W

ielkie

K

ompendium

U

miejętności

R

ozwalacza

W

ytrzymałości

NAPRĘŻENIA

1)

„Na Kole Mohra życie płynie dwa razy szybciej.”

2)

Koło Mohra dla naprężeń, gdy znamy naprężenia główne:

R=

σ

1

−

σ

2

2

;

OA=

σ

1

+

σ

2

2

;

σ

α

=

OA+R∗cos

(

2 α

)

;

τ

α

=

R∗sin

(

2α

)

;

3)

Koło Mohra dla naprężeń, gdy znamy PSN:

R=

√

(

σ

x

−

σ

y

2

)

2

+

τ

xy

2

;

OA=

σ

x

+

σ

y

2

;

σ

1

=

OA−R ;

σ

2

=

OA + R ;

4)

Τ jest dodatnie na kole Mohra, jeśli na rysunku (w rzucie kostki patrząc od góry) jego kierunek jest

zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
ODKSZTAŁCENIA

1)

Ogólny wzór –

ε=lim

l → 0

∆ l

l

;

μ= lim

|

´

AB

|

→0

|

´

CA

|

→0

(

∢

CAB−∢ C

'

A

'

B

'

)

;

2)

Pole odkształceń:

μ jest dodatnie, jeśli kąt się zmniejsza (dwie konwencje, albo analizujemy prawy dolny róg kostki, albo
dolny lewy – patrz zeszyt)
u - wektor odkształceń na osi x (nie jestem pewien czy to wektor odkształceń)
v - wektor odkształceń na osi y

ε

x

=

∂ u
∂ x

;

ε

y

=

∂ v

∂ y

;

μ=

∂ v
∂ x

+

∂u

∂ y

;

3)

Koło Mohra dla odkształceń ma identycznie te same wzory co KM dla naprężeń, pomijam.

4)

Recepta na sukces w zadaniach gdzie znamy wskazania tensometrów:

1) Rysujemy oś

μ
2

2) Rysujemy oś pomocniczą

ε

¿

;

3) Rysujemy linie wskazań

ε

A

, ε

B

, ε

C

;

4) Wybieramy punkt A na dowolnej linii (

ε

A

, ε

B

lub ε

C

¿

;

5) W punkcie A rysujemy rozetkę tensometrów zgodnie z kierunkiem tensometru tej osi, którą

wybraliśmy;

6) Wyznaczamy punkty B i C na przecięciu wskazań tensometrów z pozostałymi kierunkami ε;
7) Punkty A, B i C są rzeczywistymi punktami Koła Mohra;

8) AC i AB to cięciwy KM (rysujemy ich symetralne);
9) Symetralne wyznaczają środek KM;

10) Rysujemy oś ε;

PRAWO HOOKE’A

1)

Dla kierunków głównych;

ε

1

=

1

E

(

σ

1

−

ν

(

σ

2

+

σ

3

)

)

;

ε

2

=

1

E

(

σ

2

−

ν

(

σ

1

+

σ

3

)

)

;

ε

3

=

1

E

(

σ

3

−

ν

(

σ

1

+

σ

2

)

)

;

2)

Dla kierunków niegłównych analogicznie (1=x, 2=y, 3=z), plus poniższe wzory:

μ

xy

=

τ

xy

G

;

μ

yz

=

τ

yz

G

;

μ

zx

=

τ

zx

G

;

G=

E

2(1+ν )

;

Całkowite odkształcenie:

e=

∆ V

V

=

ε

x

+

ε

y

+

ε

z

;

HIPOTEZY BEZPIECZENSTWA
Zwracam uwagę na zadanie z trójkątami podobnymi (patrz kolokwium 1/chomik Marcina B.)!
„Uplastycznienie nastąpi, gdy gęstość energii odkształcenia postaciowego na jednostkę objętości jest
równa lub przekroczy gęstość energii, dla której ten sam stan materiału uplastycznia się w prostej
próbie rozciągania.”

