12
Charakterystyka obciążenia dzielnika napięcia
R1
R3 - reprezentuje obiążenie dzielnika
Etoda transfiguracji - wykorzystanie min.
U3
E
pojęcia oporności zastępczej
R2
R3
Połączone równolegle elemety R2 , R3 można zastąpić
R R
R
2
3
23 =
I
R +
R1
2
R3
E
R23
U3
Oporność zastępcz a połączenia szeregowego
R R
R
2
3
123 = R1 + R23 = R1 +
R +
I
2
R3
NPK
E
R123
U
E - U = 0; E = R123I
E
I =
R123
R R
U
2
3
3 = R23 I =
E
R
+
+
1R 2
R 2R3 R3R1
U
3
I
Charakterystykę obciążenia dzielnika napięć
U3 = f(R3) wykonano dla : E = 1V,
R1 = 1, R2 = 2 .
E
U3
R3
R3
E
13
Wykład 5. 29.10.2009
Dzielnik prądu.
W obwodzie zadano źródło prądu J oraz elementy pasywne
R1, R2, R3 .
Wyznaczyć natężenie prądu w gałęzi trzeciej I3.
R1
I3
I
1
Oznaczamy prądy w obwodzie oraz stosownie
I2
napięcia.
U1
U2
R
R3
J
U
2
J
U3
a. bezpośrednie zastosowanie praw Kirchhoffa
I1 = J
PPK
1. J - I2 - I3 = 0 - w obwodzie nieznane są tylko dwa prądy I2, I3 ; do ich wyznaczenia wystarczą dwa równania; do równania (1) należy dopisać niezależne równanie wg. NPK - równanie dla oczka I zawierać będzie trzecią niewiadamą UJ . Równanie dla oczka II :
2. U2 - U3 = 0 ; R2I2 = R3I3
1
2
3
z powyższych równań:
I
II
R
I
2
3 =
J
R +
2
R3
Prąd w gałęzi „trzeciej” prąd I3 zależy tylko od prądu dopływającego do układu równoległego i wartości elementów oporności układu równoległego R2, R3 .
Opisany obwód nazywany bywa dzielnikiem prądu.
Charakterystyka zewnętrzna dzielnika prądu
J = 2A
I = f(R3)
R3
14
Metoda transfiguracji rozwiązywania obwodów - wykorzystanie pojęcia oporności zastępczej.
Ponieważ I1 = J , do połączenia równoległego R2 , R3 dopływa znany prąd J, napięcie U2 = U3 wynosi:
R
R R
1
I3
I
U
2
3
1
3 = R23 J =
J
R +
2
R3
I2
Natężenie prądu I
U
3
1
U2
R
U
R2
3
J
J
U3
U
R
I
3
2
3 =
=
J
R
+
3
R 2 R3
R1
R4
I1
Przykład
Obliczyć natężenie prądu I1 w obwodzie o elementach:
R2
R1 = 2Ω, R2 = 16Ω, R3 = 4Ω, R4 = 30Ω, R5 = 20Ω,
E
R5
R7
R
6 = 5Ω , R6 = 15Ω , E = 5 V
R3
R6
oporność zastępcza dwójnika pasywnego o zwartych zaciskach wnosi zero:
Rab = 0 ; w przykładzie R67 = 0
a
R R
20 ⋅ 30
60
IR = 0
R
4
5
=
45 =
=
12 Ω
Uab = 0
R +
=
+
4
R5
20
30
5
0
I
Ra
R345 = R3 + R45 = 4 + 12 = 16 Ω
b
R R
16 ⋅16
R
2
345
Rab = 0
2345 =
=
= 8 Ω
R +
+
Rb
2
R345
16 16
R12345 = R1 + R2345 = 2 + 8 = 10Ω
E
5
I1 =
=
= 0,5 A
R12345
10
Przykład.
Obliczyć taką wartość elementu R, aby oporność zastępcza dwójnika Rab wynosiła R.
