Sprawozdanie M13 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA SPRĘŻYSTOŚCI ORAZ STAŁEJ TŁUMIENIA DRGAŃ MECHANICZNYCH


Sprawozdanie ,,M13”

ĆWICZENIE ,,M13”

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA SPRĘŻYSTOŚCI ORAZ STAŁEJ TŁUMIENIA DRGAŃ MECHANICZNYCH

OCENA Z KOLOKWIUM

OCENA ZE SPRAWOZDANIA

OCENA KOŃCOWA

I.WSTĘP TEORETYCZNY

Ciało stałe może podlegać działaniu różnych sił doznając przy tym różnego rodzaju odkształceń. Pod wpływem sił rozciągających ciało wydłuża się a pod wpływem takich sił jak skręcanie i uginanie, ulega złożonym deformacjom. W zależności od wielkości siły odkształcającej i rodzaju ciała, ciało może ulegać odkształceniom przejściowym lub trwałym. Jeżeli po usunięciu siły odkształcającej ciało powraca do rozmiarów początkowych - odkształcenie nazywamy sprężystym. Spostrzeżenia te po raz pierwszy zostały sformułowane przez Roberta Hooke'a (1635 - 1703) następująco:

Rodzaje odkształceń:

działa wszędzie ciśnienie (naprężenie przeciwdziałające oddalaniu się molekuł). Wtedy bowiem nie zmienia się kształt ciała, lecz zmieniają się jego rozmiary. Ze zmianą rozmiarów związana jest zmiana objętości. Zmiana objętości przy tych samych siłach zewnętrznych jest tym większa, im większa jest objętość tego ciała. Miarę odkształcenia ciała jest, zatem nie zmiana objętości ∆V, bo każda jednostka objętości zmienia się jednakowo, lecz zmiana objętości przypadająca na jednostkę objętości pierwotnej, a więc stosunek ∆V do V, oznaczamy literą θ

θ = 0x01 graphic

i nazywamy rozszerzeniem lub skróceniem objętościowym właściwym. Według prawa Hooke'a θ i ciśnienie na powierzchnię p są wielkościami proporcjonalnymi.

p ≈ θ

Zatem stosunek tych dwóch wielkości 0x01 graphic
jest stały. Jest on miarą wielkości nasyconej, modułem sprężystości objętościowej lub modułem ściśliwości. Moduł ściśliwości wyraża się w takich samych jednostkach jak ciśnienie i oznaczamy literą K.

0x01 graphic
, skąd p = - Kθ

Znak minus z faktu, że p jest wielkością dodatnią, a θ ujemną (gdyż przyrost ΔV jest ujemny).

styczne np. sześcian o nieruchomej podstawie pod wpływem ciśnienie stycznego działającego na górną jego część odkształci się w równoległościan. Miarą odkształcenia jest, zatem 0x01 graphic
. Ponieważ kąt α jest bardzo mały można przyjąć: tgα ≈ α. Wysokość równoległościanu po odkształceniu w przybliżeniu jest równa wysokości sześcianu. Następuje, zatem tylko zmiana kształtu bez zmiany objętości. Zgodnie z prawem Hooke'a ciśnienie styczne 0x01 graphic
i odkształcenie są wielkościami proporcjonalnymi: 0x01 graphic
, zatem stosunek 0x01 graphic
jest stały i oznaczony literą G.

0x01 graphic

Stałą G wywierającą właściwości sprężyste materiału nazywa się modułem sprężystości postaciowej. Im większy jest moduł sprężystości postaciowej, tym bardziej trudniej jest zmienić kształt ciała. Ponieważ α jest liczbą bezwymiarową to moduł G ma wymiar ciśnienia.

Wydłużenie następuje wówczas, gdy na pręt o przekroju A i długości L0 działa siła rozciągająca F, na pręt działa wówczas ciągnienie:0x01 graphic
, pod wpływem, którego długość powiększy się o ΔL. Gdyby siła F była siłą ściskającą, długość pręta o tyleż by się zmniejszyła. Stosunek 0x01 graphic
jest miara wielkości i nazywa się wydłużeniem właściwym lub skróceniem właściwym, (gdy ΔL jest ujemne). Przy rozciąganiu pręta długość jego rośnie. Jednocześnie wymiary poprzeczne jego zmniejszają się. Według prawa Hooke'a 0x01 graphic
.

