1
ROZCIĄGANIE PRĘTA PROSTEGO
NAPRĘśENIA DOPUSZCZALNE
1. Analiza pręta statycznie wyznaczalnego
Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta występu-
ją tylko napręŜenia normalne
σ
. Badania doświadczalne wykazują, Ŝe przy ściska-
niu większość materiałów podlega tym samym zaleŜnościom, co przy rozciąganiu.
Zatem, rozpatrzymy przypadek pręta rozciąganego siłą N (rys. 1).
Rys. 1. Pr
ę
t rozci
ą
gany sił
ą
N
Na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, Ŝe niezaleŜnie od sposobu
przyłoŜenia obciąŜenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprę-
Ŝ
enia normalne są rozłoŜone równomiernie (
σ
= const). Stąd
N
dA
dA
A
A
A
=
=
=
∫
∫
σ
σ
σ
σ
=
N
A
(1)
Podczas rozciągania długość początkowa pręta l
o
zwiększa się, a wymiary po-
przeczne ulegają zmniejszeniu.
Bezwzględne wydłuŜenie pręta jest równe
∆
l
Nl
EA
E
l
=
=
0
0
σ
(2)
W celu obliczenia napręŜeń i odkształceń w poszczególnych przekrojach
pręta naleŜy wyznaczyć rozkład sił wzdłuŜnych N. Wartość siły wzdłuŜnej w do-
wolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta
wszystkich sił zewnętrznych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju
N
P
i
i
n
=
=
∑
1
(3)
2
W przypadku, gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o róŜnych prze-
krojach, wydłuŜenie bezwzględne pręta oblicza się sumując algebraiczne zmiany
odległości poszczególnych jego odcinków
∆
l
N l
E A
i i
i
i
i
n
=
=
∑
1
(4)
2. NapręŜenia dopuszczalne. Obliczenia wytrzymałościowe
Wzrost napręŜeń i związanych z nimi odkształceń ciała powoduje zmiany w je-
go stanie fizycznym, które prowadzą w rezultacie do odkształceń trwałych, a na-
wet zniszczenia spójności materiału. Zmiany te określa się jako wytęŜenie mate-
riału Wzrost wytęŜenia mówi nam "o wyczerpywaniu wytrzymałości materiału".
Miarą wytęŜenia w przypadku osiowego działania siły w pręcie jest napręŜenie
normalne
σ
w jego przekroju. Próba rozciągania lub ściskania pozwala na wyzna-
czenie napręŜenia niebezpiecznego
σ
nieb
, za które w zaleŜności od warunków
moŜna uznać R
m
, R
e
lub wytrzymałość na zmęczenie. W poprawnie zaprojektowa-
nej konstrukcji wytęŜenie nie powinno nigdzie osiągnąć stanu niebezpiecznego.
W przypadku prętów rozciąganych (ściskanych) napręŜenia
σ
powinny mieć war-
tość mniejszą niŜ napręŜenia niebezpieczne. Tę dopuszczalną wartość napręŜenia
nazywa się napręŜeniem dopuszczalnym
σ
dop
(
σ
dop
<
σ
nieb
).
σ
σ
dop
nieb
n
=
(5)
gdzie
n > 1
-
współczynnik bezpieczeństwa
(pewno
ś
ci).
Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypad-
kowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę obliczeń. MoŜna by się
spodziewać, Ŝe współczynnik ten będzie niewiele większy od 1. W praktyce jed-
nak współczynnik ten, odnoszący się do wytrzymałości
R
m
nierzadko osiąga war-
tość 6, a nawet 10. Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa jest jednym z
podstawowych zagadnień w nauce konstrukcji maszyn i wymaga dokładnej zna-
jomości całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicznych i eksploata-
cyjnych.
Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych prętów poddanych działaniu siły
osiowej jest równanie (1)
σ
=
N
A
i warunek
σ σ
≤
dop
3
ZaleŜnie od tego, która z wielkości równania
σ
=
N
A
jest nieznana, rozróŜnia się
trzy typy obliczeń wytrzymałościowych.
2.1. Obliczenie sprawdzające
Dane są: siła podłuŜna N, kształt oraz wymiary przekroju pręta, a tym samym
wielkość
A
i
σ
dop
lub
σ
nieb
. Wyznacza się wartość napręŜeń normalnych
σ
i spraw-
dza, czy spełniony jest warunek
σ σ
≤
dop
lub oblicza wartość współczynnika bezpieczeństwa
n
nieb
=
σ
σ
2.2. Wyznaczenie obciąŜenia dopuszczalnego
Dane są: pole powierzchni przekroju pręta
A
i
σ
dop
. Wyznacza się dopuszczalną
wartość siły osiowej
N
A
dop
dop
=
σ
a stąd w zaleŜności od związków między obciąŜeniem
P
a siłą podłuŜną
N
- war-
tość obciąŜenia dopuszczalnego
P
dop
.
