Wykład 3

Kaskady generowane przez funkcje

rzeczywiste klasy C 1

3.1

Wnioski z twierdzenia Lagrange’a

Twierdzenie 1 (Lagrange). Jeśli f : [ a, b] → R jest funkcją ciągłą na przedziale [ a, b] i różniczkowalną na przedziale otwartym ( a, b) , to istnieje taka liczba c ∈ ( a, b) , że f ( b) − f ( a) = f 0( c)( b − a) .

Twierdzenie 2. Niech I ⊂ R będzie przedziałem zwartym i f : I → I będzie funkcją klasy C 1

spełniającą warunek

∀x, y∈I |f 0( x) | < 1 .

(3.1)

Wówczas

1) jeżeli x, y ∈ I oraz x 6= y, to |f ( x) − f ( y) | < |x − y|, 2) dla każdego x ∈ I ciąg iteracyjny ( xn) , gdzie xn = f n( x) dla n ∈ N , jest zbieżny do pewnego punktu ¯

x ∈ I,

3) punkt ¯

x jest jedynym punktem stałym odwzorowania f .

Wniosek 1. Niech I ⊂ R będzie przedziałem domkniętym, f : I → R będzie funkcją klasy C 1

spełniającą warunek (3.1) i niech p ∈ I będzie punktem stałym funkcji f . Wówczas

1) Fix( f ) = {p},

2) W s( p) = I, czyli lim n→∞ f n( x) = p dla każdego x ∈ I.

Przykład 1 . Rozważmy funkcję

1

3

f ( x) =

x +

dla

x ∈ R .

2

2

Oczywiście f 0( x) = 1 i Fix( f ) = { 3 }. Na mocy wniosku 1 dostajemy W s(3) =

2

R.

1

Przykład 2 . Rozważmy funkcję

h( x) = 2 x − 3

dla

x ∈ R .

Oczywiście f 0( x) = 2 i Fix( f ) = { 3 }. Tym razem nie są spełnione założenia wniosku 1. Tym nie mniej można łatwo pokazać, że |hn( x) − 3 | = 2 n|x − 3 |, skąd wynika, że lim n→∞ |hn( x) − 3 | = ∞

dla x 6= 3 i, w konsekwencji, W s(3) = { 3 } oraz W s( ∞) = R \ { 3 }.

3.2

Punkty hiperboliczne

Definicja 1. Punkt stały p funkcji f : I → R klasy C 1 nazywamy hiperbolicznym, jeżeli |f 0( p) | 6= 1

Definicja 2. Niech I bedzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją ciągłą i p ∈ Fix( f ). Punkt stały p nazywamy

• przyciagającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że

∀x∈U lim f n( x) = p;

n→∞

• odpychającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że

∀x∈U ∃n∈ f n( x) 6∈ U.

N

Twierdzenie 3. Niech I ⊂ R będzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją klasy C 1 i p ∈ Fix( f ) .

Wówczas

1) jeżeli |f 0( p) | < 1 , to p jest przyciągającym punktem stałym;

2) jeżeli |f 0( p) | > 1 , to p jest odpychającym punktem stałym.

3.3

Punkty niehiperboliczne

Dynamika kaskady w otoczeniu niehiperbolicznego punktu stałego nie daje się opisać za pomocą

ogólnych praw. Wskazują na to poniższe przykłady.

Przykład 3 . Rozważmy funkcję g( x) = x − x 3, x ∈ R. Łatwo można sprawdzić, że Fix( g) =

{ 0 } i g0(0) = 1, a więc 0 nie jest hiperbolicznym punktem stałym. Pokażemy, że jest to punkt

przyciągający. Przede wszystkim zauważmy, że 0 < g0( x) < 1 dla x ∈ − 1

√ , 1

√

\ { 0 }. Z drugiej

3

3

strony, jeśli x 0 ∈ (0 , 1), to x 1 := g( x 0) ∈ 0 , 1

√

. Dalej, przyjmując x 2 := g( x 1) dostajemy na

3

mocy twierdzenia Lagrange’a:

0 < x 2 = g( x 1) − g(0) = g0( ξ)( x 1 − 0) = g0( ξ) x 1 < x 1 , gdzie ξ jest pewną liczbą z przedziału (0 , x 1). Podobnie 0 < x 3 := g( x 2) < x 2 i, ogólnie, ciąg iteracyjny xn := g( xn− 1), n ∈ N, jest ciągiem malejącym o wyrazach zawartych w przedziale (0 , 1), 2

a więc ograniczonym. Wobec tego jest zbieżny, a ponieważ granicą ciągu iteracyjnego funkcji ciągłej może być jedynie punkt stały, to lim xn = 0. Z dowolności wyboru punktu x 0 ∈ (0 , 1) wynika, że (0 , 1) ⊂ W s(0). Analogicznie dowodzi się, że ( − 1 , 0) ⊂ W s(0). Ostatecznie dostajemy inkluzję ( − 1 , 1) ⊂ W s(0) ,

z której wynika, że 0 jest przyciągającym punktem stałym.

