Liczby i funkcje elementarne Agnieszka Kolesiak

11 listopada 2008

1

Działania na liczbach

1.1

Zbiór liczb rzeczywistych

• struktura zbioru liczb rzeczywistych

• oznaczenia

Przykład 1.1. Przedstaw w postaci ułamka zwykłego 0, (5) + 1, (23) 1.2

Wartość bezwzględna

• definicja algebraiczna i geometryczna

• równania i nierówności

Przykład 1.2. Rozwiąż równanie: |4x + 4| + |2 − x| = 8.

Przykład 1.3. Rozwiąż nierówności:

• x + 3 > 4

• |x − 3| − |2 − x| > 2

• |x| ≥ x + 1

Przykład 1.4. Naszkicuj wykres funkcji danej wzorem f (x) = ||x − 1| − 3|.

1

1.3

Potęgowanie i pierwiastkowanie

• definicja

• prawa działań na potęgach

• potęgi o wykładniku wymiernym q

√

Przykład 1.5. Zapisz podane wyrażenie w postaci ax: a−2 · 3 a.

a−3

1.4

Wzór dwumianowy Newtona

• definicja silni

• definicja symbolu Newtona

• definicja dwumianu Newtona Przykład 1.6. Oblicz:

• 119!

(5!)!

(6)+(6)

•

2

3

(6)

0

Przykład 1.7. Uprość wyrażenie:

• (n+1)!

(n−1)!

( n )

•

n−2

( n )

n−1

Przykład 1.8. Udowodnij tożsamość:

•

n +

n = n+1

k

k+1

k+1

• Pn

n = 2n

k=0

k

Przykład 1.9. Znajdź współczynnik znajdujący się przy x w rozwinięciu

√

dwumianu Newtona ( 3 x + 2)12.

2

2

Funkcje i ich własności Definicje:

• funkcja

• dziedzina, dziedzina naturalna

• miejsce zerowe funkcji

• równość funkcji

• funkcja monotoniczna

• funkcja okresowa

• funkcja parzysta i nieparzysta

√

0,25−x2

Przykład 2.1. Wyznacz dziedzinę wyrażenia

√

.

x2+1

Przykład 2.2. Czy dane funkcje są równe? f (x) = 1 , g(x) =

x

.

x−5

x2−5x

Przykład 2.3. Udowodnij, że w przedziale (0, 3) funkcja f (x) =

x2

jest

x2−9

malejąca.

Przykład 2.4. Poniższa implikacja jest prawdziwa: Jeżeli funkcja f jest funkcją nieparzystą, to wykres funkcji f ma środek symetrii. Sformułuj implikację do niej odwrotną i sprawdź jej prawdziwość.

Przykład 2.5. Czy dane funkcje są parzyste lub nieparzyste?

• f (x) = −x|x|

• g(x) = |x2 − x|.

Definicja 2.6 (złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z

nazywamy funkcję h: X → Z daną wzorem h(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x).

Przykład 2.7. Dane są funkcje f : R → R i g: R → R dane wzorami f (x) =

x3 − 1, g(x) = x − 2. Wyznacz złożenia g ◦ f , f ◦ g oraz f ◦ f .

Definicje:

3

• funkcja różnowartościowa

• funkcja „na”

• bijekcja

• funkcja odwrotna

Przykład 2.8. Funkcja f (x) = ax2 + bx + c jest różnowartościowa. Jakie warunki spełniają wówczas współczynniki a, b i c?

Przykład 2.9. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f (x) = −3x + 5 (jeśli istnieje). Zaznacz obie funkcje na wykresie. Co zauważasz?

4