- 1 -

REGRESJA NIELINIOWA

w programie STATGRAPHICS Centurion

Przekład

Robert Wiśniewski

PODSUMOWANIE

Procedura regresji nieliniowej dopasowuje model zdefiniowany przez użytkownika wiążący jedną
zmienną zależną Y z jedną lub z kilkoma zmiennymi niezależnymi X. Model ten estymowany jest przy
korzystaniu z nieliniowej metody najmniejszych kwadratów. Dopasowany model można wykreślać,
generować na jego podstawie wartości przewidywane oraz identyfikować reszty odbiegające.

Przykładowy plik folii statystycznej StatFolio:

nonlinear reg.sgp

Przykładowy plik danych Data:

nonlin.sf3

Powyższy plik

nonlin.sf3

zawiera dane dotyczące zawartości chloru w próbkach produktu w funkcji

liczby tygodni upływających od daty ich produkcji.

Dane  te  zaczerpnięte  z  książki  Draper  and  Smith  (1998)  zawierają,  n  =  44  próbek,  których  część
zastawiono w poniższej tablicy.

Zadaniem naszym jest dopasowanie poniższego modelu do tych danych:















weeks

chlorine

......................................... (1)

Model  ten  zasugerowany  przez  eksperta  w  danej  dziedzinie  zawiera  dwie  niewiadome:  a  –  linia
asymptoty  do  której  zmierza  zmienna  chlorine  gdy  zmienna  weeks  zmierza  do  dużych  wartości
oraz b – wykładnik szybkości opóźnienia

- 2 -

WPROWADZANIE DANYCH

Wybieramy polecenie menu Relate | Multiple Factors | Nonlinear Regression. Otwiera się pierwsze
okienko dialogowe oczekujące wprowadzenia wymaganych danych:

 Dependend Vaiable - Zmienna zależna. Kolumna numeryczna arkusza danych zawierająca

n-wartości zmiennej Y.W

W naszym przykładzie wprowadzamy tu zmienną chlorine.

 Function – Funkcja. Wyrażenie STATGRAPHICS reprezentujące dopasowywany model

regresji. Musi on  zawierać  jedną  lub kilka nazw kolumn reprezentujących  zmienne niezależne
i może  zawierać  takie  funkcje  jak  SQRT  lub  EXP.  W  naszym  przykładzie  wprowadzamy  tu
wyrażenie w poniższej postaci:

                                               a+(0.49-a)*exp(-b*(weeks-8))

Wszelkie  nierozpoznane  nazwy  będą  traktowane  jako  parametry  modelu  wymagające
estymacji.

 (Weight) – Waga. Opcjonalna nazwa kolumny numerycznej zawierającej wagi stosowane do

kwadratów reszt gdy korzystamy z analizy regresji za pomocą ważonej metody najmniejszych
kwadratów.

 (Select) – Selekcja – Opcjonalna fraza stosowana do wyboru podzestawu danych do analizy.

Po kliknięciu przycisku OK otwiera sie drugie okienko dialogowe oczekujące wprowadzenia wartości
początkowych każdego nieznanego parametru modelu.

- 3 -

Wprowadzamy tu wartości początkowe (pierwsze przybliżenia) każdego estymowanego parametru.

Program  zacznie  obliczenia  od  tych  wartości  i  będzie  numerycznie  szukał  uch  estymacji,  które
minimalizują resztową sumę kwadratów.

W  zależności  od  złożoności  modelu,  zła  estymacja  może  ale  nie  musi  prowadzić  do  optymalnego
rozwiązania.  We  wszystkich  stosunkowo  prostych  przypadkach,  inteligentny  wybór  wartości
początkowych może znacznie zwiększyć szanse uzyskania dobrego rozwiązania.

Typowo, ważne jest aby pierwsze przybliżenia miały co najmniej poprawny znak (dodatni lub ujemny),
ponieważ w przeciwnym razie procedura szukania może się zacząć w złym kierunku.

PODSUMOWANIE ANALIZY

Po kliknięciu przycisku OK, otwiera się okno z tablicą analizy wyników.

