4.4. ELEMENTY DWUWYMIAROWE TRÓJKĄTNE

Elementy trójkątne tworzy się dwiema metodami:

• pośrednio, przez przekształcenie elementu czworokątnego,

• bezpośrednio, a priori dyskretyzując brzeg na elementy trójkątne.

Metody te narzucają sposoby tworzenia funkcji bazowych.

4.4.1. Przekształcenie elementu czworokątnego w trójkątny

Niech będzie dany element prostokątny pierwszego stopnia (czterowęzłowy), rys. 4.4.1.

Rys. 4.4.1. Idea przekształcenia elementu czworokątnego w element trójkątny

Element trójkątny tworzy się przez przesunięcie np.:

• węzła 3 do węzła 4,

• węzła 4 do węzła 3,

• równoczesne przesunięcie węzłów 3 i 4 do dowolnego innego punktu.

Wspólny węzeł oznaczono cyfrą 3. Idea tworzenia elementów trójkątnych z elementów czworokątnych dowolnego stopnia jest identyczna.

Funkcje bazowe

Metodę wyprowadzenia (trójkątnych) funkcji bazowych narzuca metoda tworzenia geometrii elementu trójkątnego. Niech będą dane węzły geometrii czworokąta,
,
, rys. 4.4.1(a). Model geometrii czworokąta opisany jest wzorem

(4.4.1)

Łącząc węzły, np. wzdłuż jednego boku czworokąta we wspólny węzeł
,

(4.4.2)

gdzie
jest sumą odpowiednich funkcji bazowych
występujących przy połączonych węzłach.

Przykład 1

Zbudować element trójkątny oraz znaleźć funkcje bazowe poprzez przekształcenie elementu czworokątnego 1−stopnia, rys. 1(a).

Rozwiązanie

Niech węzły elementu czworokątnego mają współrzędne
, rys. 1(a).

Rys. 1. Przekształcenie elementu czworokątnego do elementu trójkątnego

Oznaczenia elementu czworokątnego pozwalają opisać jego geometrię z wykorzystaniem funkcji bazowych podanych w tabeli 4.4.1.

(1)

(2)

Wstawiając współrzędne węzłów
oraz uwzględniając warunek przekształcenia elementu:
,
, otrzyma się

(3)

Stąd wynika, że funkcje bazowe
,
mają postać niezmienioną natomiast
jest dana wzorem (3). Przekształcając wzory (1) i (2) jest

(4)

(5)

W tym przypadku zmieniając
otrzyma się ścisłą geometrię elementu trójkątnego, a więc
,
.

___ Przykład 1 ___

4.4.2. Bezpośrednie tworzenie elementów trójkątnych

Metoda tworzenia elementu trójkątnego, a równocześnie (trójkątnych) funkcji bazowych, poprzez przekształcenie elementu czworokątnego jest ideowo prosta. Jednak dla wyższych stopni elementów powstaje problem z tworzeniem tych funkcji; metoda nie może być taka sama jak dla elementów pierwszego stopnia. Problem ten nazywa się izotropią geometryczną [316] s.68, [98] p.5.3.2. Stąd, funkcje bazowe wyższego stopnia tworzy się a priori. W zależności od sposobu ich tworzenia funkcje te mogą przyjąć albo postać wielomianów ogólnych, albo być wyrażone przez współrzędne powierzchniowe, które też są pewnymi wielomianami.

Funkcje bazowe w postaci wielomianów ogólnych

... podano w postaci wielomianów ogólnych pierwszego stopnia. Funkcje te wyższego stopnia wprowadza się identycznie, jednak wzrastają trudności z przekształceniami matematycznymi. Niech na płaszczyźnie
w wierzchołkach elementu trójkątnego będą dane węzły
oraz wartości funkcji w węzłach
,
. Przybliżony rozkład funkcji na elemencie można opisać wielomianami pierwszego stopnia,

(4.4.3)

Stałe
wyznacza się z warunku, jaki musi spełniać funkcja
w węzłach, a mianowicie
, stąd

(4.4.4)

Wzór (4.4.4) jest układem równań algebraicznych, który można zapisać jako

(4.4.5)

lub w postaci macierzowej

(4.4.6)

Mnożąc (4.4.6) przez macierz odwrotną
otrzyma się,

(4.4.7)

gdzie
− wartość wyznacznika
; w interpretacji geometrycznej
oznacza podwójne pole trójkąta zbudowanego na węzłach
;
.

