DATA WYKONANIA: 14.03.2002r. GRUPA: T6

LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ

NUMER ĆWICZENIA: 6 PODGRUPA: 5

ĆWICZENIE NR 6

WYZNACZANIE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI

I ŚRODKA CIĘŻKOŚCI BRYŁ I FIGUR PŁASKICH

SKŁAD PODGRUPY:	OCENY:
1. ELA GUMULARZ 2. Łukasz Miszczak 3. Szymon Majchrzak 4. Piotr Bąk 5. Tomasz Chaberek

SPRAWOZDANIE

1. Cel ćwiczenia.

Celem przeprowadzenia ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie momentów bezwładności brył obrotowych oraz środków ciężkości brył nieregularnych. Momenty bezwładności wyznaczano metodą I , przy czym metoda ta sprowadzała się do bezpośredniego pomiaru czasu; natomiast w celu wyznaczenia środków ciężkości kilku brył nieregularnych (metoda III) odczytywano wartości kątów na skali kątowej stanowiska pomiarowego.

2. Wstęp teoretyczny.

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda I.

W ruchu obrotowym jednostajnym przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε = = = ε₀ = const

po scałkowaniu tego równania względem czasu t znajdujemy prędkość kątową:

ω = = ε₀t + ω₀

z tego wzoru wyznaczamy prędkość początkową ω₀ i przyśpieszenie ε₀ ponieważ znamy prędkości kątowe ω₁, ω₂ odpowiadające znanym chwilom czasowym t₁ i t₂

ω₀ = ε₀ =

ponieważ ω₀ = ω₁ , ω₂ = 0 i t₂ = t_p (czas pomierzony) to przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε₀ = -

Moment hamujący obliczamy ze wzoru:

M = Iε₀ = -I

Wyznaczanie położenia środków ciężkości brył nieregularnych. Metoda III.

Środek ciężkości bryły wyznaczamy metodą zawieszania bryły na linach.

Aby wyznaczyć środek ciężkości bryły podwieszamy dodatkowy ciężar Q jak to pokazuje rysunek. Zrównania równowagi momentów które ma postać:

Qa - G h sinα = 0

obliczamy odległość h:

h =

odległość ta określa położenie punktu c. Punkt ten jest środkiem ciężkości tej bryły.

Rysunek przedstawiający sposób wyznaczania środka ciężkości.

Rys. 1. Wyznaczanie środka ciężkości.

3. Przebieg ćwiczenia.

METODA I

Schemat stanowiska pomiarowego dla metody pomiaru czasu wybiegu przedstawiono poniżej.

Rys. 2. Stanowisko pomiarowe (metoda I).

1 - rama,

2 - silnik elektryczny,

3, 4 - sprzęgła,

5 - podpora łożyskowa wału,

6 - przesuwna podpora łożyskowa wału,

7 - prądnica tachometryczna,

8 - przedmiot o memencie bezwładności I_I

9 - przedmioty o mementach bezwładności I_II i I_III ,

10 - śruby mocujące podporę 6,

11, 12 - wałki ,

Ćwiczenie rozpoczynamy od założenia na końcówki wałków 11 i 12 przedmiotu 8 po czym zbliżamy maksymalnie podporę 6 w kierunku silnika 2. Następnie włączamy silnik i czekamy, aż osiągnie stałą prędkość kątową obserwując wskazania tachometru. Przy ustalonej liczbie obrotów notujemy prędkość obrotową n₀. Kolejną czynnością jest wyłączenie silnika i jednoczesne włączenie stopera, w momencie kiedy układ przestaje wirować, stoper zatrzymujemy a czas wybiegu t_p zapisujemy.

Dokonujemy pomiaru wymiarów geometrycznych przedmiotu (bryły) , które zapisujemy oraz wartość momentu bezwładności wirnika silnika i sprzęgła I_w.

