1. Wstęp

Celem doświadczenia jest zbadanie zjawiska Halla w germanie typu p tj. określenie typu przewodnictwa, wyznaczenie stałej Halla, a także obliczenie ruchliwości
i koncentracji nośników większościowych w tym półprzewodniku.

W 1879 roku na Uniwersytecie Harward E. H. Hall zaprezentował doświadczenie, które pozwala na określenie znaku ładunku płynącego w przewodniku. Badany w nim efekt nazwano Efektem Halla. Polega on na powstawaniu różnicy potencjałów, zwanej napięciem Halla, w płytce przewodzącej umieszczonej w polu magnetycznym.

Jeżeli kierunek przepływu prądu o natężeniu I, jest prostopadły do kierunku pola magnetycznego B, to napięcie Halla powstaje między dwoma przeciwległymi punktami próbki (w kształcie prostopadłościanu o szerokości d) w kierunku prostopadłym do pola magnetycznego i kierunku przepływu prądu (kierunku pola elektrycznego E w płytce). Sytuację tą przedstawia rys. 1.

rys.1. Powstawanie natężenia pola elektrycznego Halla E_H
(a co za tym idzie napięcia Halla) w płytce o szerokości d w polu magnetycznym o indukcji B na skutek przepływu prądu I. Rysunek przed stawia sytuację, gdy nośnikami ładunku są dziury.

Przyczyną tego zjawiska jest pojawienie się siły Lorentza F_L (1), powodującej odchylenie nośników ładunku q w kierunku prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory prędkości cząstki v i pola magnetycznego.

(1)

W zależności czy nośnikami większościowymi ładunku w płytce są elektrony
(q=-e) gdzie e oznacza ładunek elementarny, czy dziury (q=e) to są one odchylane
w tym samym kierunku (rys.2), ale wytworzone w te sposób pole elektryczne Halla
ma przeciwne kierunki (na rys.1 pierwszym przedstawiono sytuację, gdy nośnikami ładunku są dziury).

rys.2. Nośniki ładunku w prostopadłościennej płytce i działające
na nie siły Lorentza.

W stanie równowagi (rys.1) siła Lorentza F_L jest równoważona powstałą na skutek wytworzenia pola elektrycznego Halla siłą F_e (2).

(2)

Po porównaniu obu wzorów dostaniemy wzór na warunek równowagi.

Powyższą równość możemy zapisać skalarnie, ze względu na prostopadłość pola magnetycznego i elektrycznego.

Uwzględniając, że pole elektryczne Halla jest stosunkiem napięcia Halla U_H do szerokości płytki d, oraz że prędkość dryfu elektronów v określa wielkość gęstości prądu j przepływającego przez próbkę (definiowanej jako stosunek prądu I płynącego przez płytkę do pola przekroju poprzecznego S tej płytki) dostaniemy wzór (3).

(3)

Pierwszy wyraz wzoru (3) jest nazywany stałą Halla R_H.

(4)

gdzie n jest koncentracją nośników ładunku. Wprowadzamy jeszcze wielkość zwaną ruchliwością nośników prądu μ definiowaną wzorem (5).

(5)

gdzie σ jest przewodnością właściwą próbki. We wszystkich tych wzorach, jeżeli nośnikami ładunku są elektrony, to q=-e, a jeśli dziury, to q=e. Zatem jeżeli stała Halla wyznaczona w doświadczeniu będzie ujemna, będzie to równoznaczne z tym, że nośnikami ładunku są elektrony, a jeżeli dodatnia, dziury. Koncentracja nośników jest oznaczana jako n jeżeli są nimi elektrony, a jeśli za przewodnictwo odpowiadają dziury, to koncentrację oznaczamy literą p.

2. Układ pomiarowy i przebieg wykonania ćwiczenia

W doświadczeniu używamy układu przedstawionego schematycznie na rys. 3.

rys. 3. Schemat układu pomiarowego przedstawiający idee doświadczenia.

