ad 2
Krzysztof Makarski
4. U·
zyteczność.
Preferencje nie s ¾
a wygodne do analizy zachowania konsumenta, jest to niewygodny w ob-s÷
udze obiekt matematyczny. Dlatego wprowadzamy funkcj ¾
e u·
zyteczności, które opisuje pref-
erencje. Zastanowimy si ¾
e te·
z czy dla ka·
zdych preferencji istnieje funkcja u·
zyteczności opisu-
j ¾
aca te preferencje. Powoli zbli·
zamy si ¾
e do optymalnego wyboru, po u·
zyteczności b ¾
edziemy
mówić o ograniczeniu bud·
zetowym, a potem przejdziemy do wyboru.
Funkcja u·
zyteczności opisuje preferencje, nie jest miar ¾
a szcz ¾
eścia, lub zadowolenia.
Funkcja u·
zyteczności uporz ¾
adkowywuje koszyki dóbr, w ten sam sposób co preferencje.
Pami ¾
etajmy preferencje s ¾
a pierwotne, funkcja u·
zyteczności jest wtórna.
De…nicja 1 Mówimy, ·ze u(x1; x2) opisuje preferencje
, gdy dla dowolnych (x1; x2), (y1; y2)
u(x1; x2)
u(y1; y2) wtedy i tylko wtedy (x1; x2)
u(y1; y2)
Dla dowolnych preferencji istnieje wiele funkcji u·
zyteczności opisuj ¾
acych je, w szczególności
dokonanie monotonicznej transformacji nie zmienia preferencji.
Monotoniczna transformacja - funkcja f (u) jest monotoniczn ¾
a transformacj ¾
a je·
zeli u1 > u2
implikuje f (u1) > f (u2).
Twierdzenie 1 Je·zeli u(x1; x2) jest funkcj ¾
a u·zyteczności opisuj ¾
ac ¾
a preferencje
, oraz f (u)
jest dowoln ¾
a monotoniczn ¾
a transformacj ¾
a, to f [u(x1; x2)] opisuje te same preferencje
.
Dowód.
Je·
zeli u(x1; x2) opisuje preferencje
, wówczas u(x1; x2)
u(y1; y2) wtedy i
tylko wtedy gdy (x1; x2)
(y1; y2). Ponadto je·
zeli f (u) jest monotoniczn ¾
a transformacj ¾
a, to
u(x1; x2)
u(y1; y2) wtedy i tylko wtedy gdy f [u(x1; x2)]
f [u(y1; y2)]. Z powy·
zszych otrzy-
mujemy f [u(x1; x2)]
f [u(y1; y2)] wtedy i tylko wtedy gdy (x1; x2) (y1; y2) co oznacza, ·
ze
f [u(x1; x2)] opisuje preferencje
.
Ka·
zda funkcja rosn ¾
aca jest monotoniczn ¾
a transformacj ¾
a.
Rysunek 4.1
U·
zyteczność kardynalna.
S ¾
a ró·
zne sposoby de…niowania u·
zyteczności kardynalnej. Wspólnym mianownikiem, ró·
znych
de…nicji jest mo·
zliwość stwierdzenia, ·
ze jeden koszyk jest dwa razy lepszy ni·
z drugi. W
naszych analizach nie jest to nam potrzebne, wobec czego funkcja u·
zyteczności s÷
u·
zy nam
1
acznie do opisania, ·
ze jakiś koszyk jest nie gorszy od innego koszyka. Nie s÷
u·
zy
nam do opisania ·
ze coś jest ileś razy lepsze ni·
z coś innego.
Budowa funkcji u·
zyteczności.
Ka·
zdej krzywej oboj ¾
etności przypisujemy liczb ¾
e rzeczywist ¾
a.
Rysunek 4.2
Czy dla ka·
zdych preferencji istnieje funkcja u·
zyteczności opisuj ¾
aca je? Odpowiedź brzmi nie,
patrz poni·
zszy przyk÷
ad.