Metoda ta opiera się na drugim prawie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, które mówi, że ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony) jest skutkiem działania stałego co do wartości niezrównoważonego momentu zgodnie z zależnością :

gdzie: I - moment bezwładności względem osi obrotu ciała ,

ε₀ - przyspieszenie kątowe,

ω₀ - początkowa prędkość kątowa,

t_p - czas po jakim prędkość kątowa osiągnie wartość ω=0,

n - początkowa liczba obrotów układu,

Znak minus oznacza, że analizowany ruch jest ruchem jednostajnie opóźnionym.

Moment hamujący wyznaczono doświadczalnie dla bryły 1, a następnie wykorzystano go do doświadczalnego wyznaczenia momentów brył 2 i 3. W celu wyznaczenia momentu hamującego obliczono analitycznie moment bezwładności bryły 1 i obliczono wartość opóźnienia, wykorzystując średni czas zatrzymania układu.

BRYŁA 1

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 1 podzielono ją myślowo na trzy jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

I = I₁ + I₂ - I₃

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 1 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment:

Dane:=21.5 [mm]=0.0215 [m]

=78. [mm]=0.078 [m]

ρ = 8 * 10³ [kg/m³] {dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: =3.29 [kg] oraz I₁ = 100,08 * 10^-4 [kg * m²]

Obliczam moment:

Dane:=68,6 [mm]=0.0686 [m]

=30 [mm]=0.03 [m]

Po podstawieniu otrzymuję: =1.55 [kg] oraz I₂ = 6,975 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=90.1 mm]=0.091 [m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.23 [kg] oraz I₃ = 0,115 * 10^-4 [ kg *m²]

Moment bezwładności bryły 1 wynosi:

I_obl = 106,94 * 10^-4 [ kg *m²]

Masa bryły 1 wynosi: M1=4.61 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 1 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

t_śr = 7 [s]

Aby obliczyć moment bezwładności wyznaczam moment hamujący. Moment hamujący działający na układ wyznaczam ze wzoru:

M = I * ε₀

Jako I przyjęto moment obliczony analitycznie dla bryły pierwszej

czyli;
I = 106,94 * 10^-4 [ kg *m²]

więc M = 2302,42 *10^-4 [ kg *m²]

Bryła pierwsza została potraktowana jako bryła wzorcowa.

BRYŁA 2

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 2 podzielono ją myślowo na cztery jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

I = I₁ + I₂ + I₃ - I₄

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 2 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment i :

Dane:=44 [mm]=0.044 [m]

=28.5 [mm]=0.0285 [m]

ρ = 8 * 10³ [kg/m³] {dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: ==0.9 [kg] oraz I₁ = I₂ = 36,551 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment:

Dane:=34.4 [mm]=0.0344 [m]

=85 [mm]=0.085[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =6.24 [kg] oraz I₃ = 225,42 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=122.4[mm]=0.1224[m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.31 [kg] oraz I₄ = 0,155 * 10^-4 [ kg *m²]

Moment bezwładności bryły 2 wynosi:

I_obl = 298,37 * 10^-4 [ kg *m²]

Masa bryły 2 wynosi: M2=7.73 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 2 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

t_śr = 17,16 [s]

Moment z pomiaru wynosi: I_II = 262,23 * 10^-4 [ kg *m²]

Błąd pomiaru wynosi:

BRYŁA 3

W celu analitycznego wyznaczenia momentu bryły 3 podzielono ją myślowo na cztery jednorodne , współosiowe walce i zsumowano ich momenty względem wspólnej osi.

I = I₁ + I₂ + I₃ --I₄

Analitycznie obliczam moment bezwładności bryły 3 korzystając ze związku;

; gdzie:

Obliczam moment i :

Dane:=19,5 [mm]=0.0195 [m]

=28.5 [mm]=0.0285 [m]

ρ = 8 * 10³ [kg/m³] {dla wszystkich obliczeń}

Po podstawieniu otrzymuję: ==0.4 [kg] oraz I₁ = I₂ = 1,625 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment:

Dane:=40[mm]=0.04[m]

=65 [mm]=0.065 [m]