Nonlinear Regression - chlorine

Dependent variable: chlorine (percent available)

Independent variables:
   weeks (weeks since production)

Function to be estimated:  a+(0.49-a)*exp(-b*(weeks-8))
Initial parameter estimates:
a = 0,1
   b = 0,1

Estimation method: Marquardt
Estimation stopped due to convergence of residual sum of squares.
Number of iterations: 4
Number of function calls: 14

Estimation Results

Asymptotic

95,0%

Asymptotic

Confidence

Interval

Parameter Estimate

Standard Error Lower

Upper

0,390144 0,00501534

0,380022

0,400265

0,101644 0,0133628

0,0746763

0,128611

Analysis of Variance

Source

Sum of Squares Df

Mean Square

Model

7,982

3,991

Residual

0,00500168

0,000119088

Total

7,987

Total (Corr.)

0,0395

R-Squared =

87,3375

percent

R-Squared (adjusted for d.f.) =

87,036

percent

Standard Error of Est. =

0,0109127

Mean absolute error =

0,00769665

Durbin-Watson statistic = 1,98378
Lag 1 residual autocorrelation = 0,00702451

Residual Analysis

Estimation

Validation

MSE

0,000119088

MAE

0,00769665

MAPE

1,82283

-0,000097621

MPE

-0,0826224

- 4 -

Wyniki warte w tej tablicy zawierają:

 Dane sumaryczne – Informacje o wprowadzanych danych,

 Estymowana funkcja – Przyjęty model i wartości początkowe parametrów.

 Estymowane statystyki – Stosowana metoda estymacji i liczba wykonanych iteracji oraz

liczba wywoływania funkcji.

 Estymowane parametry – Obliczone parametry modelu wraz z ich przedziałami ufności.

Przedziały ufności nie zawierające wartości 0 świadczą, że parametr modelu jest statystycznie
istotny na przyjętym poziomie istotności.

 Analiza wariancji – Dekompozycja (rozkład) zmienności zmiennej zależnej Y na sumę

kwadratów modelu i sumę kwadratów reszt (błędów).

 Statystyki – Opisowe statystyki dopasowanego modelu, w tym:

 R-Squared – Współczynnik determinacji R

(kwadrat współczynnika korelacji), który

reprezentuje procent zmienności zmiennej zależnej Y wyjaśniony dopasowanym modelem
regresji, mieszczący się w przedziale od 0 do 100 %. Dla danych naszego przykładu
(zmienność stężenia chloru), wartość tego współczynnika wynosi 87,3.

 Adjusted R-Squared – Dopasowany współczynnik determinacji R

uwzględniający liczbę

współczynników (parametrów) modelu. Wartość ta często jest stosowana do porównywania
modeli o różnej liczbie współczynników.

 Standard Error of Est. – Estymowane odchylenie standardowe reszt (odchylenia w całym

modelu). Wartość ta jest stosowana do obliczania granic przewidywania dla nowych
obserwacji.

 Mean Absolute Error – Średnia wartość bezwzględna reszt.

 Durbin-Watson Statistic – Miara seryjnej korelacji reszt. Gdy reszty zmieniają się lisowo,

wartość  ta  powinna  być  bliska  2.  Małe  wartości  P-Value  wskazują  na  nielosowy  rozkład
reszt.

Dla danych rejestrowanych w czasie, małe  wartości P-Value mogą  wskazywać,  że niektóre
trendy w czasie nie mogą być uwzględniane.

 Lag 1 Residual Autocorrelation – Estymowana korelacja między kolejnymi resztami

w skali od -1 do +1. Wartości odległe od 0 wskazują, na strukturę niedostatecznie
objaśnioną przez ten model.

 Residual Analysis – Analiza reszt. Gdy podgrupa wierszy arkusza danych była wykluczona

z analizy przy korzystaniu z pola Select w okienku dialogowym wprowadzania danych,
wówczas dopasowany model jest stosowany do przewidywania wartości Y tych wierszy.
Tabela ta pokazuje statystyki błędów przewidywania definiowanych następująco:





.................................................................... (2)

i zawiera średni błąd kwadratowy MSE, średni błąd bezwzględny MAE, średni bezwzględny
błąd procentowy MAPE błąd średniej ME i błąd procentowy średniej MPE.

