Wykład 3
Kaskady generowane przez funkcje
rzeczywiste klasy C
1
3.1
Wnioski z twierdzenia Lagrange’a
Twierdzenie 1 (Lagrange). Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą na przedziale [a, b] i różnicz-
kowalną na przedziale otwartym (a, b), to istnieje taka liczba c ∈ (a, b), że
f (b) − f (a) = f
0
(c)(b − a).
Twierdzenie 2. Niech I ⊂ R będzie przedziałem zwartym i f : I → I będzie funkcją klasy C
1
spełniającą warunek
∀
x, y∈I
|f
0
(x)| < 1.
(3.1)
Wówczas
1) jeżeli x, y ∈ I oraz x 6= y, to |f (x) − f (y)| < |x − y|,
2) dla każdego x ∈ I ciąg iteracyjny (x
n
), gdzie x
n
= f
n
(x) dla n ∈ N, jest zbieżny do pewnego
punktu ¯
x ∈ I,
3) punkt ¯
x jest jedynym punktem stałym odwzorowania f .
Wniosek 1. Niech I ⊂ R będzie przedziałem domkniętym, f : I → R będzie funkcją klasy C
1
spełniającą warunek (3.1) i niech p ∈ I będzie punktem stałym funkcji f . Wówczas
1) Fix(f ) = {p},
2) W
s
(p) = I, czyli lim
n→∞
f
n
(x) = p dla każdego x ∈ I.
Przykład 1. Rozważmy funkcję
f (x) =
1
2
x +
3
2
dla
x ∈ R.
Oczywiście f
0
(x) =
1
2
i Fix(f ) = {3}. Na mocy wniosku 1 dostajemy W
s
(3) = R.
1
Przykład 2. Rozważmy funkcję
h(x) = 2x − 3
dla
x ∈ R.
Oczywiście f
0
(x) = 2 i Fix(f ) = {3}. Tym razem nie są spełnione założenia wniosku 1. Tym nie
mniej można łatwo pokazać, że |h
n
(x) − 3| = 2
n
|x − 3|, skąd wynika, że lim
n→∞
|h
n
(x) − 3| = ∞
dla x 6= 3 i, w konsekwencji, W
s
(3) = {3} oraz W
s
(∞) = R \ {3}.
3.2
Punkty hiperboliczne
Definicja 1. Punkt stały p funkcji f : I → R klasy C
1
nazywamy hiperbolicznym, jeżeli |f
0
(p)| 6= 1
Definicja 2. Niech I bedzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją ciągłą i p ∈ Fix(f ). Punkt
stały p nazywamy
• przyciagającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że
∀
x∈U
lim
n→∞
f
n
(x) = p;
• odpychającym, jeżeli istnieje jego otwarte otoczenie U ⊂ I takie, że
∀
x∈U
∃
n∈N
f
n
(x) 6∈ U.
Twierdzenie 3. Niech I ⊂ R będzie przedziałem, f : I → R będzie funkcją klasy C
1
i p ∈ Fix(f ).
Wówczas
1) jeżeli |f
0
(p)| < 1, to p jest przyciągającym punktem stałym;
2) jeżeli |f
0
(p)| > 1, to p jest odpychającym punktem stałym.
3.3
Punkty niehiperboliczne
Dynamika kaskady w otoczeniu niehiperbolicznego punktu stałego nie daje się opisać za pomocą
ogólnych praw. Wskazują na to poniższe przykłady.
Przykład 3. Rozważmy funkcję g(x) = x − x
3
, x ∈ R. Łatwo można sprawdzić, że Fix(g) =
{0} i g
0
(0) = 1, a więc 0 nie jest hiperbolicznym punktem stałym. Pokażemy, że jest to punkt
przyciągający. Przede wszystkim zauważmy, że 0 < g
0
(x) < 1 dla x ∈
−
1
√
3
,
1
√
3
\ {0}. Z drugiej
strony, jeśli x
0
∈ (0, 1), to x
1
:= g(x
0
) ∈
0,
1
√
3
. Dalej, przyjmując x
2
:= g(x
1
) dostajemy na
mocy twierdzenia Lagrange’a:
0 < x
2
= g(x
1
) − g(0) = g
0
(ξ)(x
1
− 0) = g
0
(ξ)x
1
< x
1
,
gdzie ξ jest pewną liczbą z przedziału (0, x
1
). Podobnie 0 < x
3
:= g(x
2
) < x
2
i, ogólnie, ciąg
iteracyjny x
n
:= g(x
n−1
), n ∈ N, jest ciągiem malejącym o wyrazach zawartych w przedziale (0, 1),
2
a więc ograniczonym. Wobec tego jest zbieżny, a ponieważ granicą ciągu iteracyjnego funkcji ciągłej
może być jedynie punkt stały, to lim x
n
= 0. Z dowolności wyboru punktu x
0
∈ (0, 1) wynika, że
(0, 1) ⊂ W
s
(0). Analogicznie dowodzi się, że (−1, 0) ⊂ W
s
(0). Ostatecznie dostajemy inkluzję
(−1, 1) ⊂ W
s
(0),
z której wynika, że 0 jest przyciągającym punktem stałym.