Układ doświadczalny wykorzystywany w naszym doświadczeniu składa
się ze zintegrowanego Modułu zawierającego badaną próbkę półprzewodnikową oraz potencjometr sterujący prądem przepływającym przez próbkę, obwodu zasilania próbki, mierników: natężenia prądu I sterującego próbką (cyfrowy miliamperomierz
w Module), napięcia Halla U_H (cyfrowy miliwoltomierz), elektromagnesu (cewki indukcyjne i zasilacz), wytwarzającego pole magnetyczne o indukcji B, w którym umieszczony jest Moduł, sondy do pomiaru indukcji B pola magnetycznego (Hallotronu) i miernika wielkości tejże indukcji (Teslametru).

Nasze doświadczenie składa się z trzech etapów. Najpierw mierzymy zależność napięcia Halla U_H od natężenia prądu I w temperaturze pokojowej przy stałej wartości pola magnetycznego. W tym celu ustawiamy wartość indukcji pola magnetycznego równą 300 mT poprzez odpowiedni dobór napięcia i natężenia na zasilaczu i dokonujemy pomiaru napięcia Halla w zakresie zmian natężenia prądu
od -50 mA do 50 mA z krokiem 5 mA. Z otrzymanych danych wykonujemy wykres zależności U_H = f(I), na którym nanosimy niepewności pomiarowe odpowiednich wielkości fizycznych. Korzystając z metody regresji liniowej wyznaczamy współczynnik proporcjonalności α. Wzór (3) możemy przepisać w postaci (6).

(6)

Ponieważ S=ad, zatem nasz wzór (6) przechodzi w (7).

(7)

Nasz współczynnik proporcjonalności wyrażający się wzorem (8) pozwala na wyznaczenie stałej Halla (9).

(8)

(9)

Drugim etapem naszego doświadczenia jest zbadanie zależności napięcia Halla
U_H od indukcji pola magnetycznego B w temperaturze pokojowej. Ustawiamy wartość natężenia prądu równą 30 mA i przeprowadzamy pomiar napięcia Halla w przedziale zmienności indukcji pola magnetycznego od -432 mT do 432 mT z krokiem
10mT (ujemne wartości pola magnetycznego odpowiadają przeciwnej biegunowości cewki). Wykonujemy wykres zależności U_H = f(B). Na wykresie nanosimy niepewności pomiarowe odpowiednich wielkości fizycznych. Korzystając z metody regresji liniowej wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej β, a na jego podstawie wartość stałej Halla R_H, ruchliwości µ_H i koncentracji p nośników ładunku oraz określamy ich znak. Wzór (7) możemy zapisać w postaci (10).

(10)

Nasz współczynnik kierunkowy β wyrazi się wzorem (11), a naszą stałą Halla obliczymy ze wzoru (12).

(11)

(12)

Przekształcony wzór (4) pozwoli nam obliczyć koncentrację nośników p (13).

(13)

Ponieważ stała Halla wyraża się wzorem (4), to wzór (5) opisujący ruchliwość nośników ładunku możemy zapisać w postaci (14).

(14)

Zatem znając oporność właściwą σ w temperaturze pokojowej możemy wyznaczyć ruchliwość μ.

Ostatnim etapem jest pomiar zależności napięcia Halla U_H w funkcji temperatury
T przy stałej wartości pola magnetycznego i natężenia prądu. Ustawiamy wartość natężenia prądu równą 30 mA, a indukcji pola magnetycznego równą 300 mT. Pomiar napięcia Halla przeprowadzamy w zakresie zmian temperatury od 27 °C do 120 °C
co 15 °C. Następnie wykonujemy wykres zależności U_H = f(T) i nanosimy
na nim niepewności pomiarowe odpowiednich wielkości fizycznych.

