• kąt - to część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku razem z tymi półprostymi

         

•  na tym rysunku półproste AB i AC wyznaczają dwa kąty ( żółty i zielony), obydwa nazwiemy kąt BAC; dopiero rysunek wyjaśnia nam, o który kąt chodzi

          

• kąty wierzchołkowe - AOB i COD
  kąty wierzchołkowe - AOC i BOD

• kąty wierzchołkowe - to dwa kąty wypukłe, w których ramiona jednego są przedłużeniem ramion drugiego

• twierdzenie: kąty wierzchołkowe mają równe miary

• kąty przyległe - to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą

• twierdzenie: suma miar kątów przyległych wynosi 180°

• jeżeli dwie proste położone na płaszczyźnie, przetniemy trzecią, którą nazywamy wówczas prostą sieczną, to utworzy się osiem kątów, mających następujące nazwy:

                                      

 1) kąty 3 i 6 oraz 4 i 5 - kąty naprzemianległe wewnętrzne
 2) kąty 1 i 8 oraz 2 i 7 - kąty naprzemianległe zewnętrzne
 3) kąty 1 i 5, 3 i 7, 2 i 6, 4 i 8 - kąty odpowiadające
 4) kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne
 5) kąty 1 i 7, 2 i 8 - kąty jednostronne zewnętrzne

• pomiędzy ośmioma kątami, które tworzy sieczna z dwiema prostymi równoległymi, istnieją pewne zależności:

                               

 

• twierdzenie: jeżeli dwie proste równoległe a i b są przecięte trzecią prostą c, to kąty odpowiadające i naprzemianległe są równej miary

• kąty naprzemianległe wewnętrzne:
  |<4| = |<6|
  |<3| = |<5|

• kąty naprzemianległe zewnętrzne:
  |<1| = |<7|
  |<2| = |<8|

• kąty odpowiadające:
  |<1| = |<5|
  |<4| = |<8|
  |<2| = |<6|
  |<3| = |<7|

Własności

Trapezoid

Własności trapezoidu:

• ma dwie przecinające się przekątne;

• trapezoid nie ma osi symetrii;

Latawiec

Własności latawców:

• mając dwie pary równych boków mają oś symetrii, przechodzi ona przez wspólne końce sąsiednich, równych boków;

• mają dwie przekątne, przecinające się pod kątem prostym (deltoit);

• mają przynajmniej jedną parę kątów przystających

Trapez

Własności trapezu:

• ma dwie przecinające się przekątne;

• odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest średnią arytmetyczną podstaw
  
  |EF| = 1/2(|AB|+|CD|);

Trapez równoramienny

Własności trapezu równoramiennego:

• przekątne trapezu równoramiennego mają równe długości;

• kąty przylegające do każdej podstawy trapezu równoramiennego mają równe miary;

• na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg;

• wysokość trapezu równoramiennego o podstawach a i b (a > b), poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach 1/2(a-b), 1/2(a+b);

 

Równoległobok

Własności równoległoboku:

• ma dwie przekątne;

• boki równoległe są równe;

• kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary;

• suma miar sąsiednich kątów wynosi 180^o;

• przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;

• punkt przecięcia się przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku;

Romb

Własności rombu:

• boki są parami równoległe i równe;

• kąty leżące naprzeciw siebie mają równe miary;

• suma miar sąsiednich kątów wynosi 180^o;

• przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;

• przekątne są prostopadłe;

• przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów;

• każdy romb jest równoległobokiem;

W każdy romb można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w romb jest punkt przecięcia przekątnych, a jego promień ma długość równą połowie długości wysokości rombu.

Prostokąt

Własności prostokąta:

• boki są parami równoległe i równe;

• przekątne dzielą się w punkcie przecięcia na połowy;

• przekątne są równe;

• punkt przecięcia przekątnych prostokąta jest środkiem okręgu opisanego;

• prostokąt jest równoległobokiem;

Kwadrat

Własności kwadratu:

• przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość;

• punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części;

• punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu;

• przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów;

• każde dwa kwadraty są do siebie podobne;

Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, drugie dwie to symetralne boków.

Prosta zewnętrzna, styczna i sieczna.

Prosta i okrąg mogą względem siebie być położone na trzy różne sposoby.

 

Pierwsza z możliwości jest taka że prosta przechodzi obok okręgu i się z nim nie przecina w żadnym punkcie (nie ma punktów wspólnych).

Definicja: Prosta zewnętrzna

Jeżeli prosta i okrąg nie mają ze sobą żadnych punktów wspólnych, wówczas tą prostą nazywamy prostą zewnętrzną.

Kolejny przypadek zachodzi wówczas gdy prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, mówimy wówczas, że jest ona styczna do okręgu.

Definicja: Styczna

Prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nazywamy styczną. Styczna do okręgu, jest prostopadła do promienia, łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

 

Gdy prosta przecina okrąg w dwóch punktach, to taką prostą nazywamy sieczną.

Definicja: Sieczna

Prosta, która ma z okręgiem dwa punkty wspólne nazywamy sieczną.

Twierdzenie: O odcinkach stycznych do okręgu

AP = BP

 

 

Przykład 1

Kąt środkowy, kąt wpisany

Kąt wpisany - to taki kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi cięciwy tego koła.

Miary kątów wpisanych w koło, opartych na tych samych łukach są równe.
Kąt wpisany oparty na półokręgu, jest kątem prostym.

Kąt środkowy - to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie koła.

Kąt środkowy i kąt wpisany oparty na tym samym łuku

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy. 
                                α = 2 · β

FIGURY PRZYSTAJĄCE

Figurami przystającymi nazywamy wszystkie figury, które mają taką samą liczbę boków, o takiej samej długości a kąty między nimi mają takie same wartości. Dlatego o figurach przystających mówimy, wtedy gdy jedna figura stanowi odbicie lustrzane drugiej lub wtedy, kiedy jedną można otrzymać za pomocą symetrii i skończonej liczby obrotów oraz przesunięć drugiej z nich. Figury te mają takie samo pole powierzchni i można nałożyć jedną na drugą. 
Podsumowując figury przystające są to takie same figury, mają taki sam kształt i wielkość są tylko przesunięte lub obrócone lub przesunięte i obrócone.

Figury przystające na przykładzie trójkątów



ΔABC=ΔA′B′C′ΔABC=ΔA′B′C′ 

Trójkąty są przystające, jeśli istnieje izometria przekształcająca jeden z nich w drugi.

Cechy przystawania trójkątów:

• BBB. Jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to dwa trójkąty są przystające.

• BKB. Jeśli dwa boki i kąt między nimi zawarty w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to te dwa trójkąty są przystające.

• KBK. Jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to te dwa trójkąty są przystające.