Laboratoryjne zajęcie N1

Podstawowe pojęcia statystyki

Rozkład normalny

Definicja. Mówimy, że zmienna losowa ξ ma rozkład normalny o parametrach a i σ², co zapisujemy: ξ ≈ N(a,σ²), jeśli jej funkcja gęstości określona jest wzorem:

, dla -∞<x<∞.

Parametr a rozkładu normalnego określa jego wartość oczekiwana:

a = Eξ =
.

Parametr σ² określa jego wariancję:

σ² = Dξ = E(ξ - Eξ)² =
.

Estymacja parametrów

Załóżmy, że z populacji generalnej o rozkładzie normalnym N(a, σ²) pobrano próbkę losową: x₁, x₂, ..., x_n.

Estymator empiryczny wartości oczekiwanej, czyli średnie empiryczne
, określa się wzorem:

.

Estymator empiryczny wariancji, czyli wariancja empiryczna S² określa się wzorem:

.

Estymator empiryczny odchylenia standardowego S określa się wzorem:

.

Nieobciążony estymator wariancji S*², oraz nieobciążony estymator odchylenia standardowego S* określają się wzorami:

=
.

.

Współczynnik zmienności V określamy jako stosunek odchylenia standardowego S do średniej arytmetycznej
, czyli:

, (lub odpowiednio
).

Załóżmy, że dysponujemy obserwacjami x₁; x₂; ..., x_n oraz y₁; y₂; ..., y_n zmiennych X i Y. Aby ocenić siłę liniowej zależności zmiennych X a Y, oblicza się współczynnik korelacji:

; gdzie
.

Zadania

Podstawowe pojęcia statystyki

1. Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę losową z₁; z₂; ..., z_n objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o parametrach a i σ².

Obliczyć wartości estymatorów parametrów a i σ² oraz odchylenia standardowego według wzorów oraz za pomocą odpowiednich funkcji arkusza kalkulacyjnego EXCEL („ŚREDNIA” „WARIANCJA”, „ODCH. STANDARD” „WARIANCJA POPUL”, „ODCH. STANDARD POPUL”).

2. Obliczyć wartość współczynnika zmienności V (V*).

Regresja liniowa

3. Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę x₁; x₂; ..., x_n objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie równomiernym w przedziale [d, g].

4. Obliczyć wartości zmiennej Y według wzoru:

Y = b + aX.

5. Za pomocą funkcji „Generowanie liczb pseudolosowych” utworzyć próbkę losową ξ₁; ξ₂; ..., ξ_n objętości n dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o parametrach 0 i 1.

6. Obliczyć wartości y_t według wzoru:

y_t = b + ax_t + ξ_t, t = 1, 2, ..., n.

7. Obliczyć wartość współczynnika korelacji r_Xξ według wzoru wynikającego z definicji.

8. Obliczyć wartość współczynnika korelacji r_Xξ za pomocą odpowiedniej funkcji arkusza kalkulacyjnego EXCEL („WSP: KORELACJI).

9. Stosując odpowiednią funkcję arkusza kalkulacyjnego EXCEL obliczyć wartości współczynników korelacji: r_XY, r_Xy,.

2