Egzamin z Równań Różniczkowych, 18 IX 2012
1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
1. Rozwiązać równanie: y00 − cos x + 1 = 0
y = − cos x − x 2 +
2
Rozwiązanie:
C 1 x + C 2
y00 − cos x + 1 = 0 = ⇒ y00 = cos x − 1
Z
y0 =
(cos x − 1) d x = sin x − x + C 1
Z
x 2
y =
(sin x − x + C 1) d x = − cos x −
+ C 1 x + C 2
2
2. Które z funkcji y = ex , y = e−x , y = 1 , y = 2 sin x są całkami szczególnymi y = ex ,
równania różniczkowego y(4) − y = 0
y = e−x ,
Rozwiązanie:
y = 2 sin x
r 4 − 1 = 0 = ⇒ ( r 2 − 1)( r 2 + 1) = 0 = ⇒ ( r − 1)( r + 1)( r 2 + 1) = 0 równanie charakterystyczne
r 1 = 1 , r 2 = − 1 , r 3 = i , r 4 = −i
∞
n
3. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu X
xn
R = 2
2 n
n=0
Rozwiązanie:
n
an = 2 n
√
s n
n n
1
ρ = lim n
=
lim
=
n→∞
2 n
n→∞
2
2
1
R =
= 2
ρ
4. Wyznaczyć punkt P , w którym prosta styczna do krzywej K o równaniu P = ( − 1 , 1 , 1)
−
→
r ( t) = ( t − 1 , et, t 2 + 1) jest równoległa do płaszczyzny xOy Rozwiązanie:
˙
−
→
r ( t) = [1 , et , 2 t]
Wektor ten jest równoległy do płaszczyzny xOy gdy jego składowa z jest równa 0:
2 t = 0 = ⇒ t = 0
−
→
r (0) = ( − 1 , 1 , 1)
5. Jaką wartość przyjmuje w punkcie x = − π suma szeregu Fouriera funkcji: 5
2
2
(
5 dla x ∈ [ −π, − π ] ∪ [ π , π]
f ( x) =
2
2
0 dla x ∈ ( − π , π )
2
2
Rozwiązanie:
f ( π −) + f ( π +)
5 + 0
S( − π ) =
2
2
=
2
2
2
1
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego
2
cos x
y0 +
y =
x
x 2
y( π) = 0
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe.
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
2
y0 +
y = 0
x
Rozdzielamy zmienne:
d y
2
= −
d x
y
x
Z
d y
Z
1
= − 2
d x
y
x
ln |y| = − 2 ln |x| + C
C
y = x 2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
2
cos x
y0 +
y =
x
x 2
C( x)
y =
uzmienniamy stałą
x 2
Wtedy:
C0( x)
2 C( x)
y0 =
−
x 2
x 3
C0
2 C
2 C
cos x
−
+
=
wstawiamy do równania
x 2
x 3
x 3
x 2
C0
cos x
=
x 2
x 2
C0 = cos x
Z
C =
cos x d x = sin x + D
Stąd:
sin x + D
y =
x 2
0 + D
0 =
= ⇒ D = 0
podstawiamy x = π i y = 0
π 2
Odpowiedź:
sin x
y = x 2
2
y00 − 3 y0 + 2 y = ex + 2 x Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y00 − 3 y0 + 2 y = 0
r 2 − 3 r + 2 = 0
równanie charakterystyczne
∆ = 1
3 ± 1
r =
2
r 1 = 1 , r 2 = 2
y = C 1 ex + C 2 e 2 x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y00 − 3 y0 + 2 y = ex
Ponieważ r = 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Aex · x
y0 = Axex + Aex
s
y00 = Axex + Aex + Aex = Axex + 2 Aex s
Wstawiamy do równania:
Axex + 2 Aex − 3 xAex − 3 Aex + 2 Axex = ex A = 1 = ⇒ ys = xex