Przykład 4. Rozważmy funkcję h(x) = x + x
3
, x ∈ R. Bezpośrednim rachunkiem sprawdza się, że
Fix(h) = {0}, h
0
(0) = 1 i h
0
(x) > 1 dla x 6= 0. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a można pokazać,
że jeżeli x
0
6= 0 i x
n
:= h(x
n−1
) dla n ∈ N, to lim
n→∞
|x
n
| = ∞. Oznacza to, że W
s
(0) = {0} i
W
s
(∞) = R \ {0}.
Definicja 3. Niehiperboliczny punkt przyciągający nazywamy słabo przyciągającym, a niehiper-
boliczny punkt odpychający nazywamy słabo odpychającym.
Możliwe są także inne typy zachowania się kaskady wokół niehiperbolicznych punktów stałych.
Przykład 5. Łatwo sprawdzić, że jeżeli k(x) = e
x
− 1, to Fix(k) = {0} i k
0
(x) = 1. Korzystając
z twierdzenia Lagrange’a można pokazać, że zachodzą równości W
s
(0) = (−∞, 0] oraz W
s
(∞) =
(0, ∞). Wynika stąd, że punkt stały 0 nie jest ani punktem przyciągającym, ani odpychającym.
Przykład 6. Niech s(x) = −x. Dla tej funkcji mamy: Fix(s) = {0} i Per
2
(s) = R \ {0}. Wobec tego
W
s
(0) = {0} oraz W
s
(p) = {p} dla każdego punktu p ∈ R \ {0}.
3.4
Atraktory i repilery
Definicja 4. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy niezmienniczym
zbiorem kaskady f , jeżeli f [A] = A.
Definicja 5. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i A ⊂ I. Zbiór A nazywamy atraktorem (lub
zbiorem przyciągającym) kaskady f , jeżeli
1) A jest zbiorem zwartym,
2) A jest zbiorem niezmienniczym,
3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru A takie, że
(i) ∀
x∈U
∀
n∈N
f
n
(x) ∈ U , czyli O(x) ⊂ U dla każdego x ∈ U ,
(ii) ∀
x∈U
lim
n→∞
d(f
n
(x), A) = 0, czyli d(O(x), A) = 0 dla każdego x ∈ U ,
(iii) ∀
a∈A
∃
x∈U
a ∈ (O(x)), czyli każdy punkt zbioru A jest punktem skupienia pewnej orbity
kaskady f .
3
Przykład 7. Jeżeli p jest przyciągającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest atraktorem tej
kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy
punkt orbity O(p) jest przyciągającym punktem stałym kaskady f
k
, to orbita O(p) jest atraktorem
kaskady f .
Definicja 6. Niech f : I → R będzie funkcją ciągłą i B ⊂ I. Zbiór B nazywamy repilerem (lub
zbiorem odpychającym) kaskady f , jeżeli
1) B jest zbiorem zwartym,
2) B jest zbiorem niezmienniczym,
3) istnieje otoczenie otwarte U zbioru B takie, że
∀
x∈U \B
∃
n∈N
f
n
(x) 6∈ U.
Przykład 8. Jeżeli p jest odpychającym punktem stałym kaskady f , to {p} jest repilerem tej
kaskady. Podobnie, jeżeli p jest punktem okresowym o okresie podstawowym k takim, że każdy
punkt orbity O(p) jest odpychającym punktem stałym kaskady f
k
, to orbita O(p) jest repilerem
kaskady f .
Definicja 7. Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną i p ∈ Per
k
(f ) dla pewnego k > 1.
Jeżeli |(f
k
)
0
(p)| 6= 1, to p nazywamy hiperbolicznym punktem okresowym. Orbitę O(p) nazywamy
hiperboliczną, jeżeli każdy jej element jest hiperbolicznym punktem okresowym.
Twierdzenie 4. Niech O(p) będzie hiperboliczną orbitą okresową o długości k kaskady f : I → R
klasy C
1
.
1) Jeżeli |(f
k
)
0
(q)| < 1 dla każdego q ∈ O(p), to O(p) jest atraktorem kaskady f .
2) Jeżeli |(f
k
)
0
(q)| > 1 dla każdego q ∈ O(p), to O(p) jest repilerem kaskady f .
4