3. Tabele z wartościami wielkości zmierzonych w trakcie eksperymentu

Tabela 1. Dane dotyczące płytki

szerokość d [m]	(9,9 ±0,05)·10^-3
grubość a [m]	(1,1 ±0,05)·10^-3
długość l [m]	(17,2 ±0,05)·10^-3
opór R [Ω] w temperaturze 22[ °C]	64,7±0,05

Tabela 2. Wyniki pierwszego etapu eksperymentu

I [mA]	UH [mV]	I [mA]	UH [mV]
50	124,4	-5	-14,5
45	113,9	-10	-25,2
40	102,0	-15	-38,7
35	89,0	-20	-51,6
30	75,3	-25	-61,9
25	64,5	-30	-74,7
20	53,3	-35	-88,1
15	38,1	-40	-101,2
10	26,6	-45	-111,6
5	14,5	-50	-126,2
0	0,0

Tabela 3. Wyniki drugiego etapu eksperymentu

B [mT]	UH [mV]	B [mT]	UH [mV]
432	110,9	-50	-15,4
400	104,3	-100	-30,3
350	93,9	-150	-44,0
300	82,3	-200	-58,7
250	70,3	-250	-70,4
200	57,9	-300	-81,8
150	44,1	-350	-93,2
100	30,8	-400	-103,4
50	15,1	-432	-109,5
0	0,0

Tabela 4. Wyniki trzeciego etapu eksperymentu

UH [mV]	T [°C]	UH [mV]	T [°C]
-7,4	120	49,1	70
-7,3	115	57,7	65
-6,6	110	64,5	60
-5,3	105	68,8	55
-2,1	100	72,4	50
2,6	95	74,5	45
9,1	90	75,8	40
17,7	85	76,4	35
29,1	80	76,9	30
36,4	75	77,2	27

4. Opracowanie wyników

W pierwszym etapie doświadczenia wyznaczaliśmy zależność napięcia Halla
od natężenia prądu. Zgodnie ze wzorem (7) jest to zależność liniowa postaci
y=αx+b. Wartości y odpowiadają mierzonym wartością napięcia Halla U_H, argumenty
x odpowiadają wartością natężenia prądu I, współczynnik kierunkowy α opisuje wzór (8), a współczynnik b powinien wynosić 0. Na podstawie danych z Tabeli 2, stosując metodę najmniejszych kwadratów, obliczamy współczynnik kierunkowy α. Korzystamy ze wzorów:

(15)

(16)

(17)

gdzie N jest ilością pomiarów. Następnie wyliczamy wartość stałej Halla
R_H na podstawie wzoru (9). Wyniki tych obliczeń zebrano w Tabeli 5 (potrzebny wymiar płytki wzięto z Tablicy 1).

Tabela 5. Wyniki obliczeń pierwszego etapu doświadczenia.

współczynnik α [V/A]	2,52
współczynnik b [V]	0,4
stała Halla RH [m^3/C]	0,09

W drugim etapie doświadczenia mierzyliśmy zależność napięcia Halla U_H od indukcji pola magnetycznego B. Zgodnie ze wzorem (10) jest to również zależność liniowa. Zastosujemy tu te same wzory (15), (16), (17) pamiętając, że wartościom y odpowiadają wartości napięcia Halla U_H, argumentom x wartości indukcji pola magnetycznego
B, współczynnik kierunkowy opisany jest wzorem (11), a wyraz wolny powinien wyjść 0. Dokonujemy wyliczenia stałej Halla R_H na podstawie wzoru (12), koncentracji
p na podstawie wzoru (13) i ruchliwości μ na podstawie wzoru (14). Występującą
w tym ostatnim wzorze wartość σ wyliczamy ze wzoru (15), na podstawie danych
z Tabeli 1 i wiedząc, że opór dla temperatury pokojowej (22 °C) wynosił
64,7 Ω (informacje te odczytano z próbki). Do obliczenia koncentracji przyjęto tablicową wartość ładunku elektronu: q=1,60219·10^-19 [C].

(15)

Wyniki naszych obliczeń zebrano w Tabeli 6.

