Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
∞
Podać kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego. Zbadać, czy szereg P (−1)n ( n+2 )n2 jest zbieżny.
9n+1
n
n=1
Zad.T2. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu pot¸egowego. Promień zbieżności sz-
∞
eregu P (2x+8)n
√
jest równy R = 4. Narysować przedzia l zbieżności tego szeregu, zbadać zbieżność (i określić 8n
2n+8
n=1
jej rodzaj) szeregu w lewym krańcu przedzia lu zbieżności.
Zad.T3. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Podać w lasności dystrybuanty rozk ladu zmiennej losowej typu ci¸ag lego. Dla jakich wartości parametru A
0
x ∈ (−∞, 0]
F (x) =
1 x2 x
2
∈ (0, A]
1
x ∈ (A, +∞)
jest dystrybuant¸a zmiennej losowej typu ci¸ag lego?
Zad.T4. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad N (1, 4). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 < X < 7). Podać wartość oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej Y = 3X − 4. Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y ?
Zad.T5. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Podać za lożenia i tez¸e twierdzenia Greena.
Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać definicj¸e pochodnej kierunkowej funkcji, a nast¸epnie korzystaj¸ac z tej definicji obliczyć pochodn¸a funkcji
√
f (x, y) = px2 + y2 w punkcie (0, 0) w kierunku wektora ~a = [ 1 , 3 ].
2 − 2
Zad.T2. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Korzystaj¸ac z warunku koniecznego zbieżności odpowiedniego szeregu liczbowego wykazać, że lim (n−1)! = 0.
n
3nn+1
→∞
Zad.T3. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
∞
Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu pot¸egowego. Dana jest funkcja f (x) = P xn . Funkcj¸e f ′(x) 2nn
n=1
przedstawić w postaci szeregu i obliczyć jego sum¸e.
Zad.T4. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Podać trzy w lasności wartości oczekiwanej zmiennej losowej. Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 10 i p = 0.5. Obliczyć EX i D2X. Podać wartość oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej Y = 1 − 2X.
Zad.T5. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad N (15, 2). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (|X − 13| < 5).
Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności. Obliczyć promień zbieżności szeregu
∞
P
(−1)n (x − 3)n.
n3n
n=1
Zad.T2. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać definicj¸e zbieżności bezwzgl¸ednej i warunkowej szeregu liczbowego. Określić rodzaj zbieżności szeregów
∞
∞
P
(−1)n i P (−1)n .
2n+5
2n2+5
n=1
n=1
Zad.T3. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać podstawowe w lasności dystrybuanty zmiennej losowej X.
Zad.T4. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Zmienna losowa X ma wartość oczekiwan¸a EX = 2 i wariancj¸e D2X = 1. Obliczyć EY i σY , jeżeli Y = 3X −2.
Zad.T5. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (1, 2). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a tablic obliczyć P (X ≥ 0.5) oraz P (|X| < 2.4).
Egzamin poprawkowy z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
∞
Podać kryterium Leibnitza. Zbadać zbieżność (oraz określić jej rodzaj) szeregu P (−1)n .
3
√n+1
n=1
Zad.T2. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu pot¸egowego. Napisać rozwini¸ecie funkcji f ′(x) w szereg Maclaurina,
∞
jeżeli f (x) = P 2xn.
n=1
Zad.T3. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Podać definicj¸e potencja lu pola wektorowego.
Zad.T4. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad N (−1, 3). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−3 < X < 0).
Zad.T5. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 4 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 12, p = 1 . Obliczyć wartość oczekiwan¸a i 3
wariancj¸e zmiennej losowej Y = 2X − 1.
Egzamin poprawkowy z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Geodezja i Kartografia, sem. 3, r.ak. 2010/2011
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności. Obliczyć promień zbieżności szeregu
∞
P
(−1)n (x − 3)n.
n3n
n=1
Zad.T2. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać definicj¸e zbieżności bezwzgl¸ednej i warunkowej szeregu liczbowego. Określić rodzaj zbieżności szeregów
∞
∞
P
(−1)n i P (−1)n .
2n+5
2n2+5
n=1
n=1
Zad.T3. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać podstawowe w lasności dystrybuanty zmiennej losowej X.
Zad.T4. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad Poissona z parametrem λ = 3. Za pomoc¸a tablic obliczyć wartość dystrybuanty F (2).
Zad.T5. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
√
Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (0, 2). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a
√
tablic obliczyć P (X ≥ 2).
Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
∞
Napisać definicj¸e zbieżności szeregu liczbowego. Korzystaj¸ac z definicji znaleźć sum¸e szeregu P
1
.
n(n+1)
n=1
Zad.T2. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Sformu lować kryterium ca lkowe zbieżności szeregu. Czy można zastosować kryterium ca lkowe do badania
∞
zbieżności szeregu P (−1)n ?
n2
n=1
Zad.T3. [6p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać twierdzenie o rozwijaniu funkcji f (x) w szereg Taylora. Rozwin¸ać f (x) i f ′(x) w szereg Taylora w otocze-niu punktu x0 = 1, jeżeli f (x) = 1 .
x
Zad.T4. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Zmienna losowa skokowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 300 i p = 0.01. Obliczyć EX i D2X.
Za pomoc¸a tablic obliczyć wartośc prawdopodobieństwa P (X < 2).
Zad.T5. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (3, 1). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 ≤ X ≤ 7).
Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013
Cz¸
eść Teoretyczna
Zad.T1. [5p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
∞
Podać kryterium ca lkowe zbieżności szeregu. Korzystaj¸ac z tego kryterium wykazać zbieżność szeregu P 1 .
n2
n=1
Zad.T2. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 1 ]
Podać twierdzenie Greena. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia obliczyć R (2x + y)dx − (x + 2y)dy,
L
gdzie luk L jest okr¸egiem zorientowanym ujemnie o równaniu (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4.
Zad.T3. [4p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Podać definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa, dla której dla dowolnego t: ℵ(t) = et ma punkty et +1
wyprostowania?
Zad.T4. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 2 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego, gdzie n = 20, p = 0.2. Obliczyć EX, D2X. Podać wzór (nie obliczać) na P (X = 2).
Zad.T5. [3p — rozwi¸
azanie piszemy na stronie 3 ]
Zmienna losowa X ma rozk lad N (2, 2). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 < X < 3).