Politechnika Świętokrzyska Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN

Zakład Informatyki i Robotyki

Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem. II, Specjalność: SUM - Inżynieria Produkcji, studia uzupełniające, 2002÷2003.

Ćwiczenie nr 2.

Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych - symulacja komputerowa 1. Transmitancja widmowa

Jeżeli na wejście układu liniowego podane zostanie wymuszenie sinusoidalne o stałej pulsacji  , to na wyjściu tego układu, po ustaniu przejściowego okresu, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej pulsacji

 co sygnał wejściowy. W ogólnym

przypadku sygnał wyjściowy posiadał będzie inną amplitudę A i będzie przesunięty w

fazie

 względem sygnału wejściowego. Charakterystyki częstotliwościowe opisują zachowanie się układu przy wszystkich wielkościach pulsacji

 sygnału wejściowego.

Transmitancja widmowa jest równa stosunkowi wartości zespolonej odpowiedzi układu, wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia w stanie ustalonym.

Przez transmitancję widmową rozumiemy: G  j = G  s , gdzie s= j 

2. Wymuszenie sinusoidalne

Sygnał sinusoidalny możemy zdefiniować jako: A∗sin ∗ t ,

gdzie:

A - amplituda sygnału,

 - częstość własna sygnału,

 - przesunięcie fazowe sygnału,

t - czas (zmienna niezależna).

Z każdym przebiegiem sinusoidalnym związane jest pojęcie określane mianem okresu drgań

T . Zależność pomiędzy pulsacją, a okresem drgań przedstawiono poniżej.

= 2∗

T

f(t) 1

0.5

A

0

β 0

2.5

5

7.5

10

12.5

T

-0.5

t

-1

Rys. 2.1 Przebieg sygnału sinusoidalnego 3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa Wykres

G  j  nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową. Jest on miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem. Transmitancja widmowa jest funkcją zmiennej zespolonej wyznacza ona na płaszczyźnie zespolonej punkty o współrzędnych P  



1

i

Q 1 . Punkty te

można uważać za koniec wektora

G  j  



1

o długości

A1 i kącie nachylenia

względem dodatniego kierunku osi rzeczywistej

 

1

. Jeżeli pulsacja

 ulega

zmianie, wówczas wektor

G  j  zmienia swoją wartość bezwzględną i obraca się, gdyż jego argument  

1

także zależy od pulsacji. Zatem koniec wektora G  j 

opisze krzywą będącą charakterystyką amplitudowo-fazową (Nyquista). Charakterystyka jest hodografem wektora

G  j  . Pulsacja

 jest parametrem charakterystyki

amplitudowo-fazowej, dlatego też podaje się jej rozkład wzdłuż charakterystyki przez

wpisanie wartości w ważniejszych punktach. Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych, dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu współrzędnych: G  j  0 , przy ∞

4. Charakterystyki logarytmiczne

Zależność argumentu transmitancji widmowej

 wykreślona w logarytmicznej

skali pulsacji

 nazywa się charakterystyką logarytmiczną fazową, a zależność 20log ∣ G  j ∣

10

wykreślona

w

logarytmicznej

skali

pulsacji

 nazywa się

logarytmiczną

charakterystyką

amplitudową.

Zasadniczą

zaletą

charakterystyk

logarytmicznych jest łatwość określania charakterystyki wypadkowej układów, których transmitancje stanowią iloczyn transmitancji członów składowych. Umożliwia to zastąpienie mnożenia transmitancji łatwiejszą operacją matematyczną – sumowaniem.

Charakterystyki

logarytmiczne

są

określane

w

literaturze

anglojęzycznej

jako

charakterystyki Bode'go.

5.Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych w SciLab'ie Przykład 5.1 (charakterystyka Nyquista)

-->s=poly(0,'s');

-->h=syslin('c',G(s));

-->nyquist(h,0.001,1000);

Przykład 5.2 (charakterystyka Bode'go)

-->s=poly(0,'s');

-->h=syslin('c',G(s));

-->nyquist(h,0.001,1000);

6.Przebieg ćwiczenia.

Naszkicuj charakterystyki Nyquista i Bode'go czterech wybranych podstawowych bloków automatyki. Podaj przyjęte wartości parametrów k i T x .

Opisz jedną z charakterystyk Bode'go. Wskaż zmiany w amplitudzie i fazie sygnału wyjściowego w zależności od częstotliwości sygnału wejściowego. Pełny kod stosownych programów znajduje się w punktach 5.1 i 5.2.