Tabela 6. Wyniki obliczeń drugiego etapu doświadczenia.

współczynnik β [V/T]	0,26
współczynnik b [V]	0,2
stała Halla RH [m^3/C]	0,10
koncentracja p [1/m^3]	6,4·10^20
ruchliwość μ [m^2/Vs]	0,24

Ostatnim etapem doświadczenia było zbadanie zależności napięcia Halla
od temperatury. Poniżej znajdują się wykresy ilustrujące dane z tabel
2 – 4. W przypadku zależności napięcia Halla od natężenia i indukcji na wykresach naniesiono zarówno punkty doświadczalne jak i uzyskane metodą najmniejszych kwadratów funkcje liniowe oraz niepewności doświadczalne.

5. Rachunek błędów

Na wykresach 1 i 2 podano jeszcze współczynniki determinacji określające
na ile dobrze punkty doświadczalne wyznaczają linię prostą. Współczynnik korelacji (pierwiastek ze współczynnika determinacji) opisany jest wzorem (16).

(16)

gdzie i są wartościami średnimi x i y. Aby obliczyć niedokładności wyznaczenia stałej Halla i pozostałych obliczonych wartości, musimy najpierw obliczyć błędy wyznaczenia współczynników prostych. Zrobimy to na podstawie wzorów
(17), (18) i (19).

(17)

(18)

(19)

Do wyznaczenia niepewności pomiaru stałych Halla obliczonych na podstawie wzoru (9) i (12) wykorzystamy metodę różniczki zupełnej. Niepewności te będą opisane wzorami (20) i (21).

(20)

(21)

Niezbędne do obliczeń dane i obliczone w ten sposób wartości stałych Halla wraz

z ich niepewnościami zbiera Tabela 7.

Tabela 7. Niepewności parametrów i wyliczone stałe Halla

niepewność Δα [V/A]	0,009	Stała Halla (1 etap) RH [m^3/C]
niepewność Δβ [V/T]	0,003	0,009±0,002
niepewność ΔB [mT]	0,5	Stała Halla (2 etap) RH [m^3/C]
niepewność ΔI [mA]	0,5	0,009±0,002

Kolejne zadanie to wyliczenie niepewności wyznaczenia koncentracji nośników p oraz oporności właściwej σ i ruchliwości nośników μ. Skorzystamy tu również z metody różniczki zupełnej – wzorów (22), (23) i (24).

(22)

(23)

(24)

Obliczone na podstawie tych wzorów wyniki zawiera Tabela 8.

Tabela 8. Koncentracja, oporność właściwa, ruchliwość.

Koncentracja p [1/m^3]
(6,0±1,4)·10^20
Oporność właściwa σ [1/Ωm]
24,0±1,3
Ruchliwość μ [m^2/Vs]
0,24±0,07

6. Zapis końcowy

Uzyskane w doświadczeniu szukane wartości stałej Halla R_H, koncentracji
p i ruchliwości μ wynoszą:

Zgodnie z drugą pozycją literatury w doświadczeniu powinniśmy uzyskać następujące rzędy wielkości obliczanych wielkości: dla stałej Halla 10^-3 ÷ 10^-2 m³/C, koncentracji 10²⁰ ÷ 10²² 1/m³, ruchliwości 0,01 ÷ 1,00 m²/Vs.

7. Wnioski

Otrzymana przez nas wartość stałej Halla obarczona jest względną niepewnością
na poziomie 22%. Nie jest to wynik zachwycający, ale powinniśmy pamiętać
o dodatkowych czynnikach, których nie uwzględniliśmy przy wykonywaniu obliczeń,
a które wpłynęły na uzyskany przez nas wynik.

Po pierwsze, dla półprzewodników wzór (4) pozwala na obliczenie jedynie poprawnego rzędu wielkości współczynnika Halla. W przypadku opisu transportu nośników prądu w półprzewodniku należałoby jeszcze uwzględniać statystyczny rozkład prędkości nośników, a więc wziąć pod uwagę mechanizmy ich rozpraszania.