Macierz dołączona w (4.4.7) jest równa

(4.4.8)

gdzie

(4.4.9)

Pozostałe współczynniki otrzymuje się przez cykliczne przestawianie indeksów
. Według wzoru (4.4.7),

(4.4.10)

Po dalszych przekształceniach wzór (4.4.5) można doprowadzić do postaci

(4.4.11)

Stąd, trójkątne funkcje bazowe pierwszego stopnia mają postać

. (4.4.12)

Z rozważań wynika, że funkcje bazowe w postaci wielomianów ogólnych są trudne do wyprowadzenia. Znacznie łatwiej określa się je poprzez wprowadzenie współrzędnych powierzchniowych.

Funkcje bazowe jako funkcje współrzędnych powierzchniowych

Najpierw podano ideę tworzenia współrzędnych powierzchniowych na płaszczyźnie dla elementu trójkątnego pierwszego stopnia.

(a)	(b)
Rys. 4.4.2. (a) − idea tworzenia współrzędnych powierzchniowych, (b) − osie współrzędnych powierzchniowych

Niech będzie dany trójkąt prostoliniowy w układzie współrzędnych
rys. 4.4.2(a) o wierzchołkach
,
. Niech
oznacza dowolny punkt wewnętrzny tego trójkąta. Punkt P dzieli trójkąt o powierzchni A na 3 trójkąty o powierzchniach
gdzie
. Współrzędne powierzchniowe, standardowo oznaczane przez
, definiuje się następująco, rys. 4.4.3,

(4.4.13)

(a)	(b)	(c)
Rys. 4.4.3. Współrzędne powierzchniowe

Współrzędne
spełniają warunek

(4.4.14)

Dowolny punkt trójkąta wyraża się wzorem

(4.4.15)

W tworzeniu procedur interpolacyjnych (a dalej różniczkujących, całkujących, ...), wygodnie jest wyrazić współrzędne powierzchniowe
w funkcji współrzędnych punktów wierzchołków trójkąta
. W tym celu wzory (4.4.14), (4.4.15) przedstawia się w postaci

(4.4.16)

Rozwiązując równanie macierzowe (4.4.16) względem
otrzyma się

(4.4.17)

gdzie
− wzór (4.4.9).

W praktyce współrzędne powierzchniowe
przedstawia się w funkcji
.

(4.4.18)

Z uwagi na wzór (4.4.14)
przedstawiono jako funkcję
. A więc dowolny punkt trójkąta można opisać za pomocą dwóch współrzędnych powierzchniowych
. Jest jednak kwestia wyboru osi współrzędnych powierzchniowych. Z wzorów (4.4.13) oraz (4.4.18) wynika, że oś
można przeprowadzić albo wzdłuż krawędzi 1-2 albo 1-3 (rys. 4.4.2(b) − linia przerywana). Natomiast oś
można przeprowadzić albo wzdłuż krawędzi 2-1 albo 2-3 (rys. 4.4.2(b) − linia kropkowana). Obie osie, zarówno
jak i
przyjmują wartość zera w węźle 3. Stąd w węźle 3 umieszczono początek układu współrzędnych
, gdzie
. Tym samym oś
przebiega wzdłuż boku
natomiast oś
przebiega wzdłuż boku
, rys. 4.4.4.

(a)	(b)
Rys. 4.4.4. Element trójkątny: (a) - we współrzędnych prostokątnych , (b) - we współrzędnych powierzchniowych

Współrzędne powierzchniowe (4.4.18), ale tylko pierwszego stopnia !, są równocześnie (trójkątnymi) funkcjami bazowymi pierwszego stopnia dla elementu trójkątnego; można więc napisać
. Ich kształt jest przedstawiony na rys. 4.4.5.

(a)	(b)	(c)
Rys. 4.4.5. Trójkątne funkcje bazowe pierwszego stopnia

Analogicznie można utworzyć funkcje bazowe
wyższego stopnia, [735] s.116. Dla przykładu na rys. 4.4.6 przedstawiono element trójkątny drugiego i trzeciego stopnia.

Metodę tworzenia funkcji bazowych wyższego stopnia, gdy dane są funkcje bazowe pierwszego stopnia podano w [77] s.120.

(a)	(b)
Rys. 4.4.6. Element trójkątny: (a) − drugiego stopnia, (b) − trzeciego stopnia

Natomiast w tabeli 4.4.1 przedstawiono funkcje bazowe
do trzeciego stopnia włącznie (sześcienne). Kształt wybranych funkcji bazowych drugiego stopnia przedstawiono na rys. 4.7.

