

Łożysko ustalające wał z jego końcowej strony będzie unieruchomione przez nakrętkę łożyskową KM6 o wymiarach: d = M30 × 1, 5,

d₀ = 45mm,     d₁₌38mm,   B = 7mm,    b = 5mm,    h = 2mm

Oraz podkładkę zębatą MB6 o wymiarach: d₁ = 30mm,  d₂ = 38mm, d₃ = 49mm, F = 1, 25mm, Z = 13, f₁ = 5mm, f₂ = 5mm,

M = 27, 5mm

Od strony wysięgowej wał będzie uszczelniony przez dwa pierścienie filcowe o wymiarach:

d = 28mm,      b = 5mm,       D = 40mm

Wymiary rowków pod pierścienie uszczelniające:

d₁ = 29mm, D₁ = 41mm, f = 4mm

Koło zębate będzie zabezpieczone od strony łożyska ustalającego tuleją o wymiarach: długość(L) – 16mm; średnica osadzenia(D) – 30mm: wysokość(h) – 4,5mm;

Obliczenie wału biernego

Długość czynna wału biernego jest taka sama jak wału czynnego l = 0, 108m

Siła obwodowa działająca na wale drugim równa się 13, 09kN. Można więc przyjąć że jest ona równa sile obwodowej na kole pierwszym. Siła promieniowa, a także moment gnący również są równe tym na kole pierwszym.

Wał można podzielić na trzy takie same przedziały w których momenty: gnący i skręcający działają w ten sam sposób. Inną wartość przyjmuje natomiast moment skręcający.

Przedział I – minimalne średnice wału biernego są równe tym z wału czynnego:

Odległość od korpusu [mm]	0	9	18	27	36	45	54
Minimalna średnica [mm]	0	8,921	11,240	12,866	14,161	15,255	16,211

Przedział II. Ponieważ dominującym momentem jest moment skręcający naprężenia zastępcze obliczamy z następującego wzoru:

$$\tau_{z} = \frac{M_{z}}{W_{0}} \leq k_{\text{sj}}$$

Moment zastępczy wynosi:

$$M_{z} = \sqrt{\left( \frac{M_{\text{gw}}}{\alpha} \right)^{2} + {M_{s2}}^{2}}$$

Maksymalny moment występuje pod kołem zębatym wynosi:

$$M_{z} = \sqrt{\left( \frac{30,67}{0,47} \right)^{2} + {201,61}^{2}} = 211,90\ Nm$$

Średnice wału:

Odległość od łożyska ustalajacego [mm]	44	52	60	68	76	82	88
Minimalna średnica [mm]	28,323	28,208	28,108	28,000	27,921	27,873	27,857

W przedziale III minimalna średnica wynosi 22, 170 mm

Podobnie jak dla pierwszego wałka dobieramy wpust pod kołem zębatym:

$$l_{0} \geq \frac{2M_{s2}}{d_{w}\frac{h}{2}k_{0}} = \frac{2*201,61\ *1000}{35*\frac{8}{2}*240} = 12,00$$

Przyjmujemy równy 15mm

Aby wszystkie średnice wału biernego były większe od dopuszczalnych przyjmujemy łożysko o większej średnicy wewnętrznej.

Łożysko kulkowe zwykłe o oznaczeniu – 6207 o wymiarach: d = 35mm, D = 72mm, B = 17mm, R = 1, 1mm, C = 25500N

Będzie ono dokręcone nakrętką łożyskową KM7 o wymiarach:

d = M35 × 1, 5,   d₀ = 52mm, d₁ = 44mm, B = 8mm, b = 5mm, h = 2mm

Oraz podkładkę zębatą MB7 o wymiarach: d₁ = 35mm,  d₂ = 44mm, d₃ = 57mm, F = 1, 25mm, Z = 13, f₁ = 6mm, f₂ = 5mm,

M = 32, 5mm

Wał będzie uszczelniony podobnie jak wał czynny dwiema uszczelkami filcowymi o wymiarach:

d = 32mm,     b = 5mm,    D = 44mm

Wymiary rowków pod uszczelki:

d₁ = 33mm,    f = 4mm,    D₁ = 45mm

Wobec tego przyjmujemy następujące

Dodatkowe założenia:

W korpusie zamontowane będą:

• odpowietrznik

• układ kontrolno-pomiarowy poziomu oleju w przekładni

• korek spustowy oleju

Reduktor smarowany będzie olejem o lepkości 24(3) wg. Skali Englera - E₅₀(E₁₀₀)

Minimalna objętość oleju wewnątrz przekładni wynosi 0, 79dm³.

A maksymalna 2, 06dm³.