Te prawomocne statystyki mogą być porównywalne ze statystykami dopasowania modelu
w celu sprawdzania jak dobrze model przewiduje obserwacje leżące poza stosowanymi
danymi do jego dopasowania.

- 5 -

Dla przykładowych danych, dopasowany model ma poniższą postać:

chlorine = 0.390144 + (0.49-0.390144)exp(-0.101644(weeks-8)) ……………….. (3)

Model ten zaczyna się od zawartości chloru chlorine = 0,49 po 8 tygodniach weeks = 8 i spada
wykładniczo do asymptoty równej w przybliżeniu 0,39 w miarę wzrostu zmiennej weeks.

WYKRES DOPASOWANEGO MODELU

Wykres ten wyświetlany jest w lewym panelu okna wyników i pokazuje dopasowany model regresji
w funkcji jednej zmiennej niezależnej, przy innych (ewentualnych) zmiennych ustawionych na wartości
wyspecyfikowane w okienku dialogowym opcji panelu Pane Options.

Opcje panelu

Można tu wybrać jedna zmienną do wykreślania na osi poziomej wraz z jej zakresem. Dla innych
zmiennych można wprowadzać wartości zastępujące je w dopasowywanym modelu.

- 6 -

WYKRESY POWIERZCHNIOWE ODPOWIEDZI

Gdy w modelu występuje więcej niż jedna zmienna niezależna, można tworzyć wykresy
powierzchniowe Surface oraz konturowe Contour.

Przykładowo, Draper and Smith (1998) przytaczają raport z eksperymentu, w którym model opisywał
udział materiału Y pozostałego po reakcji chemicznej:





















































620



exp

............................................... (4)

gdzie X

jest czasem reakcji w minutach, a X

jest temperaturą reakcji w stopniach Kelvina. Dane te są

zapisane w przykładowym pliku nlreact.sf6 a ich analiza w pliku nlreact.sgp.

Poniżej pokazano wykres powierzchniowy dopasowanego modelu.

Na tym wykresie powierzchniowym, wysokość powierzchni reprezentuje przewidywane wartości Y.
Druga pozycja Response Surface Plots w okienku dialogowym otwieranym po kliknięciu przycisku
grafiki Graphics w pasku narzędzi analizy tworzy wykres konturowy:

- 7 -

Na wykresie konturowym w powyższym formacie, każda linia reprezentuje kombinację zmiennych
niezależnych X

i X

, które tworzą tą samą przewidywaną wartość Y.

W okienku dialogowym opcji panelu Pane Options znajdują się inne dostępne formaty.

Opcje panelu

 Type – Typ wykresu. Można tu wybrać wykres powierzchni 3D Surface. w którym wysokość

powierzchni  reprezentuje  wartość  Y  w  funkcji  dwóch  dowolnych  zmiennych  niezależnych,
wykres  konturowy  2D  Contour,  w  którym  barwne  linie  lub  obszary  reprezentują  wartość  Y
w funkcji  dwóch  dowolnych  zmiennych  niezależnych,  wykres  kwadratowy  2D  Square,
w którego rogach wyświetlane są przewidywane wartości Y przy różnych kombinacjach dwoch
zmiennych  niezależnych,  lub  wykres  sześcienny  3D  Cube  w  którego  wierzchołkach
wyświetlane  są  przewidywane  wartości  Y  przy  różnych  kombinacjach  trzech  zmiennych
niezależnych.

 Contours – Kontury. Granice i ostępy linii konturów i obszarów. Kontury mogą być rysowane

jako linie ciągłe Lines  reprezentujące jedną wartość Y,  malowane obszary Painted Regions
reprezentują  przedziały,  albo  można  korzystać  z  zakresów  kolorów  ciągłych  Continuous.

 Resolution – Rozdzielczość. Liczba działek wzdłuż każdej osi przy których wykreślane są

wartości Y. Zwiększenie rozdzielczości może poprawić jakość wykresu, ale może przedłużyć to
czas jego rysowania.