(σ jest zatem proporcjonalne do ε). Zatem stosunek tych dwóch wielkości jest stały. Jest on miarą własności sprężystych materiału wykonanego przy rozciąganiu. Oznacza się go literą E i nazywa modułem Younga:

0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic

Ruch drgający - to ruch punktu materialnego, w którym siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia x od położenia równowagi i przeciwnie skierowana do tego wychylenia:

Fs = -kx

k - stała proporcjonalności

Minus odpowiada przeciwnie zwrotowi siły względem wychylenia. Przykładem takiej siły jest siła wywołana przez sprężynę podlegającą prawu Hooke'a (wówczas jest stałą sprężystości). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona.:

Fs = ma

ma = -kx/m

a = - ω2x

ω - częstość kołowa

Równanie to wyraża zależność między przyspieszeniem a i wychyleniem x. W związku z tym, że przyspieszenie jest drugą pochodną drogi przebytej przez ciało względem czasu t, można napisać równanie:

0x01 graphic

Jest to równanie ruchu kołowego, którego rozwiązaniem jest następująca zależność:

x = Asin(ωt + φ)

A - amplituda drgań harmonicznych

φ - przesunięcie fazy

Po obliczeniu pierwszej i drugiej pochodnej względem osi x, otrzymam wartość prędkości i przyspieszenia w rozpatrywanym ruchu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Drgania tłumione - to drgania ciała, które odbywają się w ośrodku materialnym (gaz, ciecz), to wskutek występowania siły oporu ośrodka tzw. siły tłumionej, drgania zanikają. Nie zależnie od natury ośrodka siła tłumiąca Ft jest proporcjonalna do prędkości, jeśli prędkość ta jest niewielka.

0x01 graphic

Współczynnik proporcjonalności b nazywa się współczynnikiem oporu. Znak minus uwzględnia fakt, że siła Ft jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.

Uwzględniając działanie siły tłumiącej można dla drgań tłumionych, zgodnie z trzecią zasadą Newtona napisać:

Fs + Ft = ma

0x01 graphic

Jest to różniczkowe równanie drgań tłumionych punktu materialnego. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

x = A0e-βtcos(ω1t + φ)

0x01 graphic
- stała tłumienia

0x01 graphic
- pulsacja drgań tłumionych

Wskutek działania siły tłumiącej:

- amplituda drgań maleje z upływem czasy według zależności: A = A0e-βt

- pulsacja drgań jest mniejsza niż dla drgań swobodnych: 0x01 graphic

Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny dwóch amplitud w chwilach t i t + T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą δ piszemy:

0x01 graphic

II.CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

1.)

0x01 graphic

0x01 graphic
- odkształcenie

0x01 graphic
- moduł Younga

F2 - siła obciążająca

Fs - siła sprężystości

A - przekrój poprzeczny

Poprzez porównanie wzorów otrzymuję:

0x01 graphic

Wstawiam za wyrażenie stojące przy x literkę k i otrzymuję wzór na siłę zewnętrzną:

F2 = kx

W związku z tym, że siła sprężystości ma taką samą wartość jak siła obciążająca, lecz przeciwny zwrot możemy napisać:

Fs = - kx

wyznaczenie masy poszczególnych obciążników, położenia równowagi oraz ich wydłużenia. Otrzymane wyniki przedstawiłem w tabeli nr.1

Tab. 1

L.p

m0

[kg]

m

[kg]

x0

[mm]

x

[cm]

xn

[cm]

xn

[m]

F2n

[N]

1

0,2

0,0488

152

157,5

5,5

0,055

0,488

2

0,2

0,0507

152

162

10

0,1

0,507

3

0,2

0,0516

152

167,7

15,7

0,157

0,516

4

0,2

0,0518

152

174,4

22,4

0,224

0,518

5

0,2

0,050

152

181

29

0,29

0,5

n - numer obciążnika

Wyznaczam wydłużenie xn dla poszczególnych obciążników:

x1 = xn1 - x0 = 157,5 - 152 = 5,5 cm = 0,055 m

x2 = xn2 - x0 = 162 - 152 = 10 cm = 0,1 m

x3 = xn3 - x0 = 167,7 - 152 = 15,7 cm = 0,157 m

x4 = xn4 - x0 = 174,4 - 152 = 22,4 cm = 0,224 m

x5 = xn5 - x0 = 181 - 152 = 29 cm = 0,29 m

Wyznaczam siłę obciążającą F2n dla poszczególnych obciążników:

g = 9,81 m/s2 ≈ 10 m/s2

F21 = m1 · g = 0,0488 · 10 = 0,488 N

F22 = m2 · g = 0,0507 · 10 = 0,507 N

F23 = m3 · g = 0,0516 · 10 = 0,516 N

F24 = m4 · g = 0,0518 · 10 = 0,518 N

F25 = m5 · g = 0,050 · 10 = 0,5 N

Wyznaczam niepewności pomiarowe dla poszczególnych wartości:

n = ∆n0 = 100 mg = 0,0001 kg

m0 = (0,02 0x01 graphic
0,0001) kg

m1 = (0,0488 0x01 graphic
0,0001) kg

m2 = (0,0507 0x01 graphic
0,0001) kg

m3 = (0,0516 0x01 graphic
0,0001) kg

m4 = (0,0518 0x01 graphic
0,000) kg

m5 = (0,05 0x01 graphic
0,0001) kg

Wyznaczam niepewność dla wydłużenia xk:

xn = x - x0 ∆x0 = 1 mm = 0,001 m

xn= f(x,x0) ∆x = 1 mm = 0,001 m

∆xn = 0x01 graphic

∆xn = 0x01 graphic

∆xn = 0,001 + 0,001 = 0,002 m

xn1 = (0,0050x01 graphic
0,002) m

xn1 = (0,0100x01 graphic
0,002) m

xn1 = (0,0150x01 graphic
0,002) m

xn1 = (0,0220x01 graphic
0,002) m

xn1 = (0,0290x01 graphic
0,002) m

Wyznaczam niepewność dla siły obciążającej F2:

F2 = m · g

F2 = f(m)

0x01 graphic

0x01 graphic

F2 = 10 · 0,0001 = 0,001 N

F21 = (0,4880x01 graphic
0,001) N

F22 = (0,5070x01 graphic
0,001) N

F23 = (0,5160x01 graphic
0,001) N

F24 = (0,5180x01 graphic
0,001) N

F25 = (0,5000x01 graphic
0,001) N

Wyznaczam współczynnik k metodą regresji liniowej, korzystając z zależności x od przyłożonej siły obciążającej F2:

F2 = - kx

0x01 graphic

y - ax + b

Do tego celu posłużę się specjalnie zaprojektowaną tabelą nr. 2

Tab. 2

L.p

xi

F2[N]

yi

xn[m]

xiyi

xi2

yi2

1

0,488

0,0055

0,002684

0,238144

0,00003025

2

0,507

0,01

0,00507

0,257049

0,0001

3

0,516

0,0157

0,0079599

0,266256

0,00024649

4

0,518

0,0224

0,0116032

0,268324

0,00050176

5

0,5

0,029

0,0145

0,25

0,000841

0x01 graphic

2,529

0,0826

0,04182

1,27977

0,00172

W celu wyznaczenia współczynnika sprężystości k, muszę wyznaczyć współczynnik a metodą regresji liniowej:

0x01 graphic

Wyznaczam współczynniki a i b:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczam współczynnik k:

0x01 graphic

0x01 graphic

Aby wyznaczyć niepewność dla współczynnika sprężystości k, trzeba wyznaczyć niepewność współczynnika a metodą regresji liniowej:

0x01 graphic

Wyznaczam niepewność dla współczynnika a:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczam niepewność dla współczynnika sprężystości k:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wykonuję obliczenia, które są niezbędne do wykonania zależności wydłużenia x od przyłożonej siły F2

Wyznaczam niepewność dla współczynnika b:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczam równanie prostej teoretycznej:

y = ax + b

y = 0,053700787x -0,010641858

Wyznaczam przykładowe punkty należące do prostej teoretycznej:

x = F2

Wyznaczam równania prostych ograniczających, które wyznaczają niepewność prostej teoretycznej:

y1 = (a + ∆a)x + b + ∆b y2 = (a - ∆a)x + b - ∆b

y1 = 0,496039781 x + 0,009167081 y2 = -0,388638207x +0,001474777

Wyznaczam przykładowe punkty należące do prostych ograniczających:

y1:

dla x = 0,0488 y1 = 0,033373822 (0,0488 ; 0,033373822)

dla x = 0,0516 y1 = 0,034762733 (0,0516 ; 0,034762733)

dla x = 0,0500 y1 = 0,03396907 (0,0500 ; 0,03396907)

y2:

dla x = 0,0488 y2 = - 0,017490767 (0,0488 ; - 0,017490767)

dla x = 0,0516 y2 = - 0,018578954 (0,0516 ; - 0,018578954)

dla x = 0,0500 y2 = - 0,017957133 (0,0500 ; - 0,017957133)

2.)

drgań mechanicznych:

Wyznaczanie stałej tłumienia β, a tym samym współczynnika tłumienia (b = 2βn), odbywa się na podstawie związku pomiędzy logarytmicznym dekrementem tłumienia δ, a stałą tłumienia β oraz okresu drgań układu drgającego T.