Tabela 4.4.1. Trójkątne funkcje bazowe

	Stopień
		Liniowe (Rys. 4.4.4(a))	Kwadratowe (Rys. 4.4.6(a))	Sześcienne (Rys. 4.4.6(b))

(a)	(b)	(c)
Rys. 4.4.7. Wybrane funkcje bazowe drugiego stopnia

Istnieje też możliwość tworzenia funkcji bazowych różnego stopnia na poszczególnych bokach trójkąta. Dla przykładu, kwadratowe
na jednym lub/oraz na dwóch bokach trójkąta podano w [98] r.5. Wszystkie dotychczas opisane
zapewniają, przy pewnych warunkach, tylko ciągłość modelu, a więc modelu klasy
. Tworzy się też
, które w węzłach zapewniają ciągłość pierwszej pochodnej modelu (klasy
); jawną postać takich
podano w [735] s.119.

Dalej wykorzystano trójkątne funkcje bazowe do zbudowania modeli pierwszego stopnia geometrii elementu trójkątnego na płaszczyźnie i w przestrzeni. Pominięto modele wyższych stopni dlatego, że wizualnie nie różnią się od elementu wyjściowego.

Model geometrii elementu i model funkcji
opisuje się odpowiednio następującymi wzorami

(4.4.19)

(4.4.20)

Wzór (4.4.19) jest równocześnie wzorem transformacyjnym punktów z układu kartezjańskiego
do układu współrzędnych powierzchniowych
. Istotny jakobian tej transformacji wyrażony jest wzorem

(4.4.21)

Dla funkcji
pierwszego stopnia, wg (4.4.19) jest

(4.4.22)

Stąd, wg (4.4.21) jest

(4.4.23)

oraz, por. wzór (4.4.7):
,

(4.4.24)

Należy podkreślić, że dla trójkątnych funkcji bazowych wyższego stopnia jakobian jest funkcją
; ma to wpływ na odpowiednie umieszczenie jakobianu w procedurach całkujących.

Przykład 2 (w przestrzeni 2D)

Dla wycinka kołowego, rys. 1(a), opisanego w układzie współrzędnych biegunowych
zbudować model pierwszego stopnia; dane
,
,
.

Rozwiązanie

Według rys. 1(a) współrzędne węzłów są równe:

,

,

(1)

Model geometrii elementu jest dany wzorem (4.4.19), po rozpisaniu,

(2)

Zmieniając
otrzyma się model przedstawiony na rys. 1(b).

(a)	(b)
Rys. 1. Wycinek kołowy (a) i jego model pierwszego stopnia (b)

___ Przykład 2 ___

Przykład 3 (w przestrzeni 3D)

Dla trójkątnego elementu sfery, rys. 1(a), opisanego w układzie współrzędnych sferycznych
zbudować model pierwszego stopnia; dane:
,
,
,

Rozwiązanie

Według rys. 1(a) współrzędne węzłów są równe:

(1)

Model elementu jest dany wzorem (4.4.19), po rozpisaniu,

(2)

Wzór (2) zamienia element krzywoliniowy, rys. 1(a), na płaski, rys. 1(b). Należy zauważyć, że dwa pierwsze wyrażenia w (2) opisują rzut modelu elementu trójkątnego na płaszczyznę
, wyrażenia pierwsze i trzecie dają rzut na płaszczyznę
, natomiast wyrażenia drugie i trzecie dają rzut na płaszczyznę
.

(a)	(b)
Rys. 1. Trójkątny element sfery (a) i jego model pierwszego stopnia (b)

___ Przykład 3 ___

Z przykładów 2 i 3 wynika, że jeżeli w modelowaniu (powierzchni, parametrów fizycznych) używa się trójkątnych funkcji bazowych, to modelowanie musi być przeprowadzone w układzie kartezjańskim
. Nie można współrzędnych węzłowych wyrazić we współrzędnych biegunowych
i napisać
,
(przykład 2). Tak jest dlatego, że trójkątne funkcje bazowe są standardowo wyprowadza się we współrzędnych
, a następnie wyraża się je w układzie współrzędnych
.

Problem modelowania w krzywoliniowych układach współrzędnych jest opisany w punkcie 4.5.

- 1 -

Kwadratury, kubatury

---