Wektory

Wektory



1. Wektor a liczba



2. Charakterystyki wektora

– wartość
– kierunek
– zwrot



3. Współrzędne wektora: 



4. Wersor - wektor jednostkowy: 

r

)

,

,

(

z

y

x

r









( , , )

r i j k

  

r

r





 

 

z

x

y

z

x

y

r

Układ współrzędnych a 

wektor

r r

x

y

z

= =

+

+



2

2

2

)

,

,

(

z

y

x

r









 

 

Działania na wektorach

Działania na wektorach



Dodawanie i odejmowanie 
wektorów



Iloczyn skalarny wektorów



Iloczyn wektorowy wektorów

 

 

Dodawanie i odejmowanie 

Dodawanie i odejmowanie 

wektorów

wektorów



b

a



b

c

  

c a b
c

a

b

x

x

x

 

 

...................

a



b

a



b

c





b

  





c a b

a

b

c

a

b

x

x

x

  

  

 

( )

...................

a

 

 

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny



Wynikiem iloczynu skalarnego jest 
liczba

   

 

a b a b

a b

c

· =

=

cos( , )

 

a b

· =a b

a b

a b

c

x x

y y

z z

+

+

=

 

 

Iloczyn wektorowy 1

Iloczyn wektorowy 1

)

,

sin( b

a

b

a

c

b

a

c























 

a b

 



















i a b a b

j a b a b

k a b a b

y z

z y

z x

x z

x y

y x

(

)

(

)

(

)









i

j

k

a

a

a

b

b

b

c

x

y

z

x

y

z

 

 

 

Iloczyn wektorowy 2

Iloczyn wektorowy 2



a



b

c

P

 

 

Kinematyka

Kinematyka

Wstęp

Wstęp



Opis ruchu: ciało a punkt materialny



Ruch postępowy i obrotowy



Wielkości fizyczne i równania 
służące do opisu ruchu postępowego 
i obrotowego



Przykłady

 

 

Ruch postępowy (a) i obrotowy 

Ruch postępowy (a) i obrotowy 

(b)

(b)

x’

y’

O

x’

y’

O

x’

y’

O

x

y

x’

y’

O

x’

y’

O

x’

y’

O

a)

b)

 

 

Opis ruchu

Opis ruchu



1. Ruch prostoliniowy



2. Ruch obrotowy



3. Wektory



4. Ruch na płaszczyźnie

 

 

1. Ruch prostoliniowy 

1. Ruch prostoliniowy 



Ruch wzdłuż linii prostej - jeden 
stopień swobody 



Prędkość i przyspieszenie: 

v

 i 

a



Wartości średnie i chwilowe

P

v

s

P

a

s

 

 

Wartości

Wartości

 

średnie i 

średnie i 

chwilowe

chwilowe

Prędkość średnia:     

x

y

x

1

x

2

t

2

t

1

1

2

1

2

t

t

x

x

t

x

v













Prędkość chwilowa:     

v

x

t

dx

dt

t













0

lim

Jednostka:     

1

]

[ 

v

s

m



x

 

 

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji



Definicja:



Symbole:



f=f(x)

-

funkcja



x

-

zmienna niezależna



lim

-

wartość graniczna



f, x-

przyrosty skończone



df, dx

-

różniczki

x

f

dx

df

f

x













lim

0

'

 

 

Przyspieszenie średnie:     

Przyspieszenie chwilowe:     

1

2

1

2

t

t

v

v

t

v

a













dt

dv

t

v

a

t













lim

0

Jednostka:     

2

1

s

m

a 

 

 



Wielkości kątowe



Prędkość i przyspieszenie: 



 i 





Średnie:



Chwilowe: 

2. Ruch obrotowy 

2. Ruch obrotowy 

1

2

1

2

1

2

1

2

;

t

t

t

t

t

t









































dt

d

t

dt

d

t

t

t





































lim

lim

0

0

;