R (R + R)
R
2
1
ab = R = R1 +
R1
R1
R + R + R
2
1
a
Po przekształceniach
Rab
R
R
2
b
R ( R1 + R2 + R ) = R1( R1 + R2 + R ) + R1R2 +R2 R
15
R2 + R (R1 + R2 - R1 - R2 ) - R1 ( R1 + 2R2 ) = 0
R = R (R + 2R )
1
1
2
Np. dla R1 = 2Ω, R2 = 3Ω , R = 4 Ω
Modele obwodowe źródeł energii elektrycznej
RE I
<
U = E - RE I
U
R = RE I
Charakterystyka źródła energii elektrycznej
E
U
<
E
U = E - R
E I
0
I
I
<
I = J - I
I
R
R
J
RJ
U
U
I = J -
R J
<
lub
U = RJJ - RJ I
Charakterystyka źródła energii elektrycznej
RJJ
U = RJJ - RJ I
0
I
16
Rownoważność modeli obwodowych źródeł energii
R E
I
I
<
<
U
I
R = RE I
R
≡
E
U
J
RJ
U
<
<
Równoważność modeli zachodzi, gdy charakterystyki zewnętrzne są identyczne. Wówczas: RE = RJ = R ; E = R J
Zasada superpozycji
W liniowym obwodzie elektrycznym, dowolny prąd ( dowolne napięcie ) jest algebraiczną sumą prądów ( napięć ) wywołanych źródłami działającymi z osobna. Pozostałe źródła zostają upasywnione.
Upasywnianie źródeł
<
<
J
=
0 ⇒ p rzerwa J
⇒
<
<
<
<
⇒
E
E = 0
zwarcie
<
<
Przykład
W obwodzie o danych parametrach: E = 6 V, J = 1 A, R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, sporządzić bilns mocy. Napięcia i prądy obliczyć stosując zasadę superpozycji.
Po zastrzałkowaniu prądów można zapisać:
I
1
I3
I
E
E
1 =
J
R
1
I + 1
I ; I2 =
J
I +
2
I2
1
R3
I
E
3 = J ; UJ =
J
U +
J
UJ
E
R2
J
UJ
UJ
I2
17
Skłdniki odczytujemy np. :
E
UJ -- napięcie na ródle prądu gdy działa E
J
UJ - napięie na źródle prądu gdy działa J
Superpozycja
E
=
Działa E
IE
1
I
0
3
R1
R
E
E
E
=
=
E
3
1
I
I2
= 2A ;
E
UJ = R2 1
I = 4 V.
R +
E
R
U
1
R2
2
J
E
I2
Działa J
I1 I3
J
R
I
2
= −
J
1
= - 2/3 A ;
R1
R + R
R3
1
2
E
R2
J
J
UJ
J
R
I
1
=
J
2
= 1/3 A
R + R
I2
1
2
J
R R
U =
1
2
J
(R3 + R + ) J = 11/3 V
1
R2
I1 = 2 - 2/3 = 4/3 A
I2 = 1/3 + 2 = 7/3 A
UJ = 4 + 11/3 = 23/3 V
PE = E I1 = 6 · 4/3 = 8 W
PJ = J UJ = 1· 23/3 = 23/3 W
Pźr = 47/3 W
PR1 = 1· (4/3)2 = 16/9 W
PR2 = 2 · (7/3)2 = 98/9 W
PR3 = 3 ( 1)2 = 3 W
PR = 47/3 W
Zazwyczaj stosując zasadę superpozycji liczy się w obwodzie niewiele wielkości np. jedną.
Element połączony sszeregowo ze źródłem prądu nie ma wpływu na rozpływ prądu i rozkład
napięć w reszcie obwodu. Ma wpływ na napięcie źródła prądu, a więc moc źródła.
18
Przykład
Obliczyć natężenie prądu I3 w obwodzie o danych: E1 = 15 V , E2 = 15V , R1 = 3Ω , R2 =6 Ω, R3 = 3 Ω. Zastosować zasadę superpozycji.
Działa E1 , E2 = 0
1
E
1
E
15
1
I
=
=
= 3A
R 2R3
5
R +
1
R +
2
R3
1
E
R
6
I
2
3 =
1
E
1
I
= 2 A
R +
= 3
2
R3
9
Działa E2 , E1 = 0
I3
E2
E
15
I
2
E
E2
2
=
=
= 2 A
1
R1R3
7 5
.
