Zadanie 1. Oblicz całkę

$$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2} + x}$$

Rozwiązanie:

• Postać podcałkową rozkładamy na ułamki proste

$$\frac{1}{x^{2} + x} = \frac{1}{x\left( x + 1 \right)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}\text{\ \ }$$

• Mnożymy obustronnie przez mianownik przed rozkładem x(x + 1)

$$\frac{1*x\left( x + 1 \right)}{x\left( x + 1 \right)} = \frac{A*\ x\left( x + 1 \right)}{x} + \frac{B*\ x\left( x + 1 \right)}{x + 1}\ \ $$

A (x+1) + Bx = 1

Ax + A + Bx = (A + B)x + A

• Wyraz przy „x” musi wyjść „0” natomiast wyraz wolny (bez „x”, w tym wypadku „A”) musi wyjść 1

$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ A + B = 0\ {\ B = - 1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

• Podstawiamy otrzymany wynik do postaci podcałkowej

$$\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{x^{2} + x} = \int_{}^{}\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right)}\text{dx}$$

• Teraz możemy doprowadzić wyrażenie do postaci logarytmu, zgodnie ze wzorem $\int_{}^{}\frac{\mathbf{\text{dx}}}{\mathbf{x}}\mathbf{=}\ln\left( \mathbf{x} \right)$

$$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2} + x} = \int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x} - \int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{x + 1} = \operatorname{ln-ln}{\left( x + 1 \right) + C}} = \ \ln{\left( \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x + 1}} \right)\mathbf{+}}\mathbf{C}$$

Zadanie 2. Oblicz pole powierzchni między krzywymi

$$\left\{ \begin{matrix} y = \sqrt{x} \\ y = x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Rozwiązanie:

• Znajdujemy punkty przecięcia się krzywych (przyrównując je do siebie)

$x^{2} = \sqrt{x}$, x⁴ = x, x⁴ − x = 0, x(x³−1) = 0, x = 0 lub x = 1

• Określamy pola powierzchni krzywych

$\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}$ y₂=x²

$\mathbf{P}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{1}} \right)\mathbf{=}\int_{}^{}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{\text{dx}}}$ P(y₂)=∫x²dx

(rys. 1)

• Nakładamy na siebie oba wykresy

(rys. 2)

• Od pola powierzchni pod krzywą $\mathbf{y =}\sqrt{\mathbf{x}}$ ( rys. 2, obszar „\\\\\”) odejmujemy pole powierzchni krzywej y=x² (rys. 2 obszar „/////”) w zakresie x’ów od 0 do 1 (obszar odjęty jest podwójnie zakreskowany. W rezultacie otrzymujemy rys. 3.

(rys. 3)

$$\left| \mathbf{D} \right|\mathbf{=}\int_{\mathbf{0}}^{\mathbf{1}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{\text{dx}}\mathbf{-}\int_{\mathbf{0}}^{\mathbf{1}}{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{dx}}}} = \int_{0}^{1}{x^{\frac{1}{2}}\text{dx} - \int_{0}^{1}{x^{2}\text{dx}}} = \left. \ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{1} - \left. \ \frac{1}{3}x^{3} \right|_{0}^{1} = \left. \ \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} \right|_{0}^{1} - \left. \ \frac{1}{3}x^{3} \right|_{0}^{1}$$

• Po scałkowaniu podstawiamy za x wartości graniczne (0 i 1)

$$\left| \mathbf{D} \right|\left( 0 \right) = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{*0 -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{*0 = 0}$$

$$\left| \mathbf{D} \right|\left( 1 \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{*1 -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{*1 =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$$

$$\left| \mathbf{D} \right| = \left| \mathbf{D} \right|\left( 0 \right) - \left| \mathbf{D} \right|\left( 1 \right) = \left| 0 - \frac{1}{3} \right|\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$$

Zadanie 3. Oblicz długość łuku krzywej

x² + y² = r²

Rozwiązanie:

Wiadomym jest że podany wzór jest wzorem na okrąg.

