Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe
<
6. Szeregi liczbowe
Ć
WICZENIE
6.1.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzysta ć nierówność
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; patrz
) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
) wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.
(2) Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z
wykładnikiem
; patrz
). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa
(patrz
) więc dla dowolnego
mamy
Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.2.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
(2) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.3.
Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
(3)
W
SKAZÓWKA
(1) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
(2) Zauważmy, że
zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:
(3) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
Ć
WICZENIE
6.4.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Pokazać, że
(na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz
uwaga 2.16.
) i skorzystać z kryterium
porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
), porównując z szeregiem
R
OZWIĄZANIE
(1) Z nierówności Bernoullego (patrz
uwaga 2.16.
) mamy
dla każdego
oraz
Wstawiając
dostajemy
gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o
podstawie ) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od jest rosnąca, dostajemy
Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto
zatem ostatecznie pokazaliśmy, że
czyli także
Ponieważ szereg
jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie
6.9.
) szereg
też jest rozbieżny.
(2) Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy
nierówność:
Przekształcamy ją równoważnie
następnie logarytmujemy obie strony
Zatem pokazaliśmy, że
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) szereg
jest więc zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.5.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Szereg ten jest postaci
gdzie
jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu
?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, dla
mamy
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.6.
Niech
będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg
jest zbieżny, to także szereg
jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.
W
SKAZÓWKA
(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że
oraz kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ze zbieżności szeregu
wynika w szczególności, że
a stąd w szczególności
Ponieważ dla
mamy
zatem
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy zatem, że szereg
jest zbieżny.
(2) Rozważmy szereg
gdzie
dla
Wówczas szereg
jest zbieżny, ale szereg
jest
rozbieżny.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:53, 6 wrz 2006;
Nawigacja
Szukaj
Napisz do nas
OK
Szukaj
Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe
<
Analiza matematyczna 1
6. Szeregi liczbowe
Ć
WICZENIE
6.1.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzysta ć nierówność
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.
(2) Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z
wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa
(patrz
lemat 5.7.
) więc dla dowolnego
mamy
Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.2.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
(2) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.3.
Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
(3)
W
SKAZÓWKA
(1) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
(2) Zauważmy, że
zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:
(3) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
Ć
WICZENIE
6.4.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Pokazać, że
(na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz
uwaga 2.16.
) i skorzystać z kryterium
porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
), porównując z szeregiem
R
OZWIĄZANIE
(1) Z nierówności Bernoullego (patrz
uwaga 2.16.
) mamy
dla każdego
oraz
Wstawiając
dostajemy
gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o
podstawie ) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od jest rosnąca, dostajemy
Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto
zatem ostatecznie pokazaliśmy, że
czyli także
Ponieważ szereg
jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie
6.9.
) szereg
też jest rozbieżny.
(2) Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy
nierówność:
Przekształcamy ją równoważnie
następnie logarytmujemy obie strony
Zatem pokazaliśmy, że
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) szereg
jest więc zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.5.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Szereg ten jest postaci
gdzie
jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu
?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, dla
mamy
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.6.
Niech
będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg
jest zbieżny, to także szereg
jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.
W
SKAZÓWKA
(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że
oraz kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ze zbieżności szeregu
wynika w szczególności, że
a stąd w szczególności
Ponieważ dla
mamy
zatem
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy zatem, że szereg
jest zbieżny.
(2) Rozważmy szereg
gdzie
dla
Wówczas szereg
jest zbieżny, ale szereg
jest
rozbieżny.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:53, 6 wrz 2006;
Nawigacja
Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT
Szukaj
Napisz do nas
maruda@mimuw.edu.pl
OK
Szukaj
Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe
<
Analiza matematyczna 1
6. Szeregi liczbowe
Ć
WICZENIE
6.1.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzysta ć nierówność
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.
(2) Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z
wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa
(patrz
lemat 5.7.
) więc dla dowolnego
mamy
Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.2.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
(2) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.3.
Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
(3)
W
SKAZÓWKA
(1) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
(2) Zauważmy, że
zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:
(3) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
Ć
WICZENIE
6.4.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Pokazać, że
(na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz
) i skorzystać z kryterium
porównawczego (patrz
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
), porównując z szeregiem
R
OZWIĄZANIE
(1) Z nierówności Bernoullego (patrz
dla każdego
oraz
Wstawiając
dostajemy
gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o
podstawie ) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od jest rosnąca, dostajemy
Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto
zatem ostatecznie pokazaliśmy, że
jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
(2) Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy
nierówność:
Przekształcamy ją równoważnie
następnie logarytmujemy obie strony
Zatem pokazaliśmy, że
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
) szereg
jest więc zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.5.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Szereg ten jest postaci
gdzie
jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu
?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, dla
mamy
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.6.
Niech
będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg
jest zbieżny, to także szereg
jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.
W
SKAZÓWKA
(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że
oraz kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ze zbieżności szeregu
wynika w szczególności, że
a stąd w szczególności
Ponieważ dla
mamy
zatem
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy zatem, że szereg
jest zbieżny.