 Surface – Powierzchnia. Dla wykresu powierzchni, jest to liczba działek wzdłuż każdej osi

między liniami stosowanym do rysowania powierzchni. Powierzchnie mogą być rysowane jako
drutowe Wire Frame (przezroczysta siatka), jako jednolita powierzchnia barwna Solid lub jako
kolorowe kontury Contoured (barwy zgodne z wartościami Y). Pole Contours Below wstawia
wykres konturowy na dole sześcianu. Pole Show Points nanosi punkty obserwacji na
powierzchnię.

 Factors. Czynniki. Przycisk ten służy do wybierania wykreślanych zmiennych. Otwiera się

wtedy okienko dialogowe podobne do opcji panelu dopasowanego wykresu Plot of Fitted
Model Options.

- 9 -



Method  –  Metoda  stosowana  do  estymacji  parametrów  modelu.  Metoda  Gauss-Newton
korzysta  z  techniki linearyzacji, która dopasowuje sekwencję liniowych modeli regresji  w ceu
znalezienia  minimum  resztowej  sumy  kwadratów.  Metoda  Steepest-Descent  (metoda
najmniejszego  spadku)  korzysta  gradientu  resztowej  sumy  kwadratów.  Natomiast  domyślna
metoda  Marquardt  jest  szybkim  i przydatnym  sposobem  stanowiącym  kompromis  dwóch
poprzednich metod.



Stopping Criteriion 1 – Algorytm stosowany jako kryterium zbieżności gdy względna zmiana
resztowej sumy kwadratów jednej iteracji i następnej jest mniejsza od podanego kryterium.



Stopping Criteriion 2 – Algorytm stosowany jako kryterium zbieżności gdy względna zmiana
wszystkich estymowanych parametrów jednej iteracji i następnej jest mniejsza od podanego
kryterium.



Maximum Iterations – Estymacja zatrzymuje się gdy zbieżność nie została osiągnięta po
podanej liczbie iteracji.



Maximum Function Calls – Estymacja zatrzymuje się gdy zbieżność nie została osiągnięta
gdy funkcja liczba wywoływania funkcji przekracza podaną liczbą razy.



Marquardt Parameters – Wartoścu parametru Marquardta sterującego stopniem w jakim
dwie metody regresji rozciągają się w względem siebie. Szczegóły dotyczące algorytmu
Marquardta – patrz Box, Jenkins and Reinsel (1994).



Confidence Level – Poziom ufności (istotności). Wartość procentowa stosowana do
obliczania asymptotycznych przedziałów ufności dla współczynników modelu.

RAPORTY

Po  kliknięciu  przycisku  tablic  Tables  w  pasku  narzędzi  analizy  i  wybraniu  opcji  Reports,  w  panelu
wyników ukazuje się tablica zawierająca przewidywania na podstawie dopasowanego modelu regresji.
Domyślnie, tablica ta zawiera każdy wiersz arkusza danych mający pełną informację o zmiennych  X,
ale  nie  ma  wartości  dla  zmiennych  Y.  Dzięki  temu można  dodawać  wiersze  na  dole  arkusza  danych
odpowiadające  poziomom,  przy  których  chcemy  uzyskać  przewidywania  bez  zmiany  dopasowanego
modelu.

Przykładowo  załóżmy,  że    chcemy  uzyskać  przewidywaną  wartość  zmiennej  chlorine  dla  wartości
zmiennej  weeks  =  50  (ekstrapolacja  za  pomocą modelu). W  tym  celu  w  wierszu  45  arkusza  danych
wprowadzany  w  pierwszej  kolumnie  weeks  wartość  50,  ale  pole  tego  wiersza  w  drugiej  kolumnie
chlorine pozostawiamy puste.

Po wybraniu opcji Reports (patrz wyżej) , w oknie wyników uzyskujemy poniższą tablicę:

Tablica ta zawiera poniższe pozycje:



Row – Numer wiersza w arkuszu danych zawierającego wartość zmiennej niezależnej.