Okrąg jest elipsą o równych parametrach A i B. Równanie parametryczne elipsy to $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y =}\operatorname{A\ cos}\mathbf{t} \\ \mathbf{x = B}\sin\mathbf{t} \\ \end{matrix} \right.\ $

W związku z powyższym, równanie parametryczne okręgu to $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y =}\operatorname{r\ cos}\mathbf{t} \\ \mathbf{x = r}\sin\mathbf{t} \\ \end{matrix} \right.\ $

Przekształcamy sobie równanie wejściowe żeby można było obliczyć „r”

$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Po czym całkujemy w zakresie w którym zmienia się x i y (czyli sinus i cosinus) – od 0 do 2π

$$l = \int_{a}^{b}\sqrt{x^{2} + y^{2}}\text{dt} = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left( - r\sin t \right)^{2} + \left( \operatorname{r\ cos}t \right)^{2}}dt = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{{\operatorname{}\sin}^{2}t + {\operatorname{}\cos}^{2}t}\ dt = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{r^{2}(\sin^{2}t + \cos^{2}t})\ dt = r\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\sin^{2}t + \cos^{2}t}\text{\ dt\ }$$

W tym miejscu stosujemy wzór na jedynkę trygonometryczną: sin²α+cos²α = 1

r∫₀^2πdt =  rt|₀^2π = 2πr

Zadanie 4. Liczbę 15 rozłóż na sumę takich trzech składników dodatnich aby ich iloczyn był największy

Rozwiązanie:

Przedstawiamy sobie liczbę 15 jako sumę składników: 15 = x + y + z

Po czym staramy się usunąć jeden składnik (w tym wypadku „z”): z = 15 − x − y

Założenie x,y,z ≠ 0 (wtedy iloczyn byłby równy 0)

Składamy równanie szukanego iloczynu: I = x y z

Po czym podstawiamy pod nie „z”  I = x y (15−x−y) = 15 x y − x² y − x y² 

Obliczamy pochodne pojedyncze i podwójne:

I_x = 15 * y −  2 x y − y² I_xx = −2y

I_y = 15 * x − x² −  2 x y I_yy = −2x

I_xy = I_yx = 15 − 2x − 2y

Teraz przyrównujemy pojedyncze do zera i robimy z nich układ równań:

$\left\{ \begin{matrix} 15\ y - 2\ x\ y\ - \ y^{2} = 0 \\ 15\ x - \ x^{2} - 2\ x\ y\ = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ , wyciągamy zmienne poza nawias: $\left\{ \begin{matrix} \text{y\ }\left( 15 - 2\ x - y \right) = 0 \\ \text{x\ }\left( 15 - x - 2y \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Jako że ani x ani y nie jest zerem (co wynika z pierwotnego założenia), $\left\{ \begin{matrix} 15\ - 2\ x\ \ - \ y = 0 \\ 15\ - x\ \ - \ 2y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

Z tego wyznaczamy wartości x,y i z:

$$\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 15 \\ x + 2y\ = 15 \\ \end{matrix} \right.\ \ \frac{y = 15 - 2x}{\mathbf{x = 5,\ y = 5,\ z = 5}}$$

Obliczamy znak wyznacznika $\mathbf{W}\left( \mathbf{P} \right)\mathbf{=}\left| \begin{matrix} \mathbf{I}_{\mathbf{\text{xx}}} & \mathbf{I}_{\mathbf{\text{xy}}} \\ \mathbf{I}_{\mathbf{\text{yx}}} & \mathbf{I}_{\mathbf{\text{yy}}} \\ \end{matrix} \right|$, w punkcie (5,5)

$W\left( 5,5 \right) = \left| \begin{matrix} - 10 & - 5 \\ - 5 & - 10 \\ \end{matrix} \right| = 75 > 0$ znaczy to że równanie jest dobre

I_xx(5,5) = −10, I_xy(5,5) = −5, I_yy(5,5) = −10

I_max = 125

Zadanie 5. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchnią

x² + y² + z² = 9

Dr Konik uznał że jesteśmy zbyt tępi żeby (nawet z jego wskazówkami) dojść do tego co zrobić w tym zadaniu, w związku z czym rozwiązania nie podał.