(2) Rozważmy szereg
gdzie
dla
Wówczas szereg
jest zbieżny, ale szereg
jest
rozbieżny.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:53, 6 wrz 2006;
Nawigacja
Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT
Szukaj
Napisz do nas
maruda@mimuw.edu.pl
OK
Szukaj
Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe
<
Analiza matematyczna 1
6. Szeregi liczbowe
Ć
WICZENIE
6.1.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzysta ć nierówność
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.
(2) Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z
wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa
(patrz
lemat 5.7.
) więc dla dowolnego
mamy
Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.2.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
(2) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.3.
Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
(3)
W
SKAZÓWKA
(1) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
(2) Zauważmy, że
zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:
(3) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
Ć
WICZENIE
6.4.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Pokazać, że
(na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz
uwaga 2.16.
) i skorzystać z kryterium
porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
), porównując z szeregiem
R
OZWIĄZANIE
(1) Z nierówności Bernoullego (patrz
uwaga 2.16.
) mamy
dla każdego
oraz
Wstawiając
dostajemy
gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o
podstawie ) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od jest rosnąca, dostajemy
Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto
zatem ostatecznie pokazaliśmy, że
czyli także
Ponieważ szereg
jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie
6.9.
) szereg
też jest rozbieżny.
(2) Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy
nierówność:
Przekształcamy ją równoważnie
następnie logarytmujemy obie strony
Zatem pokazaliśmy, że
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) szereg
jest więc zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.5.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Szereg ten jest postaci
gdzie
jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu
?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, dla
mamy
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.6.
Niech
będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg
jest zbieżny, to także szereg
jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.
W
SKAZÓWKA
(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że
oraz kryterium porównawczego (patrz
).
(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ze zbieżności szeregu
wynika w szczególności, że
a stąd w szczególności
Ponieważ dla
mamy
zatem
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
) dostajemy zatem, że szereg
jest zbieżny.
(2) Rozważmy szereg
gdzie
dla
Wówczas szereg
jest zbieżny, ale szereg
jest
rozbieżny.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:53, 6 wrz 2006;
Nawigacja
Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT
Szukaj
Napisz do nas
maruda@mimuw.edu.pl
OK
Szukaj
Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe
<
Analiza matematyczna 1
6. Szeregi liczbowe
Ć
WICZENIE
6.1.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzysta ć nierówność
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest rozbieżny.
(2) Rozważmy następujący szereg
o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z
wykładnikiem
; patrz
przykład 6.15.
). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa
(patrz
lemat 5.7.
) więc dla dowolnego
mamy
Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.2.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
(2) Ponieważ
zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.3.
Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
(3)
W
SKAZÓWKA
(1) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że
i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
(2) Zauważmy, że
zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:
(3) Ponieważ
zatem
ta suma częściowa szeregu ma postać
Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc
Ć
WICZENIE
6.4.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Pokazać, że
(na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz
uwaga 2.16.
) i skorzystać z kryterium
porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz
twierdzenie 6.9.
), porównując z szeregiem
R
OZWIĄZANIE
(1) Z nierówności Bernoullego (patrz
uwaga 2.16.
) mamy
dla każdego
oraz
Wstawiając
dostajemy
gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o
podstawie ) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od jest rosnąca, dostajemy
Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto
zatem ostatecznie pokazaliśmy, że
czyli także
Ponieważ szereg
jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie
6.9.
) szereg
też jest rozbieżny.
(2) Porównajmy szereg
z szeregiem
o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy
nierówność:
Przekształcamy ją równoważnie
następnie logarytmujemy obie strony
Zatem pokazaliśmy, że
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) szereg
jest więc zbieżny.
Ć
WICZENIE
6.5.
Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1)
(2)
W
SKAZÓWKA
(1) Szereg ten jest postaci
gdzie
jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu
?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).
R
OZWIĄZANIE
(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, dla
mamy
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci
gdzie
zatem ciąg
jest zbieżny oraz
Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że
Zatem
Ponieważ szereg
jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego
(patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy, że szereg
jest także rozbieżny.
Ć
WICZENIE
6.6.
Niech
będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg
jest zbieżny, to także szereg
jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.
W
SKAZÓWKA
(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że
oraz kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
).
(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.
R
OZWIĄZANIE
(1) Ze zbieżności szeregu
wynika w szczególności, że
a stąd w szczególności
Ponieważ dla
mamy
zatem
Na mocy kryterium porównawczego (patrz
twierdzenie 6.9.
) dostajemy zatem, że szereg
jest zbieżny.
(2) Rozważmy szereg
gdzie
dla
Wówczas szereg
jest zbieżny, ale szereg
jest
rozbieżny.
Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 22:53, 6 wrz 2006;
Nawigacja
Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT
Szukaj
Napisz do nas
maruda@mimuw.edu.pl
OK
Szukaj
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wazniak mimuw edu pl index php vgp0pjmt
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja2
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja6
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady Bazy danych3
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja4
http, moodle come uw edu pl file php file= 529 LAZARUS
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja10
www ksiegarnia szostka pl index php cont=eshop&grmID=1&g
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja9a
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja5
http, www strefawiedzy edu pl file php file= 28 Wyklady BD prezentacja11a
więcej podobnych podstron