Fitted – Przewidywana wartość zmiennej zależnej na postawie dopasowanego modelu.



Stand, Error – Estymowany błąd standardowy nowej obserwacji.

- 10 -



Lower / Upper 95 % CL for Ferecast – Granice ufności (dolna i górna) wartości prognozy Y.



Lower / Upper 95 % CL for Mean – Granice ufności (dolna i górna) wartości średniej Y.

Dla wiersza #45, przewidywana wartość zawartości chloru chlorine wynosi około 0,392. Nowa próbka
przy  zmiennej  weeks  =  50  powinna  być  oczekiwana  w  przedziale  od  0,368  do  0,4i6  na  poziomie
istotności  95  %  (pod  warunkiem,  że  wykonana  jest  ekstrapolacja).  Średni  poziom  zmiennej  chlorine
po czasie weeks równym 50 tygodni jest estymowany w przedziale od 0,383 do 0,400.

Korzystając  z  okienka  dialogowego  opcji  panelu  Pane  Options,    można  dołączyć  do  tej  tablicy
dodatkowe  informacje  o  przewidywanych  wartościach  i  resztach  stosowanych  do  dopasowania
modelu.

Opcje panelu

Można tu dołączać:



Observed Y – Obserwowane wartości zmiennej zależnej



Fitted Y – Przewidywane wartości zmiennej zależnej



Residuals – Zwykłe reszty (wartości obserwowane minus przewidywane)



Studentized Residuals – Usuwane reszty studentyzowane opisane w dokumentacji



Standard Errors for Forecast – Błędy standardowe nowych obserwacji



Confidence Limits for Indywidual Forecast – Błędy standardowe prognozy wartiości Y



Confidence Limits for Forecast Means – Błędy standardowe prognozy średnich Y.

MACIERZ KORELACJI

Po kliknięciu przycisku tablic Tables w pasku narzędzi analizy i wybraniu opcji Correlation Matrix,
w panelu wyników ukazuje się tablica zawierająca estymacje korelacji między estymowanymi
współczynnikami modelu regresji.

Tablica ta może być pomocna przy sprawdzaniu w jakim stopniu wplywy różnych zmiennych
niezależnych mogą być oddzielone jedne od drugich.

- 11 -

WARTOŚCI OBSERWOWANE W FUNKCJI PRZEWIDYWANYCH

Po  kliknięciu  przycisku  grafiki  Graphs  w  pasku  narzędzi  analizy  i  wybraniu  opcji  Observed  versus
Predicted,  w panelu  wyników  ukazuje  się  wykres  pokazujący  wartości  obserwowane  Y  na  osi
pionowej w funkcji wartości przewidywanych na osi poziomej.



Gdy model regresji jest dobrze dopasowany, wówczas punkty tego wykresu są losowo rozmieszczone
wzdłuż linii przekątnej.

Czasem  można  zauważyć  pewną  krzywiznę  punktów  na  tym  wykresie,  co  wskazuje  na  potrzebę
zastosowania modelu krzywoliniowego zamiast liniowego.

Wszelkie  zmiany  rozrzutu  od  dolnych  do  górnych  wartości  Y  wskazują  na  celowość  transformacji
zmiennej zależnej przed dopasowaniem modelu do danych.

WYKRESY RESZT

Tak  jak  we  wszystkich  modelach  statystycznych,  warto  sprawdzać  reszty  Residuals.  W  analizie
regresji, reszty są definiowane następująco:





.................................................................... (5)

tzn.  reszta  jest  różnicą  między  wartością  obserwowaną  danej  a  wartością  wynikającą  z  modelu.
Procedura  regresji  nieliniowej  Nonlinear  Regression  tworzy  różne  typy  wykresów  reszt  Residual
Plots  w zależności  od  wybranych  opcji  w  okienku  dialogowym  opcji  wykresu  reszt  Residual  Plot
Options otwieranym po kliknięciu przycisku Pane Options w pasku narzędzi wyników

Scatterplots  -  Wykresy rozrzutu

Opcja  ta  znajdująca  się  w  sekcji  Type  udostępnia  sekcję  Plot  Versus,  w  której  można  wybrać
wielkość wyświetlaną na osi poziomej.



