UNIWERSYTET WARMIŃSKO-MAZURSKI

Wydział Nauk Technicznych

Mechanika i Budowa Maszyn

SPRAWOZDANIE

Wyznaczanie momentu bezwladności metodą dynamiczną

Wyznaczanie modulu sztywności metodą dynamiczną

Dorosz Damian

MiBM

Rok II

Siła wypadkowa F wywołująca przyspieszenie a spełnia równanie F = ma. Moment wy­padkowy siły, wywołujący przyspieszenie kątowe a w ruchu obrotowym, spełnia za­leżność

Porównując te dwa wzory stwierdzimy, że wyrażenie

odgrywa w ruchu obrotowym podobną rolę jak masa w ruchu postępowym. Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów ich odległości od osi obrotu jest

miarą bezwładności bryły w ruchu obrotowym i nosi nazwę momentu bezwładności I względem danej osi obrotu

W przypadku ciała sztywnego o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli na nieskończenie małe-elementy masy dm i sumowanie we wzorze zastępujemy ca kowaniem. Wtedy moment bezwładności wyraża się wzorem

I = ∫ r² dm

przy czym całkowanie rozciągnięte jest na całą objętość ciała.

Ze wzoru widać, że o bezwładności bryły obracającej się nie decyduje suma mas poszczególnych cząstek bryły. Zasadnicze znaczenie ma rozmieszczenie mas względem osi obrotu.

M_w = αI

Jest to podstawowe prawo ruchu obrotowego. Zgodnie z tym prawem wypadkowy mo­ment siły działający na ciało obracające się równa się iloczynowi momentu bezwładności względem aktualnej osi obrotu przez przyspieszenie kątowe obrotu bryły. (Prawo w tej prostej postaci obowiązuje, gdy moment bezwładności ciała jest niezmienny w czasie.)

Można moment bezwładności przedstawić jako:

I = m k²

Czynnik k nosi nazwę ramienia bezwładności. Jest to wielkość, która po podniesieniu do kwadratu i pomnożeniu przez całkowitą masę bryły daje moment bezwładności.

Dla podkreślenia zależności momentu bezwładności od wyboru osi podajemy twier­dzenie Steinera. Zgodnie z tym twierdzeniem, moment bezwładności I względem dowolnej osi jest związany z momentem bezwładności I₀ względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi danej następującą zależnością:

I = I₀ + md²,

gdzie:

m − oznacza całkowitą masę bryły,

d − odległość wzajemną obu osi.

Jeżeli weźmiemy prostopadłościan o bokach a,b,c i unieruchomimy jego górną podstawę, a do dolnej przyłożymy siłę to przekształci się w równoległościan. Zakładając że nastąpi tylko odkształcenie sprężyste prostopadłościan nie zmieni swojej objętości lecz tylko swój kształt.

Za miarę odkształcenia przyjmujemy kąt
. Kąt ten jest z reguły bardzo mały, gdyż jest to odkształcenie sprężyste. Naprężenia styczne możemy wyznaczyć ze wzoru:

gdzie:

G - moduł sztywności

- kąt odkształcenia postaciowego

Moduł sztywności G liczbowo jest równy naprężeniu stycznemu, gdy ciało zostanie odkształcone o taki kąt
, którego tangens jest równy jedności.

Jednostką modułu sztywności jest 1N/m² = 1Pa. Moduł ten odczytujemy z tablic.

Obliczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną:

Zestawienie pomiarów:

Lp.	L [m]	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	tśr [s]	I [kg*m^2]
1	0,031	5,69	5,63	6,03	5,78	0,0027(0,0002)
2	0,041	5,40	5,37	6,28	5,35	0,0029(0,0002)
3	0,051	6,53	6,25	6,16	6,31	0,0033(0,0003)
4	0,061	7,12	7,09	7,28	7,16	0,0041(0,0003)
5	0,071	8,22	8,28	8,15	8,29	0,0055(0,0003)
6	0,081	8,25	8,28	8,37	8,30	0,0051(0,0004)
7	0,091	8,37	8,19	8,50	8,35	0,0057(0,0004)
8	0,101	9,25	9,15	9,10	9,17	0,0067(0,0005)
9	0,111	9,35	9,20	9,32	9,29	0,0069(0,0005)
10	0,121	9,93	10,08	9,94	9,98	0,0079(0,0006)
11	0,131	10,56	10,22	10,37	10,38	0,0086(0,0006)
12	0,141	10,50	10,97	10,78	10,75	0,0092(0,0006)
13	0,151	11,43	11,44	12,12	11,66	0,0109(0,0007)
14	0,161	10,07	11,75	11,82	11,88	0,0113(0,0008)
15	0,171	13,22	12,62	13,16	13,00	0,0135(0,0009)

Dane do obliczeni modułu bezwładności

r = 0,007m

h = 0,60m

m = 200g = 0,2kg

Momenty bezwładności obliczaliśmy ze wzorów:

RACHUNEK BŁĘDU:

Błąd
obliczamy ze wzoru:

Wyniki obliczeń w tabelce po wyżej.

Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.

Zestawienie pomiarów:

	10T [s]	10T [s]	10T [s]	T średnie [s]	G [N/m^2]	ΔG
Bez sześcianu T0	18,20	18,49	18,30	1,83
I1=296,1*10^-6 [kg*m^2]	23,20	23,26	23,26	2,32	622·10^8	91·10^8
I2=301,1*10^-6[kg*m^2]	23,20	23,28	23,28	2,33	621·10^8	89·10^8
I3=287*10^-6 [kg*m^2]	23	23,33	23,34	2,32	629·10^8	94·10^8

Dane:

r = 0,25mm = 0,00025m

l₁ = 128,05mm = 0,12805m ± 0,00005m

l₂ = 129,80mm = 0,1298m ± 0,00005m

Moduł sztywności wyznaczamy ze wzoru:

G - moduł sztywności (sprężystości postaciowej)

T - czas 10 okresów

T₀ - czas jednego okresu

RACHUNEK BŁĘDU:

2

---