Przykład 4 . Rozważmy funkcję h( x) = x + x 3, x ∈ R. Bezpośrednim rachunkiem sprawdza się, że Fix( h) = { 0 }, h0(0) = 1 i h0( x) > 1 dla x 6= 0. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a można pokazać, że jeżeli x 0 6= 0 i xn := h( xn− 1) dla n ∈ N, to lim n→∞ |xn| = ∞. Oznacza to, że W s(0) = { 0 } i W s( ∞) = R \ { 0 }.

Definicja 3. Niehiperboliczny punkt przyciągający nazywamy słabo przyciągającym, a niehiperboliczny punkt odpychający nazywamy słabo odpychającym.

Możliwe są także inne typy zachowania się kaskady wokół niehiperbolicznych punktów stałych.

Przykład 5 . Łatwo sprawdzić, że jeżeli k( x) = ex − 1, to Fix( k) = { 0 } i k0( x) = 1. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a można pokazać, że zachodzą równości W s(0) = ( −∞, 0] oraz W s( ∞) =

(0 , ∞). Wynika stąd, że punkt stały 0 nie jest ani punktem przyciągającym, ani odpychającym.

Przykład 6 . Niech s( x) = −x. Dla tej funkcji mamy: Fix( s) = { 0 } i Per2( s) = R \ { 0 }. Wobec tego W s(0) = { 0 } oraz W s( p) = {p} dla każdego punktu p ∈ R \ { 0 }.

3.4

Atraktory i repilery

Definicja 4. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy niezmienniczym zbiorem kaskady f , jeżeli f [ A] = A.

Definicja 5. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy atraktorem (lub zbiorem przyciągającym) kaskady f , jeżeli

1) A jest zbiorem zwartym,

2) A jest zbiorem niezmienniczym,

3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru A takie, że

(i) ∀x∈U ∀n∈ f n( x) ∈ U , czyli O( x) ⊂ U dla każdego x ∈ U , N

(ii) ∀x∈U lim n→∞ d( f n( x) , A) = 0, czyli d( O( x) , A) = 0 dla każdego x ∈ U , (iii) ∀a∈A∃x∈U a ∈ ( O( x)), czyli każdy punkt zbioru A jest punktem skupienia pewnej orbity kaskady f .

3

Przykład 7 . Jeżeli p jest przyciągającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest atraktorem tej kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy punkt orbity O( p) jest przyciągającym punktem stałym kaskady f k, to orbita O( p) jest atraktorem kaskady f .

Definicja 6. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i B ⊂ I. Zbiór B nazywamy repilerem (lub zbiorem odpychającym) kaskady f , jeżeli

1) B jest zbiorem zwartym,

2) B jest zbiorem niezmienniczym,

3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru B takie, że

∀x∈U\B∃n∈ fn( x) 6∈ U.

N

Przykład 8 . Jeżeli p jest odpychającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest repilerem tej kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy punkt orbity O( p) jest odpychającym punktem stałym kaskady f k, to orbita O( p) jest repilerem kaskady f .

Definicja 7. Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną i p ∈ Per k( f ) dla pewnego k > 1.

Jeżeli |( f k) 0( p) | 6= 1, to p nazywamy hiperbolicznym punktem okresowym. Orbitę O( p) nazywamy hiperboliczną, jeżeli każdy jej element jest hiperbolicznym punktem okresowym.

Twierdzenie 4. Niech O( p) będzie hiperboliczną orbitą okresową o długości k kaskady f : I → R

klasy C 1 .

1) Jeżeli |( f k) 0( q) | < 1 dla każdego q ∈ O( p) , to O( p) jest atraktorem kaskady f .

2) Jeżeli |( f k) 0( q) | > 1 dla każdego q ∈ O( p) , to O( p) jest repilerem kaskady f .

4