Predicted Values – W funkcji przewidywanych wartości, tutaj chlorine (opcja domyślna)



Row Number – W funkcji numerów wierszy



Independent Variable – W funkcji zmiennej niezależnej X (tutaj weeks).

- 12 -

Normal Probability Plot – Wykres prawdopodobieństwa normalnego

Wykres ten wybierany w sekcji Type można stosować do sprawdzania czy odchylenia wokół linii
spełniają rozkład normalny, co jest założeniem stosowanym do obliczania przedziałów przewidywania.

Gdy odchylenia spełniają rozkład normalny, układają się w przybliżeniu wzdłuż linii prostej.

Na powyższym  wykresie  dane  odchylają  się  znacznie  od  linii  prostej,  co  wskazuje  że  odchylenia  są
większe w ogonach rozkładu niż powinno to mieć miejsce w rozkładzie normalnym.

Autocorrelations Functions –   Funkcje autokorelacji reszt

Wykres ten wybierany w sekcji Type oblicza korelacje między resztami w funkcji liczby wierszy między
nimi w arkuszu danych.

- 13 -

Wykres ten jest odpowiedni  tylko wtedy, gdy dane były gromadzone sekwencyjnie.

Każdy  słupek  wykraczający  poza  linie  granic  prawdopodobieństwa  może  wskazywać  na    istotną
zależność  między  resztami  oddzielanymi  wskaźnikiem  lag  (na  osi  poziomej)  co  narusza  założenie
o niezależności przyjęte przy dopasowywaniu modelu regresji.

Opcje panelu



Plot – Rodzaj wykresu reszt

 Residuals – Reszty analizy regresji wykonywanej metodą najmniejszych kwadratów

 Studentized Residuals – Reszty studentyzowane. Są to różnice między wartościami

obserwowanymi y

, a przewidywanymi

gdy model jest dopasowywany przy korzystaniu

ze wszystkich obserwacji oprócz i-tej, dzielonej przez estymowany błąd standardowy.

Reszty  te  noszą  czasem  nazwę  reszt  usuwanych  zewnętrznie  Externally  Deleted,
ponieważ  są  one  miarą  odchyleń  wartości  od  modelu  regresji  gdy  jest  on  dopasowywany
oprócz tych punktów. Jest to ważne, ponieważ  duże  wartości odbiegające mogą wpływać
na model i tym samym nie odbiegają zbytnio od linii regresji.

- 14 -



Type – Typ tworzonego wykresu. Wykres rozrzutu Scatterplot stosuje się do testowania
krzywizny. Wykres prawdopodobieństwa Normal Probability Plot stosuje się do sprawdzania
czy dane pochodzą z rozkładu normalnego, a wykres funkcji autokorelacji Autocorrelations
Functions stosuje się do testowania zależności między kolejnymi resztami.



Plot Versus – Dla wykresu rozrzutu Scatterplot, wielkość wykreślana na osi poziomej



Number of Lags – Dla funkcji autokorelacji Autocorrelations Functions, maksymalna liczba
odstępów między wierszami Lags. Dla małych zestawów danych, liczba ta może być
mniejsza od podanej wartości



Confidence Level – Dla funkcji autokorelacji Autocorrelations Functions, poziom istotności
stosowany do tworzenia granic prawdopodobieństwa.

NIETYPOWE RESZTY

Po  dopasowaniu  modelu,  celowe  jest  badanie  reszt  w  celu  sprawdzenia  czy  istnieją  wartości
odbiegające  Outlier,  które  można  usuwać  z  danych.  Opcja  Unusual  Residuals  dostępna  po
kliknięciu  przycisku  tablic  Tables  w  pasku  narzędzi  analizy,  wyświetla  w  oknie  wyników  tablicę
nietypowych reszt zawierającą wszystkie obserwacje dla których studentyzowane reszty są równe lub
większe od wartości bezwzględnej 2.