Po podstawieniu otrzymuję: =4.25 [kg] oraz I₃ = 89,78 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment:

Obliczam moment (dla wydrążonego środka):

Dane:=79.[mm]=0.079[m]

=10 [mm]=0.01[m]

Po podstawieniu otrzymuję: =0.2 [kg] oraz I₄ = 0,1 * 10^-4 [ kg *m²]

Obliczam moment I_III:

Moment bezwładności bryły 3 wynosi: I_obl = 92,93 * 10^-4 [ kg *m²]

Masa bryły 3 wynosi: M3=4.85 [kg]

Obliczam moment bezwładności bryły 3 z danych pomiarowych.

W tym celu obliczam czas średni i przyśpieszenie kątowe:

t_śr = 7,11 [s]

Moment z pomiaru wynosi: I_III = 108,55 * 10^-4 [ kg *m²]

Błąd pomiaru wynosi:

METODA III

Metoda III służyła do wyznaczania środków ciężkości brył nieregularnych. Polegała ona na zawieszeniu bryły na dwóch cięgnach i odczycie kąta pod jakim się one znajdowały, a następnie odczytaniu kąta pod jakim znajdowały się te cięgna, po obciążeniu bryły dodatkowym ciężarem o znanej masie. Następnie mierzono odległość dodatkowego ciężarka od prostej pionowej przechodzącej przez punkt zaczepienia cięgien i wyznaczano odległość środka ciężkości od punktu zaczepienia cięgien.

Odległość tę wyznaczano ze wzoru:

W wyniku przeprowadzenia ćwiczenia otrzymano następujące wyniki:

Nr bryły	Masa obciążnika kg	Masa bryły kg	Kąty wyznaczone przez cięgno		α (αk - αp)	a [m]	h [m]
			przed obciążeniem αp	po obciążeniu αk
1	0,53	2,2	24	31	7	0,135	0,267

ANALIZA OTRZYMANYCH WYNIKÓW I WNIOSKI:

Analizując wyniki otrzymane poszczególnymi metodami należy stwierdzić, że metody te z dosyć dobrym przybliżeniem pozwalają wyznaczyć momenty bezwładności brył obrotowych ( przy założeniu że jako wzorcowe przyjmujemy momenty wyznaczone analitycznie). Jak widać z poniższych obliczeń błędy w stosunku do momentów analitycznych nie przekraczają 17%.

Dla metody I błędy te wyglądają następująco:

Dla bryły 1:;

Dla bryły 2:;

Dla bryły 3:;

Znak „minus” w obu metodach oznacza, że momenty bezwładności brył wyznaczone doświadczalnie były większe od momentów obliczonych analitycznie. Wynika to stąd, że :

1. pomiar czasu jest obarczony błędem (włączanie i wyłączanie stopera),

2. pomiar wielkości geometrycznych brył jest obarczony błędem,

3. przy liczeniu momentu analitycznego przyjęto zaokrąglenie liczb do 4 miejsc po przecinku,

4. przy liczeniu ciężarów brył przyjęto zaokrąglenie w górę ich mas,

5. moment hamujący, uwzględniany przy wyliczaniu momentu bezwładności, został wyznaczony doświadczalnie. Błędy przy jego wyznaczaniu wynikają z pomiaru czasu.

1. chwila zatrzymania układu mogła być wychwycona niedokładnie.

W przypadku metody III powstawały pewne błędy związane z:

1. odczytem wartości kątów ze skali kątowej

2. przyjęciem przyspieszenia ziemskiego z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku,

3. występowaniem we wzorze na odległość środka ciężkości funkcji trygonometrycznej sinus ,

UWAGI.

1. Fakt, że dla bryły 1 moment analityczny i moment z pomiaru są identyczne wynika z potraktowania jej jako bryły wzorcowej, tzn. bryły, która posłużyła do wyznaczenia momentu hamującego stanowiska.

2. Dla metody I wyznaczono momenty bezwładności brył na podstawie średniej arytmetycznej trzech pomiarów czasu.

6

7

---