2.3. Wyznaczenie wymiarów
Dane są: siła podłuŜna
N
i napręŜenie dopuszczalne
σ
dop
.
Wyznacza się konieczną
wielkość przekroju.
A
N
dop
=
σ
Znając zaś
A
, oblicza się dla danego kształtu przekroju jego wymiary charaktery-
styczne.
4
Zadanie 1. Wykonać wykresy sił i napręŜeń normalnych dla pręta przedstawione-
go na rysunku. Obliczyć całkowite wydłuŜenie tego pręta oraz przemieszczenie
punktu B dla danych jak na rysunku.
1. Warunki równowagi.
Q
N
=
1
dla
l
x
≤
≤
0
Q
N
3
2
−
=
dla
l
x
l
2
≤
≤
2. Warunki geometryczne.
2
1
λ
λ
λ
+
=
3. Związki fizyczne.
∫
=
=
→
=
2
1
;
x
x
dx
dx
d
dx
d
ε
λ
ε
λ
λ
ε
E
σ
ε
=
∫
=
2
1
1
x
x
dx
E
σ
λ
σ
λ
=
→
⋅
⋅
=
F
N
F
E
l
N
∫
∫
=
=
l
l
l
dx
F
N
E
dx
F
N
E
2
2
2
0
1
1
1
;
1
λ
λ
5
F
Q
F
N
F
Q
F
N
2
3
2
;
2
2
1
1
−
=
=
=
=
σ
σ
l
F
Q
E
l
F
Q
E
dx
F
N
E
dx
F
N
E
l
l
l
2
3
1
;
1
2
1
;
1
2
1
2
2
2
0
1
1
⋅
−
=
⋅
=
=
=
∫
∫
λ
λ
λ
λ
EF
Ql
l
F
Q
E
l
F
Q
E
2
1
)
2
3
1
(
1
2
1
−
=
⋅
−
+
⋅
=
+
=
λ
λ
λ
Wykresy sił i napręŜeń normalnych
Rys. Wykresy siły normalnej i napr
ęŜ
enia
6
Zadanie 2. Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pręta pionowego obciąŜonego
siłami P
1
, P
2
i cięŜarem własnym. Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprę-
Ŝ
eń normalnych i wydłuŜeń poszczególnych części. Długość
l
1
,
l
2
, przekrój
A
, mo-
duł Younga
E
oraz cięŜar właściwy
γ
są znane.
1.
Warunki równowagi.
Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w prze-
krojach określonych współrzędnymi
x
a
i
x
b
a
a
Ax
P
N
1
γ
+
=
dla
1
0
l
x
≤
≤
1
P
N
A
=
1
1
Al
P
N
B
γ
+
=
i
1
2
1
Al
P
P
N
B
γ
+
+
=
.............................................................................................................
N
P
P
Ax
b
b
= + +
1
2
γ
dla
2
1
0
l
l
x
+
≤
≤
1
2
1
Al
P
P
N
B
γ
+
+
=
(
)
2
1
2
1
l
l
A
P
P
N
C
+
+
+
=
γ
..............................................................................................................
(
)
R
P
P
A l
l
c
= +
+
+
1
2
1
2
γ
dla
2
1
0
l
l
x
+
≤
≤
7
2. Warunki geometryczne.
BC
AB
λ
λ
λ
+
=
3. Związki fizyczne.
WydłuŜenia poszczególnych odcinków wynoszą
∫
=
=
→
=
2
1
;
x
x
dx
dx
d
dx
d
ε
λ
ε
λ
λ
ε
E
σ
ε
=
∫
=
2
1
1
x
x
dx
E
σ
λ
σ
λ
=
→
⋅
⋅
=
F
N
F
E
l
N
Wartości napręŜeń normalnych w przedziałach
AB
i
BC
wynoszą
A
A
x
A
P
a
AB
1
γ
σ
+
=
i
b
BC
x
A
P
P
2
1
γ
σ
+
+
=
oraz w punktach
A, B
i
C
σ
A
P
A
=
1
σ
γ
B
P
A
l
=
+
1
1
i
σ
γ
B
P
P
A
l
=
+
+
1
2
1
(
)
σ
γ
C
P
P
A
l
l
=
+
+
+
1
2
1
2
∫
∫
+
+
+
=
+
=
2
1
1
0
2
1
0
1
1
;
1
l
l
b
b
BC
l
a
a
AB
dx
x
A
P
P
E
dx
x
A
P
E
γ
λ
γ
λ
γ
λ
E
l
EA
l
P
AB
2
2
1
1
1
+
=
(
) (
)
γ
λ
E
l
l
l
l
EA
P
P
BC
2
2
2
1
2
1
2
1
+
+
+
+
=
BC
AB
λ
λ
λ
+
=