R +
2
R +
R3
1
R3
R1
R
R
2
E2
1
3
I
E
3
=
2
I2
= 1 A
R
+
= 2
R
1
6
I
E
3 =
2
I3 + 1
E
I3 = 2 + 1 = 3 A
19
Wykład 6 5.11.2009
Dopasowanie odbiornika do źródła energii
NPK
Rw I
E - Uw - U0 = 0
Uw = RwI
I ( Rw + R0 ) = E
R0
E
U0
E
I = R +
0
R w
P0 = U0 I = R0 I2
R
P
0
0 = E2 (
;
R
+
w
R )2
0
Największa moc odbiornika P0 przy zadanym źródłe energii ( E, Rw ) wystąpi gdy pochodna funkcji mocy { P0 (R0)} przyjmie wartość zero:
d(P )
2
+
−
+
0
(R
R )
R 2(R
R )
= 0 ;
w
0
0
w
0 = 0
d(R )
4
+
0
(R w R0)
z powyższego równania wynika zależność:
P0 = 72W
P0 = 64W
R0 = Rw
RR
0
0
Wykres mocy odbiornika odpowiada źródłu energii
o parametrach : E = 24V, Rw = 2Ω, I0= 6 A, P0max= 72W
Sprawność układu wynosi:
P
R I2
R I
η = 0 =
0
0
=
ź
P r
EI
E
w stanie dopasowania dla R0 = 2 Ω sprawność wynosi: η = 0,5
Do osiągnięcia mocy np. P0 = 64 W, można wybrać dwa przypadki: R01 = 1 Ω, I01 = 8A η = 0,33;
R02 = 4 Ω, I02 = 4 A , η = 0,66 (sprawdzić !)
20
Twierdzenie o źródle zastępczym (Thevenina)
Dowolny obwód liniowy lub część obwodu jeśli wyróżnimy w nim dwa zaciski a-b, można
zastąpić źródłem zastępczym, zawierającym szeregowe połączenie źródła napięcia ET i
elementu Rw .
a
a
a
a
a
En
Jn
Rw
Rw
Rn
Uab
E
≡
T
Rn
b
b
b
b
b
Źródło napięcia ET jest to napięcie Uab między wyróżnionymi zaciskami , oporność Rw zwana opornością wzierną zastępowanego obwodu, jest opornością zastępczą liczoną z zacisków a – b zastępowanego obwodu po jego upasywnieniu.
Przykład
W obwodzie dane są : E = 12 V, J = 2A, R1 = R2 = R3 = 3Ω. Obliczyć natęźenie prądu I3
stosująctwierdzenie o źródle zastępczym.
W celu wyznaczenia prądu I3 wyróżniamy zaciski a - b
w pobliżu końców gałęzi „3”.
a
Część obwodu na lewo od wyróżnionych zacisków zostanie
zastąpiona dwójnikiem Thevenina
J
E
I3
R3
R1
R2
Zastępowany obwód jest jednooczkowy, a prąd w oczku
b
narzucony jest przepisem źródła prądu.
Napięcie Uab obliczone zostanie z konturu zamkniętego NPK:
źródło napięcia, element R2 , przerwa a – b: Uab = E + R3J = ET
a
a
J
E
Rw
U
ET
ab
≡
R1
R2
b
b
Do wyznaczenia oporności wziernej Rw zastępowany obwód zostaje upasywniony (J = 0, E = 0):
21
a
J = 0
E = 0
Oporność zastępcza liczona z zacisków a-b
wynosi:
R1
R2
Rz = R2 = Rw
Po zastosowaniu twierdzenia o źródle zastępczym do części
b
obwodu, przystąpić można do obliczenia prądu I3 :
Dla tego jednooczkowego obwodu natężenie prądu I3
E
a
I
T
3 =
R
+
I3
w
R3
Rw
E
T
R3
E + R J
12 + 6
I
2
=
3 =
=
A
3
R +
2
R3
6
b
Obliczymy natężenie prądu I3 stosując zasadę superpozycji
a
I3
J
E
R
3
R1
R2
b
Działa J - dzielnik prądu
R
I ’
3
