Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarzą dzaniu. Elementy rachunku róż niczkowego. 1
ZADANIA:
4.1. Oblicz pochodne następujących funkcji.
a) f ( x) = 2
2
x + x +1
o) f ( x) =
2
b)
4
f ( x) = x
x − 3
2
c)
3
f ( x) = 2 x
x + x +1
f ( x) =
3 −
d)
100
50
f ( x) = x
+ 3 x
p)
x
1
2
=
+
e)
3
f ( x)
x−
=
q) f ( x)
x
x
2
=
f)
3
2
1
f ( x)
4 x
3 x
12 x 15 7 x−
=
+
+
+ +
r)
x
f ( x)
e
=
1
1
2
g) f ( x)
2 ln x
2
3
7
=
+
+
s) f ( x)
x
6 x
8 x
h) f ( x) =
x
3
1
4
5
1
=
+
+
−
t)
f ( x)
x
x
50
i)
3
f ( x) = x
f x = x x
1
u)
( )
−
j)
5
f ( x) = 2 x
+ 5
3
=
−
v) f ( x)
x 1
k)
2
2
f ( x) = ( x − 3 x + 3)( x + 2 x + 7) 2
2
=
−
w) f ( x)
2 x
x
l)
2
f ( x) = x ( x − 2) 1
1
1
4
3
2
1
f ( x)
x
x
x
x
x−
=
+
+
+ +
x +1
4
3
2
m) f ( x) =
x)
x −1
2
= −
+
y) f ( x)
( x 2)( x
3)
3
1− x
1
1
1
n) f ( x) =
f ( x) =
+
+
3
1+ x
2
3
z)
x
3 x
x
4.2. Oblicz pochodne (do trzeciego rzędu) następujących funkcji.
5
4
2
=
+
+ + +
1
a)
f ( x)
5 x
12 x
x
x 13
2
f ( x) = x
b)
5
( ) = 60
x
f x
x + e +152
g)
1
f ( x)
x−
=
+ 3
c)
4
f ( x) = 24 x + ln x +1
h)
=
6
=
i)
( )
e
f x
x
d)
f ( x)
x
x −1
=
f ( x) =
e)
( )
x
f x
e
x + 2
=
j)
f)
f ( x)
ln x
4.3. Oblicz drugą pochodną funkcji w punkcie x = 0 .
1
x +1
a)
3
2
f ( x) = − x + 2 x − x b) x
2
f ( x) = e + 2 x c) f ( x) =
3
x −1
4.4. Oblicz nachylenie funkcji w danym punkcie.
a)
3
f ( x) = x w punkcie x = 2
x − 2
f) f ( x) =
x =
b)
x
f ( x) = e w punkcie x = 0
x + w punkcie
1
1
x
= +
x =
c)
2
f ( x) = x − x − 2 w punkcie x = 3
g) f ( x)
e
5 w punkcie
0
2
=
−
d)
2
f ( x) = x − x − 2 w punkcie x = 0
h) f ( x)
3 x
x w punkcie x =1
1
3
2
f ( x) = 2 x + x
e)
2
f ( x) = x − x − 2 w punkcie x =
i)
w punkcie x = 1
2
Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarzą dzaniu. Elementy rachunku róż niczkowego. 2
4.5. Oblicz elastyczność funkcji dla podanego x0: a) y = x + 2 , x = 5 ,
1
0
d) y =
, x = 4 ,
0
b)
2
y = x + 2 , x = 3 ,
x
0
e) y = −2 2
x + 10 , x = 2 .
c)
2
y = x + 3 x + 6 , x = 2 , 0
0
ZASTOSOWANIA W EKONOMII:
4.6. Koszty całkowite przedsiębiorstwa dane są funkcją 3
TC = x − 2 2
x + 6 x + 50 . Zapisz
funkcje:
a) kosztów zmiennych,
b) kosztów stałych,
c) przeciętnych kosztów całkowitych,
d) przeciętnych kosztów stałych,
e) przeciętnych kosztów zmiennych,
f) przeciętnych kosztów krańcowych.
4.7. Oblicz maksymalny przychód przedsiębiorstwa, w którym funkcja przychodów całkowitych to TR = − x 2 + 12 x .
4.8. Przy jakiej wielkości produkcji przychody krańcowe przedsiębiorstwa będą zerowe, jeżeli funkcja popytu produktu X sprzedawanego przez to przedsiębiorstwo to p = 3
− x +12 .
4.9. Przedsiębiorstwo, które działa na rynku konkurencji doskonałej, ma funkcję kosztu całkowitego: TC( X )
2
= X + 3, a cena na rynku wyrobu produkowanego przez przedsiębiorstwo wynosi 10 j.p. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa.