1)

Hipoteza Treski (τ max):

σ

¿

T

=

2∗τ

max

;

2)

Hipoteza Hubera:

σ

¿

H

=

√

1
2

[

(

σ

x

−

σ

y

)

2

+(

σ

y

−

σ

z

)

2

+(

σ

z

−

σ

x

)

2

]

+

3 (τ

xy

2

+

τ

yz

2

+

τ

zx

2

)

;

3)

Wzór hip. Hubera jest prawdziwy również dla kier. głównych (x=1, y=2, z=3, τy równe zero)

4

¿

P

¿

dop

=

P

kr

n

kr

; Kr ≤

ℜ
n

e

; Kr ≤

Rm

n

m

,

gdzie ne, nm, nkr – współczynniki bezpieczeństwa.

PRĘTY ŚCISKANE I ROZCIĄGANE

1)

Dzielimy na podprzedziały mając na uwadze zasadę de Saint-Venanta!

2

¿

N

(

x

)

wyliczamy z równ . równowagi.

3

¿

σ

(

x

)

=

N (x)

A (x )

;

ε

(

x

)

=

N (x)

A

(

x

)

∗

E

=

σ

(

x

)

E

;

u

(

x

)

=

∫

0

x

ε

(

x

)

dx ;

4)

Gdy pręt się obraca:

Elementarna siła bezwładności:

dB=ω

2

¿

r

¿

∗

A∗ρ∗d r

¿

; B=

∫

r

Rz

dB ;

Z warunku

Kr ≥ σ

max

, możemy wyliczyć maksymalną prędkość obrotową.

PRĘTY SKRĘCANE (WAŁY)

1)

Hipoteza płaskich przekrojów:

1) Przekroje skręcają się równomiernie wzdłuż długości pręta
2) Przekroje poprzeczne pozostają płaskie

3) Wszystkie punkty przekroju na danym promieniu pozostają współliniowe

2)

Ms(x) wyliczamy z równ. równowagi.

3

¿

τ=

Ms(x)

I

o

∗

r ;

θ=

Ms(x)

G∗I

o

;

I

o

=

π

32

(

D

z

4

−

D

w

4

)

;

φ

(

x

)

=

∫

x

0

x

θdx

;

4)

Wzory Bredta:

θ=

Ms

(

x

)

4 F

2

G

∮

ds

δ

;

τ =

Ms

(

x

)

2 Fδ

, gdzie F - pole przekroju,

∮

ds

obwód danej części

przekroju (jeśli grubość zmienia się w przekroju).

5)

Siła w nicie:

F

n

=

τ

n

∗

δ

n

¿

t

n

, gdzie tn - rozstaw nitów.

CHARAKTERYSTYKI FIGUR PŁASKICH:
Yc, zc – osie centralne, Sc- środek ciężkości, Sy, Sz – momenty statyczne, Iy, Iz –momenty
bezwładności, Iyz moment dewiacji/dewiacyjny;

1)

Sy =

∫

A

zdA ;Sz=

∫

A

ydA ;Sy=z

o

∗

A ;Sz= y

o

∗

A ;

2

¿

I

¿

y

=

∫

A

z

2

dA ; I

z

=

∫

A

y

2

dA ;I

yz

=

∫

A

yz dA ;

By obliczyć momenty bezwładności i dewiacji względem osi obróconych o dany kąt względem danych
osi, wystarczy skorzystać z Koła Mohra (Iy i Iz jako jednostki osi poziomej, Iyz jako jednostka osi
pionowej).

3)

Wzory Steinera:

I

y

=

I

y

c

+

Az

o

2

;

I

z

=

I

z

c

+

Ay

o

2

;

I

yz

=

I

y

c

z

c

+

A z

o

y

o

;

4)

Dla przekroju prostokątnego:

I

y

=

b h

3

12

, gdzie b−wymiar równolegly do osi zginania y , h− prostopadly do osi y .

5)

Dla przekroju okrągłego:

I

y

=

π

64

(

D

z

4

−

D

w

4

)

;

ZGINANIE BELKI

1)

 Brak zmiany długości belki na osi.