Przyk÷
ad 1 Rozwa·zmy leksykogra…czne preferencje zde…niowane dla dwóch dóbr konsump-cyjnych. Leksykogra…czne preferencje maj ¾
a nast ¾
epuj ¾
ac ¾
a postać. Dla dowolnych dwóch koszyków
x i y. Mówimy ·ze x
y je·zeli x1
y1 lub x1 = y1 i x2
y2. Czyli konsument woli ten
koszyk, który ma wi ¾
ecej dobra 1, a je·zeli dwa koszyki maj ¾
a tyle samo dobra 1 to woli ten,
który ma wi ¾
ecej dobra 2. Ta relacja preferencji jest zupe÷
na, zwrotna, przechodnia, ściśle
monotoniczna iściśle wypuk÷a. Te preferencje s ¾
a ciekawe, bo krzywe oboj ¾
etności maj ¾
a postać
punktu (rysunek na wyk÷
adzie). Mo·zna udowodnić ·ze nie istnieje funkcja u·zyteczności która by j ¾
a opisywa÷
a. Intuicyjnie rzecz ujmuj ¾
ac, nie da si ¾
e przypisać ka·zdej krzywej oboj ¾
etności
coraz wi ¾
ekszej i wi ¾
ekszej liczby rzeczywistej.
Niektóre przyk÷
ady funkcji u·
zyteczności.
Dobra doskonale substytucyjne: u(x1; x2) = ax1 + bx2.
Dobra doskonale komplementarne: u(x1; x2) = minfax1; bx2g Preferencje quasi-liniowe: u(x1; x2) = v(x1) + x2.
Rysunek 4.4
Preferencje Cobba-Douglasa: u(x1; x2) = x x .
1
2
Zauwa·
z, ·
ze dowolne preferencje Cobba-Douglasa mo·
zna wyrazić za pomoc ¾
a takiej funkcji
u·
zyteczności Cobba-Douglasa, dla której wyk÷
adniki dodaj ¾
a si ¾
e do 1. Udowodnij to.
Krańcowa u·
zyteczność.
@U (x
M U
1; x2)
1
=
@x1
@U (x
M U
1; x2)
2
=
@x2
Krańcowa u·
zyteczność a stopa substytucji
2
a stop ¾
e substytucji w punkcie (x1; x2) liczymy z nast ¾
epuj ¾
acego wzoru
M U
M RS
1(x1; x2)
(x1;x2) =
M U2(x1; x2)
(pami ¾
etamy o minusie).
U·
zyteczność z dojazdów
Autobus czy samochód? Domenich i McFadden (1975) Przypuśćmy, ·
ze x reprezentuje n cech dojazdu samochodem, a y wartości tych samych cen przy dojeździe autobusem. Przypuśćmy, ·
ze funkcja u·
zyteczności ma nast ¾
epuj ¾
ac ¾
a postać
U (x1; x2; :::; xn) =
x
x
x
1 1 +
2 2 +:::+
n n: Korzystaj ¾
ac z metod statystycznych mo·
zemy osza-
cować parametry tej funkcji, badanie Domenicha i McFaddena dostarcza nam nast ¾
epuj ¾
acego
oszacowania
U (T W; T T; C) =
0:147T W
0:0411T T
2:24C
gdzie T W
czas dojścia do autobusu lub samochodu, T T
czas podró·
zy w minutach,
C
ca÷
kowity koszt podró·
zy w dolarach. Ponadto autorzy raportuj ¾
a, ·
ze powy·
zsza funkcja
u·
zyteczności poprawnie opisuje wybór mi ¾
edzy transportem samochodowym a autobusowym w 93% gospodarstw domowych.
Takie oszacowania s ¾
a bardzo przydatne przy projektowaniu zmian w systemie transportu miejskiego. Np. pozwoli odpowiedzieć na pytanie o ile wzrośnie przychód (czyli czy op÷
aca
si ¾
e), gdy, ponosz ¾
ac pewne koszty, w÷
adze zakupi ¾
a wi ¾
ecej autobusów, aby zredukować czas
podró·
zy. Co wi ¾
ecej mo·
zemy oszacować ile dany konsument jest w stanie zap÷
acić za skrócenie
czasu przejazdu. W cytowanym badaniu oszacowano ·
ze przeci ¾
etny podró·
zuj ¾
acy jest gotów
zap÷
acić 1,10 dolara, za skrócenie czasu dojazdu o godzin ¾
e.
Lektura.
Varian, rozdzia÷4.
2. Ograniczenie bud·
zetowe
Poprzednio zajmowaliśmy si ¾
e ch ¾
eciami konsumentów, tutaj zajmiemy si ¾
e mo·
zliwościami.