I ’
2
J
3 =
J
E = 0
R +
R
2
3
3
R3
I ’
=
3 =
2
A
1
3 + 3
R1
R2
Działa E - obwód jednooczkowy
E
I ’’
3 =
’’
R +
I
2
R3
J = 0
E
3
12
R3
I ’’
3 =
= 2A
3 + 3
R1
R2
I
’
’’
3 = I3 + I3 = 1 + 2 = 3 A
22
Przykład
W obwodzie dane są parametry wszystkich źródeł oraz elementów pasywnych: E1 = 2 V ; R1 = 2 Ω
E
E
1
4 = 2V ; R2 = 2 Ω
E5 = 2 V ; R4 = 2 Ω
I2
J3 = 2A ; R4 = 2 Ω
R
J
1
6 = 2 A ;
J6
J3
R2
a. obliczyć natążenie prądu I2 stosując twierdzenie o źródle zastępczym
b.napięcie Uab = ET obliczyć stosując twierdzenie o superpozycji
R
4
R6
E5
ponieważ należy obliczyć prąd I3 całą resztę obwodu
E
za wyjątkiem gałęzi „3”, należy zastąpić dwójnikiem
4
Thevenina
Zastępowana część obwodu
E1
R1
Uab
J
6
J3
R4
R
E
6
5
E4
zasada superpozycji - działa E1
E
1
prąd w obwodzie nie płynie
NPK w zaznaczonym konturze daje równanie
R1
U’ab
J6=0
U’ab = E1
J3=0
R4
R6
E5=0
E4=0
23
E1 = 0
Działa E4
U”ab = -E4
R
U”ab
J
1
6=0
J3=0
R
4
E5=0
R6
E4
E
1 = 0
Działa E
5
U”’ab
J6=0
R1
U’’’ab = - E5
J
3=0
R4
E5
R6
E
4=0
E1 = 0
Działa J3
U”’’a
R1
J6=0
b
J3
U’’’’ab = - R4 J3
R
R
4J3
4
E5=0
R6
E
Działa J
4=0
6
E1 = 0
U’’’’’
U”’’’a
ab = R1 J6 + R4 J6
R1
R1J6
b
J6=0
J3=0
R
R4J6
4
E5=0
R6
E4=0
24
Uab = E1 - E4 - E5 - R4J3 + (R1 + R4) J6 = 2 – 2 – 2 –2 · 2 + 4 · 2 = 2 V
ET = Uab = 2 V
E1 = 0
R1
RZ
J6=0
Rw = RZ = R1 + R4 = 4Ω
J3=0
R4
E5=0
R
6
a
I2
Rw= 4Ω
E4=0
E
R
T = 2V
2
b
E
2
1
I
T
=
3 =
=
A
R
+
+
w
R 2
4
2
3
Twierdzenie o źródle zastępczym (Nortona)
Dowolny obwód liniowy lub część obwodu, jeśli wyróżnimy w nim dwa zaciski a-b, można
zastąpić źródłem zastępczym, zawierającym równoległe połączenie źródła i elementu Rw .
a
a
a
En
Jn
Rw
≡
JN
Uab
Rn
b
b
b
Źródło prądu JN jest natężeniem prądu IZ w gałęzi zwierającej wyróżnione zaciski , oporność Rw zwana opornością wzierną zastępowanego obwodu, jest opornością zastępczą liczoną z zacisków a – b zastępowanego obwodu po jego upasywnieniu.
25
Przykład
W obwodzie o danychparametrach elementów aktywnych i pasywnych:
J = 2A, E = 10V, R1 = 1Ω , R2 = 2Ω , R3 = 3Ω ,
obliczyć natężenie prądu I3 stosując twierdzenie o źródle zastępczym I
Nortona.
J
E
3
R3
R1
R2
W celu obliczenia prdu I3 ,resztę obwodu (z wyjątkiem gałęzi „3” ) zastąpi się dwójnikiem Nortona
Obwów zastępowany z zaznaczoną gałęzią zwierającą
Dla obwodu zachodzizależność
J
J
I2
2
J
J
E
a
a
IZ = J + I2
IZ
Z
Oraz
R2
R
R1
R
b
E
E - R2I2 = 0 → I2 =
R 2
E
IZ = JN = J +
= 2 + 5 = 7 A
R 2
Obwód pasywny do liczenia oporności wziernej
J=0
E=0
a
RZ = Rw = R2 = 2Ω
R2
R
1
b
a
I3
J
Rw
R
N
3
Z dzielnika prądów
R
2
I
w
b
3 =
JN =
7 = 3,5 A
R
+
+
w
R3
2
2