Laboratoryjne zajęcie N9

Model regresji liniowej wielu zmiennych (2 god.)

    1. Estymacja parametrów modelu

    2. Ekonometryczna analiza produkcji: model liniowy

Metoda najmniejszych kwadratów.

Załóżmy, że celem badania jest zmienna objaśniana Y, która zależy od zmiennych objaśniających X1, X2, … XK. Załóżmy, że dane statystyczne, dotyczące tych zmiennych, zgromadzone w macierze

[Y|X] = 0x01 graphic
 = [y(i) |X].

Definicja Modelem regresji liniowej wielu zmiennych nazywa się ekonometryczny model postaci

yi = a1xi1 + a2xi2 + … + aKxiK + ξi, i = 1, 2, …, n.

Wartości xik, k = 1, 2, …, K, zmiennych objaśniających Xk, k = 1, 2, …, K w powtarzalnych próbach i = 1, 2, …, n są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, zatem elementy macierzy X są nielosowe.

Składnik losowy ξi modelu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Rozkład ξi nie zależy od numeru i kolejnej obserwacji (i = 1, 2, …, n) i jest rozkładem normalnym o parametrach (0, σ2):

ξi ⇔ N(0, σ2),

Eξi = 0, Dξi = σ2, i = 1, 2, …, n.

Nie występuje autokorelacja składnika losowego, tj. zmienne losowe ξi dla różnych i = 1, 2, …, n są nieskorelowane:

Cov(ξi, ξj) = 0, i ≠ j, j, i = 1, 2,…, n

W postaci wektorowej stosowany jest zapis:

y(i) = X⋅a(k) + ξ(i),

gdzie a(k) jest wektorem parametrów strukturalnych modelu; y(i) jest wektorem wszystkich n obserwacji zmiennej objaśnianej Y; X jest macierzą wszystkich obserwacji, dla wszystkich zmiennych objaśniających; ξ(i) jest wektorem wartości składnika losowego dla wszystkich n obserwacji.

Wektor a*(k) MNK - estymatorów wektora a(k) parametrów strukturalnych modelu określa się według wzoru:

a*(k) = (XT⋅X)-1⋅XT⋅y(i).

Wartości teoretyczne y*(t) obliczamy według wzoru:

y*(i) = Xa*(k).

Wektor e(i) reszt modelu określamy wzorem:

e(i) = y(i) - y*(i).

Wartość σ*2 nieobciążonego estymatora wariancji σ2 składnika losowego oblicza się według wzoru:

0x01 graphic
= 0x01 graphic
,

natomiast wartość σ* estymatora odchylenia standardowego składnika losowego określamy wzorem:

0x01 graphic
.

Macierz D2(a*(k)) wariancji-kowariancji wektora a*(k) MNK - estymatorów parametrów strukturalnych modelu określa się wzorem:

D2(a*(k)) = σ*2⋅ (XT⋅X)-1.

Zadania

Posiadamy dane liczbowe, dotyczące:

Q (w tys. zł) - wartość produkcji czystej;

K (w mln zł) - wartość brutto produkcyjnego majątku trwałego;

L (w osobach) - średnia liczba zatrudnionych w ciągu roku; a także o wartości.

Zakładając, że badany proces produkcyjny charakteryzuje się tym, że wydajność krańcowa względem poszczególnych czynników jest wartością stałą, zbudować odpowiedni model ekonometryczny dla funkcji produkcji Q.

Na podstawie merytorycznej analizy występujących w modelu zmiennych, biorąc pod uwagę przyjęte założenia, dochodzimy do wniosku, że właściwą postacią analityczną budowanego modelu będzie funkcja liniowa

qt = a0 + aK⋅kt + aL⋅lt + ⋅ξt, t = 1, 2, ..., n,

gdzie aK, aL są wartościami wydajności krańcowej względem poszczególnych czynników (K oraz L), a0 jest wartością stałą.

  1. Utworzyć macierz 0x01 graphic
    i wstawić w skoroszyt. (<Wstaw> <Nazwa> <Definiuj> <Nazwa w skoroszycie>(...)<Odwołuje się do>:(...) <Dodaj> <OK>.).

  2. Wstawić w skoroszyt wektor 0x01 graphic
    .

  3. Oszacować parametry strukturalne modelu.

  4. Obliczyć wartości teoretyczne y*(i) modelu.

  5. Obliczyć wektor e(i) reszt modelu.

  6. Oszacować parametry σ2 (oraz σ) struktury stochastycznej modelu.

  7. Obliczyć macierz D2(a*(k)) wariancji-kowariancji wektora a*(k) MNK - estymatorów parametrów strukturalnych modelu.

1

2