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego: y00 − 3 y0 + 2 y = 2 x
Ponieważ r = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Ax + B
y0 = A
s
y00 = 0
s
Wstawiamy do równania:
0 − 3 A + 2 Ax + 2 B = 2 x (
2 A = 2
3
= ⇒ A = 1 , B =
− 3 A + 2 B = 0
2
ys = x + 32
y = C 1 ex + C 2 e 2 x + xex + x + 3
rozwiązanie ogólne
2
Odpowiedź:
y = C 1 ex + C 2 e 2 x + xex + x + 32
3
(
˙ x = x − 2 y
˙
y = x + 4 y
Rozwiązanie:
x = ˙
y − 4 y
z równania drugiego
˙ x = ¨
y − 4 ˙
y
różniczkujemy
Wstawiamy do równania pierwszego
¨
y − 4 ˙
y = ˙
y − 4 y − 2 y = ⇒ ¨
y − 5 ˙
y + 6 y = 0
r 2 − 5 r + 6 = 0
równanie charakterystyczne
∆ = 1
5 ± 1
r =
2
r 1 = 2 , r 2 = 3
y = C 1 e 2 t + C 2 e 3 t
˙
y = 2 C 1 e 2 t + 3 C 2 e 3 t x = 2 C 1 e 2 t + 3 C 2 e 3 t − 4( C 1 e 2 t + C 2 e 3 t) = − 2 C 1 e 2 t − C 2 e 3 t Odpowiedź:
x = − 2 C 1 e 2 t − C 2 e 3 t y = C 1 e 2 t + C 2 e 3 t 4
5. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji
x
f ( x) =
,
1 + 3 x 2
przedział zbieżności szeregu oraz wartości pochodnych f (10)(0) i f (11)(0).
Rozwiązanie:
x
1
∞
∞
f ( x) =
= x ·
= x X( − 3 x 2) n = X( − 3) nx 2 n+1
1 + 3 x 2
1 − ( − 3 x 2)
n=0
n=0
1
∞
Skorzystaliśmy z rozwinięcia funkcji:
= X xn
1 − x
n=0
Szereg Maclaurina f ( x) jest zbieżny dla:
| − 3 x 2 | < 1 = ⇒ x ∈ ( − 1
√ , 1
√ )
3
3
f ( n)(0) = an · n!
Stąd ponieważ:
a 10 = 0 = ⇒ f (10)(0) = 0
a 11 = ( − 3)5 = ⇒ f (11)(0) = − 3511!
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziałach (0 , π ) oraz 2
( π , π) przyjmuje wartości identyczne z funkcją 2
(
2 dla x ∈ (0 , π )
f ( x) =
2
1 dla x ∈ ( π , π)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x ∈ [ −π, π] .
Podać wartość sumy tego szeregu dla x = 2 π .
Rozwiązanie:
Dla n = 1 , 2 , 3 . . .
π
π
2
π
π
2 Z
2 Z
2 Z
2
cos nx 2
2 cos nx π
bn =
f ( x) sin nx d x =
2 sin nx d x+
sin nx d x =
− 2
+
−
=
π
π
π
π
n
0
π
n
π
0
0
π
2
2
− 4(cos n π − 1)
− 2(cos nπ − cos n π )
4 − 2( − 1) n − 2 cos n π
2
+
2
=
2
nπ
nπ
nπ
Szereg Fouriera sinusów f ( x) jest więc następujący:
∞
∞ 4 − 2( − 1) n − 2 cos nπ
S( x) = X b
X
2
n sin nx =
sin nx
nπ
n=1
n=1
Suma szeregu w punktach ciągłości jest równa przedłużonej nieparzyście funkcji f .
S(0) = S( π) = S( −π) = 0
f ( π −) + f ( π +)
2 + 1
3
S( π ) =
2
2
=
=
2
2
2
2
3
S( − π ) = −S( π ) = −
2
2
2
2 dla x ∈ (0 , π )
2
1 dla x ∈ ( π , π)
2
− 2 dla x ∈ ( − π , 0)
2
S( x) =
− 1 dla x ∈ ( −π, − π )
2
0 dla x ∈ {−π, 0 , π}
3
dla x = π
2
2
− 3 dla x = − π
2
2
S(2 π) = S(0) = 0
Korzystamy z okresowości szeregu Fouriera.
6