Studentyzowane  reszty  większe  co  do  wartości  bezwzględnej  od  3  odpowiadają  punktom  odległym
więcej niż  o 3 odchylenia standardowe od dopasowanego modelu, co jest rzadkim przypadkiem przy
rozkładzie normalnym. W naszym przykładzie, wiersz # 17 jest dalszy niż 3,5 odchylenia standardowe
od dopasowanego modelu;

UWAGA:  Punkty  można  usuwać  z  analizy  regresji  po  wybraniu  wykresu  dopasowanego  modelu
Plot of Fitted Model i kliknięciu na punkcie i wybraniu przycisku Exclude/Include w pasku narzędzi
analizy. Wykluczone punkty będą zaznaczone znakiem



PUNKTY ODLEGLE

Przy  dopasowywaniu  modelu  regresji,  nie  wszystkie  obserwacje  mają  jednakowy  wpływ  na
estymowane  parametry.  W  przypadku  prostej  analizy  regresji  liniowej,  punkty  znajdujące  się  przy
bardzo niskich lub bardzo wysokich  wartości X, mają większy wpływ niż punkty leżące blisko średniej
wartości X. Opcja Influential Points dostępna po kliknięciu przycisku tablic Tables w pasku narzędzi
analizy,  wyświetla  w  oknie  wyników  tablicę  zawierającą  obserwacje    odległe,  mające  jednak  silny
wpływ na dopasowany model.

- 15 -

Punkty są wstawiane na tą listę wg poniższego schematu:



Leverage – Punkty wpływowe. Mierzą jak bardzo odlegle są obserwacje od średniej ze
wszystkich n-obserwacji w przestrzeni zmiennych niezależnych. Im wyższa wartość punktu
wpływowego, tym większy jest jego wpływ na dopasowana wartość

Punkty są wstawiane na tej liście, jeśli ich wartość statystyki Leverage jest większa od
3-krotnej odległości od średniej z punktów danych.



Mahalanobis Distance – Odległość Mahalanobisa. Mierzy odległość punktu od środka
zestawu punktów w przestrzeni wielu zmiennych niezależnych. Z uwagi na to, że odległość ta
jest związana ze statystyką Leverage, nie jest ona stosowana do zaznaczania punktów
w tablicy.



DFITS – Mierzy różnicę między wartością przewidywaną

gdy model jest dopasowany wraz

lub bez i-tej danej. Punkty są wstawiane na liście gdy wartość bezwzględna DFITS
przekracza wartość 2p/n, gdzie p jest liczbą współczynników modelu regresji.

ZAPISYWANIE WYNIKÓW

Poniższe wyniki można zapisywać w arkuszu danych:

1. Predicted Values – Przewidywane wartości Y odpowiadające każdej z n-obserwacji

2. Standard Errors of Predictions – Błędy standardowe n-przewidywanych obserwacji

3. Lower Limits for Predictions – Dolne granice przewidywania każdej wartości Y

4. Upper Limits for Predictions – Górne granice przewidywania każdej wartości Y

5. Standard Errors of Means – Błędy standardowe wartości średniej Y dla wszystkich X

6. Lower Limits for Forecast Means – Dolne granice średniej wartości Y dla wszystkich X

7. Upper Limits for Forecast Means – Górne granice średniej wartości Y dla wszystkich X

8. Residuals – n-wszystkich reszt

9. Studentized Residuals –– n-wszystkich studentyzowanych reszt

10. Leverages – Punkty wpływowe odpowiadające n-wartościom X

11. DFITS – Statystyki odpowiadające n-wartościom X

12. Mahalanobis Distances – Odleglości Mahalanobisa odpowiadające n-wartościom X

13. Coefficients – Estymowane współczynniki (parametry) modelu regresji

14. Function – Łańcuch tekstowy wyrażenia STATGRAPHICS funkcji (modelu) regresji.

OBLICZENIA

Estymowane parametry są obliczane numerycznie przez minimalizacją sumy kwadratów. Macierz
wariancji / kowariancji tych współczynników jest estymowana na podstawie pochodnych cząstkowych
sąsiednich przybliżeń rozwiązania metodą najmniejszych kwadratów.