0x01 graphic

Zanotowane podczas przeprowadzenia doświadczenia wyniki zamieściłem w tabeli nr. 3

Tab. 3

L.p

x0

[cm]

x0 - 10

[cm]

x1

[cm]

x2

[cm]

x3

[cm]

x4

[cm]

4T

[s]

T

[s]

1

159,5

149,5

164,5

154

160,5

166,6

3,3

0,825

2

163

153

172

158

162

164

2,9

0,725

3

169,5

159,5

175

164

171

166

3,2

0,8

4

177,5

167,5

182,1

172,4

179,1

174,3

4,3

1,075

5

182,3

172,3

186,2

172,1

176,4

174,3

5,1

1,275

Wyznaczam logarytmiczny dekrement tłumienia δ, biorąc pod uwagę fakt, że jego wartość jest równa logarytmowi naturalnemu stosunku dwóch kolejno następujących po sobie amplitud:

0x01 graphic

xn - wychylenie w chwili t

xn+1 - kolejne wychylenie w chwili t + T

0x01 graphic

Wyznaczam niepewność pomiarową dla logarytmicznego dekrementu tłumienia δ:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

W związku z tym, że niepewności logarytmicznego dekrementu tłumienia są różne obliczam jego średnią ważoną:

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam niepewność średniej ważonej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam stałą tłumienia ze wzoru:

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam niepewność dla okresu T:

0x01 graphic

Wyznaczam niepewność dla stałej tłumienia β:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

W związku z powyższym, że niepewności stałej tłumienia są różne, obliczam ich średnią ważoną:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam niepewność średniej ważonej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
s

0x01 graphic

Wyznaczam współczynnik tłumienia b, ze wzoru:

b = 2βmc

b1 = 2β1(m0 + m1) = 2 · 1,1(0,02+0,0488) = 2,2 · 0,00688 = 0,015136 ≈ 0,0150x01 graphic

b2 = 2β2(m0 + m1 + m2) = 2 · 1,2(0,02 + 0,0488 + 0,0507) = 2,4 · 0,1195 = 0,2868 ≈ 0,290x01 graphic

b3 = 2β3(m0 + m1 + m2 + m3) = 2 · 1,1(0,02 + 0,0488 + 0,0507 + 0,0516) = 2,2 · 0,1711 = = 0,37642 ≈ 0,380x01 graphic

b4 = 2β4(m0 + m1 + m2 + m3 + m4) = 2 · 0,011(0,02 + 0,0488 + 0,0507 + 0,0516 + 0,0518) =

= 0,022 · 0,1713 = 0,0037686 ≈ 0,00380x01 graphic

b5 = 2β5(m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5) = 2 · 0,058(0,02 + 0,0488 + 0,0507 + 0,0516 +

+ 0,0518 + 0,050) = 0,116 · 0,2213 = 0,0256708 ≈ 0,0260x01 graphic

Wyznaczam niepewność pomiarową dla masy mc = m0 + m:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczam niepewność pomiarową dla współczynnika tłumienia b dla poszczególnych obciążników:

b = 2βmc

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

W związku z tym, że niepewności współczynnika b są różne, obliczam jego średnią ważoną:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Obliczam średnią niepewność średniej ważonej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wnioski:

Celem doświadczenia było wyznaczanie współczynnika sprężystości oraz stałej tłumienia drgań mechanicznych. Wyniki doświadczenia, które przeprowadziłem są obarczone błędem spowodowanym niedokładnością przyrządów użytych w doświadczeniu.

1

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5, Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika proporcjonalności c oraz modułu sprężyści postaci
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymalnej promieniowania beta, Pollub MiBM, fizy
Wyznaczanie współczynnika sprężystości i współczynnika tłumienia metodą drgań mechanicznych (2)
Wyznaczanie współczynnika osłabiania oraz energii maksymalnej promieniowania b v9 (2)
Wyznaczanie współczynnika osłabiania oraz energii maksymalnej promieniowania b v8 (2)
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymal(2), Pracownia Zak˙adu Fizyki Technicznej
3. Wyznaczanie współczynnika elektrochemicznego miedzi i stałej Faraday’a, LAB10 02, Wyznaczanie r˙w
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymalnej, PRACOWNIA ZAK˙ADU FIZYKI TECHNICZNEJ
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymalnej promieniowania b v2, Fizyka
Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny, studia, fizyka
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymalnej promieniowania b v7 (2)
3 Wyznaczanie współczynnika elektrochemicznego miedzi i stałej?raday’a ?radaye
sprawozdanie 105 - Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej ciał stałych, Fizyka
Wyznaczanie współczynnika osłabienia oraz energii maksymalnej promieniowania b v3, Fizyka

więcej podobnych podstron