Egzamin z Równań Różniczkowych, 21 VI 2007, godz. 12.00
1. Rozwiązać równanie
y
y0 −
= 2 x 2
x
y(1) = 3
i narysować wyznaczoną krzywą całkową.
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne: y
y0 −
= 0
x
Rozdzielamy zmienne:
d y
y
=
d x
x
d y
d x
=
y
x
Całkujemy obie strony
Z d y
Z d x
=
y
x
Rozwiązanie równania liniowego jednorodnego: ln |y| = ln |x| + C
Po uproszczeniu:
y = Cx
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne: y
y0 −
= 2 x 2
x
Szukamy rozwiązania w postaci:
y = C( x) x Wtedy
y0 = C0x + C
Po podstawieniu do równania:
C0x = 2 x 2
C0 = 2 x
Z
C =
2 x d x = x 2 + D
Rozwiązanie ogólne równania:
y = ( x 2 + D) x = x 3 + Dx Postawiamy waruknek początkowy: x = 1, y = 3
3 = 1 + D
D = 2
Szukane rozwiązanie:
y = x 3 + 2 x
2. Rozwiązać równanie różniczkowe yIV + 4 y00 = 20 e−x Rozwiązanie:
Rozwiąznujemy najpierw równanie liniowe jednorodne: yIV + 4 y00 = 0
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego: r 4 + 4 r 2 = 0
r 2( r 2 + 4) = 0
r 1 = 0 , r 2 = 0 , r 3 = 2 i , r 3 = − 2 i Rozwiąznie ogólne równania jednorodnego: y = C 1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x Szukamy rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego metodą przewidy-wań
ys = Ae−x
y0 = −Ae−x
s
y00 = Ae−x
s
y000 = −Ae−x
s
yIV = Ae−x
s
Po podstawieniu do równania:
5 Ae−x = 20 e−x
Czyli A = 4
A więc rozwiąznie szczególne:
ys = 4 e−x
Rozwiaznie ogólne równania jest więc równe: y = C 1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x + 4 e−x 3. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu:
∞
X sin( π + nπ)
2
( x + 2) n
n 2 + 2 n
n=1
Rozwiązanie:
sin( π + nπ) = ( − 1) n 2
Szukamy promienia zbieżności szeregu. W tym celu liczymy granicę: a
( − 1) n+1
n 2 + n
n 2 + n
lim n+1
= lim
= 1
n→∞ a
= lim
n
n→∞ ( n + 1)2 + n + 1 ( − 1) n n→∞ n 2 + 3 n + 2
Promień zbieżności jest więc równy:
R = 1 = 1
1
Szereg jest zbieżny dla |x + 2 | < 1 czyli dla x ∈ ( − 3 , − 1) Sprawdzamy zbieżność na brzegu obszaru: x = − 3
X ( − 1) n
∞
X
1
( − 1) n =
n 2 + n
n 2 + n
n=1
n=1
Jest to szereg o wyrazach nieujemnych. Stosujemy kryterium porównawcze: 1
1
<
n 2 + n
n 2
∞
X 1
∞
X
1
Szereg
jest zbieżny, a więc zbiezny jest też szereg n 2
n 2 + n
n=1
n=1
x = − 1
∞
X ( − 1) n
∞
X ( − 1) n
(1) n =
n 2 + n
n 2 + n
n=1
n=1
Badamy zbieżność szeregu
∞
X
∞
( − 1) n
X
1
=
n 2 + n
n 2 + n
n=1
n=1
Ten szereg jest zbieżny, a więc szereg bez wartości bezwzględnej też jest zbiezny.
Odpowiedź:
Szereg jest zbiezny dla x ∈< − 3 , − 1 > x
4. Napisać szereg Maclaurina funkcji f ( x) =
a następnie z postaci szeregu obliczyć 1 − 2 x
pochodną f (11)(0)
Rozwiązanie:
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − x
1
= 1 + 2 x + 22 x 2 + 23 x 3 + 24 x 4 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − 2 x
2 2
x
= x + 2 x 2 + 22 x 3 + 23 x 4 + 24 x 5 + . . . , x ∈ ( − 1 , 1) 1 − 2 x
2 2
Współczynnik przy x 11 jest równy: a 11 = 210
Więc
f (11)(0) = a 11(11!) = 21011!
5. Wyznaczyć krzywiznę w dowolnym punkcie krzywej K : x = sin t, y = 8 t, z = cos t .
| ˙ ~r × ¨
~r|
κ = |˙ ~r| 3
Rozwiązanie:
˙ ~r = [cos t, 8 , − sin t]
¨
~r = [ − sin t, 0 , − cos t]
i
j
k
˙ ~rר ~r =
cos t
8 − sin t = − 8 i cos t+ j sin2 t+8 k sin t+ j cos2 t = [ − 8 cos t, 1 , 8 sin t]
− sin t 0 − cos t A więc
√ 64cos2 t + 1 + 64sin2 t 1
κ =
√
=
( cos2 t + 64 + sin2 t)3
65
4 dla x ∈ ( −π, − 1)
f ( x) =
− 4 dla x ∈ (1 , π)
0 dla x ∈ ( − 1 , 1) Uzupełnić tę funkcję aby w przedziale < −π, π > spełniała warunki Dirichleta. Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
Rozwiązanie:
Aby fukcja spełniała warunki Dirichleta musi mieć wartości (średnie arytmetyczne granic obustronnych):
f ( −π) = 0
f ( π) = 0
f ( − 1) = 0
f (1) = 0
Funkcja jest nieparzysta, więc współczynniki an = 0 dla n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
π
1 Z
2 Z
2 Z
8 cos nx π
bn =
f ( x) sin nx d x =
f ( x) sin nx d x =
− 4 sin nx d x =
=
π
π
π
π
n
1
−π
0
1
8(cos nπ − cos n)
nπ
Szereg Fouriera dla funkcji f ( x) jest więc następujący:
∞
P
f ( x) =
bn sin nx
n=1
∞
P 8(cos nπ − cos n)
f ( x) =
sin nx
n=1
nπ