4.10. Przedsiębiorstwo, którego celem jest maksymalizacja zysku, ma funkcję kosztu 3
całkowitego:
ATC( X ) =
7
,
0 X +
oraz
funkcję
przychodu
całkowitego:
X
TR( X ) = − 3
,
0 X 2 + 12 X . Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku tego przedsiębiorstwa.
4.11. Wyznacz punkt równowagi przedsiębiorstwa, w którym koszty całkowite to 1 3
TC =
x − 2 2
x + 5 x + 20 , a przychody całkowite to TR = − 5
,
1 x 2 + 1 x
1 .
3
4.12. Wyznacz punkt równowagi przedsiębiorstwa, w którym koszty całkowite to TC( X )
3
= X −12 2
X + 60 X + 5 , a przychody całkowite to TR( X ) = − 5
,
1 X 2 + 60 X .
4.13. Krzywa popytu dana jest równaniem p = 6
− x + 20 . Oblicz i zinterpretuj elastyczność cenową popytu w punkcie x0 = 3.
4.14. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra x dane są równaniami: p = 2
− x +10
i p = x + 2 . Oblicz cenową elastyczność popytu i podaży w punkcie równowagi rynkowej.
Zastosowanie matematyki w ekonomii i zarzą dzaniu. Elementy rachunku róż niczkowego. 3
4.15. Wyznacz algebraicznie cenę i wielkość równowagi oraz oblicz współczynnik elastyczności cenowej popytu i podaży w punkcie równowagi, wiedząc, że krzywe popytu i podaży dane są równaniami:
2
Q
,
2
Q = P .
D = − P
+ 8
S
1
4.16. Popyt rynkowy na dobro X dany jest równaniem: Q =
, natomiast podaż rynkową
X
PX
tego dobra można opisać funkcją postaci: Q
= P .
X
X
a) Oblicz cenę i wielkość równowagi.
b) Oblicz elastyczność cenową popytu i podaży w punkcie równowagi.
4.17. Proces produkcyjny badanego przedsiębiorstwa opisany został funkcją typu Cobba-0,5
0,5
Douglasa: TP = 4 K
L
, gdzie K – kapitał, L – praca. Stawka płacy w wynosi 40 j.p., a wynagrodzenie kapitału r = 10 j.p. Wyznacz, ile pracy, a ile kapitału, powinno zatrudniać przedsiębiorstwo minimalizujące koszty produkcji, produkujące 120 jednostek produktu.
4.18. Funkcja produkcji pewnego przedsiębiorstwa opisana jest funkcją Cobba-Douglasa: 1
2
3
3
TP = K L , gdzie K – kapitał, L – praca. Wynagrodzenie kapitału r = 4 j.p., a stawka płacy w wynosi 1 j.p. Wiedząc, że przedsiębiorstwo ma podpisane kontrakty na produkcję równą 108 jednostek produktu, wyznacz, ile kapitału oraz ile pracy powinno zatrudniać, aby minimalizować koszty produkcji.
1
2
4.19. Proces produkcyjny przedsiębiorstwa opisany jest funkcją 3
3
Q = TP = 12 K L . Wyznacz
poziom zatrudnienia czynników wytwórczych K i L gwarantujący najniższy koszt wyprodukowania 480 jednostek dobra X . Cena czynnika K to 32 j.p., natomiast czynnika L
jest czterokrotnie niższa j.p.
4.20. Funkcja produkcji ma postać Q = TP = 2 KL . Ile jednostek kapitału i pracy powinno zatrudniać przedsiębiorstwo, którego celem jest minimalizacja kosztów wyprodukowania 72
r =
sztuk wyrobu gotowego? Ceny czynników produkcji to
,
6 w = 24 .
WZORY:
n
n 1
( a ⋅ x ) = a ⋅ n ⋅ x −
′
′
f ( x)
f (
′ x)⋅ g( x) − f ( x)⋅ g (′ x) 1
=
(ln x)′ =
g( x)
[ g( x)]2
x
( x )
x
e ′ = e
[
′
f ( g( x))] = ′
⋅ ′
f ( g( x)) g ( x)
[ f ( x) + g( x)]′ = f (
′ x) + g (′ x)
[ f ( x) ⋅ g( x)]′ = f (
′ x)⋅ g( x) + f ( x)⋅ g (′ x)
TC
VC
FC
TC
VC
FC
′
′
=
+
TC = VC = MC ATC =
AVC =
AFC =
X
X
X
WE = TR − TC