Potem to po÷¾
aczymy co nam da wybory konsumentów. Wybór konsumentów to jest to co nas najbardziej interesuje.
Poj ¾
ecie ograniczenia bud·
zetowego.
p1x1 + p2x2 = m
Na ogó÷wystarcz ¾
a dwa dobra.
Drugie dobro mo·
ze reprezentować wszystko inne.
3
asności zbioru bud·
zetowego.
Nachylenie linie bud·
zetu =
p1 , przeci¾
ecie z osia pionow ¾
a = m , przeci ¾
ecie z osi ¾
a poziom ¾
a
p2
p2
= m .
p1
Rysunek 2.1
Jak si ¾
e zmienia linia bud·
zetu?
Wzrost dochodu
Rysunek 2.2
Wzrost ceny.
Rysunek 2.3
Numeraire.
Mo·
zemy, zrównać cen ¾
e jednego dobra z 1, wówczas nazywamy to dobro numeraire.
Lektura.
Varian, rozdzia÷2 bez 2.6.
5. Wybór.
Poprzednio zajmowaliśmy si ¾
e ch ¾
eciami konsumentów i mo·
zliwościami. Teraz po÷¾
aczymy te
analizy ·
zeby opisać wybór konsumenta. Wybór konsumentów to jest to co nas najbardziej interesuje.
Optymalny wybór.
Je·
zeli po÷¾
aczymy preferencje z ograniczeniem bud·
zetowym uzyskamy optymalny wybór
Rysunek 5.1
Zauwa·
zmy, ·
ze nie zawsze zachodzi warunek styczności. Dobra doskonale komplementarne s ¾
a
przyk÷
adem optymalnego wyboru w punkcie, w którym nie ma ci ¾
ag÷
ości.
Innym przyk÷
adem, gdy·
z nie zachodzi styczność, jest optimum brzegowe.
Rysunek 5.3
Mo·
zliwy jest te·
z wi ¾
ecej ni·
z jeden punkt styczności.
Rysunek 5.4
Popyt konsumpcyjny.
Funkcja popytu na dobro x1: x1(p1; p2; m) oraz na dobro x2: x2(p1; p2; m).
Kilka przyk÷
adów.
4
Dobra doskonale substytucyjne - Rysunek 5.5
Dobra doskonale komplementarne - Rysunek 5.6
Preferencje wkl ¾
es÷
e - Rysunek 5.8
Szacowanie funkcji u·
zyteczności.
Je·
zeli dane s ¾
a dost ¾
epne, wówczas mo·
zna oszacować funkcj ¾
e u·
zyteczności. Taki szacunek
jest bardzo przydatny do szacowania zmian ró·
znych polityk, np. polityki państwa, polityki cenowej przedsi ¾
ebiorstwa. Takie szacunki dokonuje si ¾
e przy wykorzystaniu technik statysty-
cznych, przy pewnych za÷
o·
zeniach. Jest to obecnie powszechnie stosowana metoda zarówno w przedsi ¾
ebiorstwach, jak i w urz ¾
edach publicznych (no mo·
ze nie w polskich urz ¾
edach).
Implikacje warunku dotycz ¾
acego M RS.
Poniewa·
z w punkcie optymalnym mamy M RS =
p1 , a tak·
ze ka·
zdy obserwuje takie same
p2
ceny, w gospodarce doskonale konkurencyjnej, ka·
zdy konsument ma taki sam M RS, który
jest równy stosunkowi cen. Wobec tego ceny wzgl ¾
edne nios ¾
a wa·
zn ¾
a informacj ¾
e. One nas infor-
muj ¾
a jaka jest wzgl ¾
edna wartość jednego dobra wzgl ¾
edem drugiego, w danym spo÷
eczeństwie
(jak porównać jab÷
ka i samochody). Idea, ·
ze ceny nie s ¾
a arbitralne, ale odzwierciedlaj ¾
a
wartości (krańcowe) jakie spo÷
eczeństwa przypisuj ¾
a ró·
znym dobrom, jest jedn ¾
a z fundamen-
talnych idei w ekonomii.
Lektura.
Varian, rozdzia÷5 bez 5.6, dobra neutralne i niechciane, dobra policzalne, preferencje Cobba-Douglasa.
5