Rzut prostopadły punktu na hiperpłaszczyznę, własności

Def. Hiperpłaszczyzną k-wymiarową w przestrzeni kartezjańskiej Rⁿ, 0 ≤ k ≤ n , nazywamy każdy podzbiór H ⊂ Rⁿ izometryczny z przestrzenią kartezjańską R^k.

Def. Rzutem prostopadłym punktu p∈Rⁿ na hiperpłaszczyznę H⊂Rⁿ nazywamy punkt p′∈H taki, że $\overrightarrow{\mathbf{\text{\ p}}\mathbf{p}^{\mathbf{'}}}\mathbf{\bot H}$. Punkt p′ wyznacza odległość p od H. Przez odległość punktu p od hiperpłaszczyzny H rozumiemy ρ(p,H) = inf_xϵAρ(p,x). Inaczej jest to długość najkrótszego wektora prostopadłego do hiperpłaszczyzny H.

Odległością punktu p od płaszczyzny k-wymiarowej H jest więc odległość punktu p od jego rzutu prostopadłego p′ na płaszczyznę H.

ρ(p,H) = ρ(p, p^′)

Niezmienniczość: Rzut prostopadły punktu jest niezmiennikiem izometrii. Gdy f :  Rⁿ →  R^m jest izometrią, p ∈ Rⁿ, H ⊂ Rⁿ, p′ jest rzutem prostopadłym p na H, to rzutem f(p) na f[H] jest punkt f(p′).

Definicja (symetria): Jeżeli środek dwóch punktów p i $\overset{\overline{}}{p}$ przestrzeni Rⁿ, oznaczany $\frac{\ p + \overset{\overline{}}{p}}{2}$ należy do H a wektor $\overrightarrow{\text{\ p}p^{'}}$ jest prostopadły do H to punkty p i $\overset{\overline{}}{p}$ nazywamy symetrycznymi względem hiperpłaszczyzny H (czyli, jeśli ich środek $\frac{\ p + \overset{\overline{}}{p}}{2}$ jest rzutem prostopadłym punktu p na hiperpłaszczyznę H).

Dla dowolnego punktu p istnieje dokładnie jeden punkt $\overset{\overline{}}{p}$ symetryczny do p względem H.

Jeżeli rzutem prostopadłym p na H jest p′ to $p^{'} = \frac{p + \overset{\overline{}}{p}}{2}$ skąd $\overset{\overline{}}{p} = 2p^{'} - p$. Kładąc $\overset{\overline{}}{p} = 2p^{'} - p$ otrzymujemy punkt symetryczny do p względem H.