 Przekroje płaskie, prostopadłe do osi belki przed zginaniem muszą pozostać płaskie i

prostopadłe do zakrzywionej osi.

 Naprężenia prostopadłe do włókien można zaniedbać.

 Nie ma naprężeń stycznych pomiędzy włóknami.

2)

Przy myślowym przecięciu – wektor Mg zawsze ma strzałkę skierowaną „do góry”, wektor T ma

strzałkę „do góry”, jeśli pręt jest po prawej stronie myślowego przecięcia, strzałkę „do dołu”, jeśli pręt
jest po lewej stronie przecięcia.

3)

Mg(x) i T(x) wyznaczamy z równań równowagi, belkę również dzielimy na przedziały zgodnie z

zasadą de Saint-Venanta.

4)

Ważna zależność:

T (x )=

dMg (x)

dx

;

5

¿

σ

¿

x

=

−

Mg

(

x

)

I

y

∗

z , gdzie z−odległośc od osiosi belki .

6

¿

τ=

T

(

x

)

∗

Sy (z )

I

y

∗

b(z)

, gdzie b−grubośc przekroju w danej odleglości z od osi belki .

7

¿

τ

¿

śr

=

T (x)

A

przekroju

;

8

¿

W

¿

' '

(

x

)

≅

1

ρ

=

Mg

(

x

)

E∗I

y

;

Trzeba scałkować dwa razy i wyznaczyć stałe całkowania – z warunków położenia belki i warunków
ciągłości belki w punktach (W’(x) =0, W(x)=0).
STANY ZŁOŻONE NAPRĘŻEŃ to superpozycja działania kilku sił, bądź wynik rozkładu siły na osie układu
współrzędnych. Siła działająca prostopadle do osi belki w oddaleniu od rozpatrywanej belki/na
ramieniu powoduje zarówno moment skręcający Ms(x), jak i moment zginający Mg(x) oraz siłę T(x).
Przy superponowaniu momentów gnących od kilku sił trzeba pamiętać o tym, że nie zawsze siły te
zginają belkę w tej samej płaszczyźnie. Jeśli belka jest zginana w dwóch płaszczyznach, należy
wyznaczyć dwie linie ugięcia, dla każdej z płaszczyzn po jednej.
ŚCISKANIE MIMOŚRODOWE PRĘTÓW KRĘPYCH
Wycięcie kawałka przekroju powoduje powstanie momentu gnącego działającego na pręt. Zadania
zazwyczaj polegają na wyznaczeniu minimalnej głębokości wycięcia, tak by pręt nie podlegał
naprężeniom dodatnim. Należy wyznaczyć sigmę od siły N(x) oraz sigmę od momentu Mg(x) i
przyrównać je w położeniu podejrzanym o możliwość posiadania dodatnich sigm. Więcej patrz zeszyt.

UTRATA STATECZNOŚCI PRĘTÓW SMUKŁYCH

1

¿

P

¿

kryt

=

π

2

E I

y

l

s

2

;

i

y

=

√

I

y

A

;

λ=

l

s

i

y

;

σ

kr

=

π

2

E

λ

2

;

λ

gr

=

π

√

E

σ

¿

;

W zadaniach należy sprawdzić czy lambdy są większe od lambdy granicznej, inaczej wzory są
nieprawdziwe. Wyboczenie następuje w płaszczyźnie, w której jest większa lambda (i tym samym
mniejsze naprężenie potrzebne by osiągnąć stan krytyczny).

P

kr

=

σ

kr

∗

A ; P

dop

=

P

kr

n

kr

;

2)

Ls jest zależne od sposobu zamocowania/ograniczeń pręta. Przykładowe wartości ls – patrz zeszyt.

PS.
Wartości krytyczne naprężeń Kr porównujemy albo z tau max, gdy belka jest skręcana, albo z sigmami
maksymalnymi gdy belka jest rozciągana/wyginana.
Wykresy są turboważne.
Robienie zadań przed egzaminem też, więc do pracy.