Po drugie, z poprzecznym gradientem temperatury związany jest efekt Ettinghausena, powodujący powstanie siły termoelektrycznej w wyniku zjawiska Seebecka. Zjawisko Ettinghausena polega na powstaniu poprzecznego gradientu temperatury na skutek różnej prędkości elektronów i dodatkowego napięcia Ettinghausena, które dodaje
się do napięcia Halla. Spowodowane jest ono elektronami o prędkościach większych
od średniej, które są nadal odchylane mimo przeciwdziałającego pola elektrostatycznego i skutkiem tego skupiają się przy jednym brzegu płytki. Elektrony wolniejsze (o prędkościach mniejszych od średniej) są odchylane przez poprzeczne pole elektryczne do przeciwległego boku. Na skutek rozproszenia na fononach elektronów szybkich (gorących) przy jednym brzegu płytki (ogrzewanie) i elektronów wolnych (chłodnych) na drugim (ochładzanie) powstaje różnica temperatur boków płytki.
W stanie ustalonym poprzeczny przepływ ciepła, powodowany przewodnictwem cieplnym materiału półprzewodnikowego i powstałą w powyższy sposób różnicą temperatur, będzie równoważony przez elektrony szybkie.

Po trzecie, z wzdłużnym gradientem temperatury łączą się dwa efekty. Efekt Nernsta jest powodowany różną rezystancją styków prądowych. Wówczas, na skutek wzdłużnej różnicy temperatur, nastąpi przepływ strumienia ciepła. Elektrony przemieszczające
się pod wpływem wzdłużnego gradientu temperatury są odchylane w polu magnetycznym i powstaje dodatkowe poprzeczne pole elektryczne, zakłócając pomiar napięcia Halla. Efekt Righiego – Leduca z kolei polega na tym, że szybkie elektrony, przemieszczające się pod wpływem wzdłużnego gradientu temperatury, są odchylane
w kierunku jednego z boków płytki, powodując również powstanie dodatkowego poprzecznego gradientu temperatury, co prowadzi do powstania siły termoelektrycznej również wprowadzając błąd w pomiarach.

Dokładność wyznaczenia stałej Halla przekłada się na niepewności względne pomiarów koncentracji i ruchliwości. Są one rzędu 22% i 25%. Jednak wartości wielkości uzyskane przez nas odpowiadają tym oczekiwanym.

Warto zwrócić uwagę na dopasowanie funkcji liniowych napięcia Halla od natężenia

i indukcji do punktów pomiarowych. Współczynnik korelacji w obu przypadkach jest bardzo bliski jedności, co świadczy o dokładności pomiarów i o dobrej zgodności teorii z doświadczeniem.

Należy jeszcze skomentować wykres 3 przedstawiający zależność napięcia Halla
od temperatury. Widzimy, że dla temperatury trochę wyższej od pokojowej jest
ono na poziomie 75 mV. W miarę wzrostu temperatury napięcie maleje. W zakresie temperatur 60 do 100 °C obserwujemy praktycznie liniowy spadek napięcia Halla. Później zmienia się jego polaryzacja.

Pomiar można by oczywiście poprawić. Należałoby wziąć pod uwagę wpływ czynników opisanych powyżej. Dla przykładu efekt Ettinghausena wiąże
się z powstawaniem gradientu temperatury i wymaga pewnego czasu, więc wpływ
ten można oszacować obserwując wartość napięcia Halla bezpośrednio po rozpoczęciu oraz pod koniec pomiarów. Poza tym gdyby na pracowni było więcej czasu, można
by precyzyjniej przeprowadzić pomiary. Po oszacowaniu konkretnej wartości natężenia, czy indukcji, można by za każdym razem usuwać pozostałość magnetyczną. Warto byłoby również zastosować dokładniejsze mierniki.

8. Literatura

1. Fizyka 2, David Halliday, Robert Resnick, PWN, Warszawa 1996, str. 190-192.

2. Laboratorium Fizyki – Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki, red. Sylwester Kania, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2007, str. 7-12, 193-196.

3. Tablice matematyczne fizyczne chemiczne astronomiczne, T. Szymczyk,
   S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, PPU „Park”, Bielsko-Biała 2001,
   str. 172.

4. Wstęp do Analizy Błędu Pomiarowego, John R. Taylor, PWN, Warszawa 1995, str.172-182, 199-203.