RAMA STATYCZNIE WYZNACZALNA Z PRĘTEM UKOŚNYM
Zadanie: Narysuj wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla poniższego układu. Policz ewentualne ekstrema.
q =6kN/m
P=16kN
M =15kNm
,51
5
1
P=28kN
2
4
3
rys. 1.
Wyznaczamy reakcje z równań równowagi i nanosimy je na układ: q =6kN/m
P=16kN
M =15kNm
C
H =10kN
A
B
B
H = 6kN
P=28kN
A
2
M = 30kNm
A
V =14kN
A
rys. 2.
W celu wyznaczenia wartości siły tnącej i normalnej na pręcie ukośnym w miejscu podpory B rozkładamy reakcję HB i siłę P2 na kierunek równoległy i prostopadły do pręta ukośnego (rys. 3).
H sin =10 0,8=8kN
B
T = H sinα − P cosα = 8 −16 8
, = − 8
,
8 kN
B
B
2
H
=10kN
N = − H cosα − P sin α = 6
− − 2 ,
2 4 = 2
− ,
8 4 kN
B
B
B
2
P co
s =28 0,6=16,8kN
2
H cos =10 0,6=6kN
B
P sin =28 0,8=22,4kN
2
rys. 3.
P=28kN
2
Następnie rozkładamy obciążenie równomiernie rozłożone na kierunek równoległy i prostopadły do pręta ukośnego:
1) Sprowadzenie obciążenia na długość pręta ukośnego (rys. 4) q =6kN/m
4
q '
3q
=
=0,6q=3,6kN/m
5
rys. 4.
3
2) Rozłożenie obciążenia na kierunek prostopadły i równoległy do pręta (rys. 5.): Siła tnąca na górnym końcu pręta ukośnego: T = H sin α − P cosα + q' cosα ⋅ 5
B
2
= 8 −16 8
, + ,
3 6 ⋅ ,
0 6 ⋅ 5 = 2 kN
Siła normalna na górnym końcu pręta ukośnego: N = − H cosα − P sin α + q' sin α ⋅ 5
B
2
q 'sin =0,8q'
q '=3,6kN/m
= 6
− − 2 ,
2 4 + 8
,
0 ⋅ ,
3 6 ⋅ 5 = 1
− 4 kN
q c
' os =0,6q'
rys. 5.
- siły normalne
14
10
-
10
14
-
-
N
[kN]
28,4
14
rys. 6.
- siły tnące
16
14
+
+
2
16
+
6
-
e2
10
e1
+
T
[kN]
-
8,8
6
rys. 7.
Siła tnąca w dwóch punktach osiąga wartość równą 0. Zatem na wykresie momentów otrzymamy dwa ekstrema. Na schemacie ramy zaznaczamy przekroje, w których wystąpią momenty ekstremalne (rys. 8): q =6kN/m
P=16kN
x 2
M =15kNm
C
x
1
H =10kN
A
B
B
H = 6kN
P=28kN
A
2
M = 30kNm
A
V =14kN
A
- przekrój γ-γ - wybieramy stronę przekroju, z której będziemy liczyć wartości: x
1
Równanie na siłę tnącą w przekroju γ-γ: q c
' os =0,6q'
T
[ x ]
γ −γ
= 8 −16 8
, − ,
0 6 ⋅ ,
3 6 ⋅ x = 0
1
1
H sin =10 0,8=8kN
B
8
,
8
H =10kN
x =
= ,
4 074 m
B
1
1
,
2 6
P cos =28 0,6=16,8kN
2
P=28k
N
2
Moment w przekroju γ-γ:
,
4 0742
M
[ x
γ −γ
= ,
4 074 m] = 16 8
, ⋅ ,
4 074 − 8⋅ ,
4 074 − ,
0 6 ⋅ ,
3 6 ⋅
= 17 9
,
k
3 Nm
1
2
- przekrój β-β - wybieramy stronę przekroju, z której będziemy liczyć wartości: q =6kN/m
Równanie na siłę tnącą w przekroju β-β: M =15kNm
T
[ x ]
β −β
= −28 + 6⋅ x = 0
2
2
28
x =
= ,
4 67 m
2
6
Moment w przekroju β-β:
,
4 672
M
[ x
β −β
= ,
4 67 m] = 28 ⋅ ,
4 67 −10 ⋅ 4 − 6 ⋅
+15 = 40 3
,
k
3 Nm
2
2
H =10kN
B
B
P=28kN
2
x 2
Wyznaczone wartości momentów nanosimy na wykres:
-
24
17
max
M =17,93kNm
+
24
+
32
max
M =40,33kNm
-
M
[kNm]
30