Materiaªy do wykªadów

Fizyka (Informatyka - EEIiA 2011/12)

16 pa¹dziernika 2011

c

Mariusz Krasi«ski 2011

Spis tre±ci

II DRGANIA

1

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

1

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Drgania harmoniczne proste

2

2.1 Wychylenie, pr¦dko±¢ i przyspieszenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.2 Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

UWAGA! Wi¦kszo±¢ rysunków wymaga wªasnor¦cznego dopisania oznacze«!

Cz¦±¢ II

DRGANIA

1 Ruch drgaj¡cy - wst¦p

Lektura uzupeªniaj¡ca:
M. Krasi«ski, Ruch drgaj¡cy rozdziaª 10 (strony 233-266) w skrypcie pt. Wst¦p do analizy matematycznej i

wybranych dziaªów zyki, red. A. Just, Wyd. Polit. Šódzkiej, Šód¹ 2007.

1.1 Ciaªo na spr¦»ynie

x

x

max

x

min

x

t

0

F

spr

Rysunek 1: Siªa spr¦»ysto±ci jest proporcjonalna do wydªu»enia (skrócenia) spr¦»yny

m~a = ~

F

spr

ma = −kx

1

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

a = −

k

m

x

(1.1)

2 Drgania harmoniczne proste

2.1 Zale»no±¢ mi¦dzy wychyleniem, pr¦dko±ci¡ i przyspieszeniem

Drgania harmoniczne (obiektu) to drgania, w których wychylenie obiektu speªnia zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(2.1)

(mo»e by¢ tak»e sinus)

Pr¦dko±¢ obiektu wynosi wtedy

v = v

x

=

dx

dt

=

−Aω sin(ωt + φ)

(2.2)

a przyspieszenie

a =

dv

x

dt

=

d

2

x

dt

2

=

d

dt

 dx

dt

=

d

dt

(−Aω sin(ωt + φ)) = −Aω

2

cos(ωt + φ) = −ω

2

x

(2.3)

Z równania (2.3) wynika, »e w ruchu harmonicznym musi by¢ speªniona zale»no±¢

a =

d

2

x

dt

2

= −ω

2

x

(2.4)

albo po pomno»eniu obu stron przez mas¦ drgaj¡cego ciaªa m

ma = m

d

2

x

dt

2

= F = −mω

2

x

Tak wi¦c aby ciaªo drgaªo harmonicznie, siªa dziaªaj¡ca na nie musi by¢ proporcjonalna do wychylenia lecz

przeciwnie do niego (wychylenia) skierowana.
Rysunek poni»ej przedstawia porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia ciaªa drga-

j¡cego ruchem harmonicznym prostym

Rysunek 2: Porównanie czasowego przebiegu wychylenia, pr¦dko±ci i przyspieszenia dla ciaªa drgaj¡cego ruchem

harmonicznym prostym. Zauwa», »e wykresy s¡ wzgl¦dem siebie przesuni¦te!

c

Mariusz Krasi«ski 2011

2

2.2 Denicje

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Drgania ciaªa na spr¦»ynie jako przykªad drga« harmonicznych prostych
W przypadku rozci¡gania lub ±ciskania spr¦»yny, siªa spr¦»ysto±ci ma posta¢

F = −kx

Wychylenie musi wi¦c speªnia¢ równanie

ma = −kx

a = −

k

m

x

albo w bardziej matematycznej postaci

m

d

2

x

dt

2

= − kx

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x

Na podstawie równania (2.4) otrzymamy

ω

2

=

k

m

czyli zale»no±¢ wychylenia od czasu ma ostateczn¡ posta¢

x = A cos

 r

k

m

t + φ

!

Generalnie równanie ruchu dla ciaªa o masie m drgaj¡cego ruchem harmonicznym prostym ma posta¢

ma = m

d

2

x

dt

2

= −kx

gdzie k nie musi by¢ wspóªczynnikiem spr¦»ysto±ci, ale mo»e wynika¢ z innych wªasno±ci ukªadu wykonuj¡cego

drgania.

2.2 Denicje

•

q

k

m

t + φ = ωt + φ

nazywamy FAZ drgania

• φ

jest faz¡ pocz¡tkow¡ (czyli tak¡ faz¡, która wyst¦puje dla t=0 !)

• ω =

q

k

m

jest cz¦sto±ci¡ drgania

•

Okres drga« T to taki najmniejszy czas, po którym wychylenie (uwzgl¦dniaj¡c kierunek ruchu) jest takie

samo jak na pocz¡tku (obserwacji) x(t) = x(t+T ). Mo»na te» powiedzie¢, »e okres drgania to najmniejszy

czas, po którym faza drgania zmieni si¦ o 2π.

•

cz¦sto±¢ i okres powi¡zane s¡ zale»no±ci¡ ω =

2π

T

•

wielko±¢ f =

1

T

nazywamy cz¦stotliwo±ci¡

•

cz¦sto±¢ ω i cz¦stotliwo±¢ f powi¡zane s¡ zale»no±ci¡ ω = 2πf

2.3 Dlaczego tylko ruch harmoniczny?

To drganie z pewno±ci¡ nie jest harmoniczne

c

Mariusz Krasi«ski 2011

3

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny)

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

Rysunek 3: Dopisz oznaczenia na osiach!

A oto przepis matematyczny jak rozªo»y¢ takie drganie na drgania harmoniczne

y = A

sin x +

1

3

sin 3x +

1

5

sin 5x +

...

= A

∞

X

N =0

1

2N + 1

sin [(2N + 1)x]

Poni»ej widmo powy»szego drgania

Rysunek 4: Widmo drgania przedstawionego na rysunku 3

2.4 Energia ruchu drgaj¡cego (przypadek spr¦»yny)

E =

mv

2

2

+

kx

2

2

(2.5)

Je±li wykorzystamy zale»no±ci (2.1) i (2.2) otrzymamy

E =

 m

2

A

2

ω

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)

(2.6)

Poniewa» w ruchu harmonicznym prostym

ω =

r

k

m

to

k = mω

2

(2.7)

Wykorzystuj¡c zale»no±¢ (2.7) w równaniu (2.6) otrzymamy, »e energia caªkowita ukªadu drgaj¡cego zale»y od

amplitudy A i staªej spr¦»ysto±ci k

E =

 k

2

A

2

sin

2

(ωt + φ) +

k

2

A

2

cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

sin

2

(ωt + φ) + cos

2

(ωt + φ)

=

kA

2

2

(2.8)

c

Mariusz Krasi«ski 2011

4

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

2 DRGANIA HARMONICZNE PROSTE

2.5 Drgania harmoniczne proste w przestrzeni fazowej

Je±li wychylenie drgaj¡cego ciaªa opisuje zale»no±¢

x = A cos(ωt + φ)

(2.9)

to pr¦dko±¢ ciaªa opisana jest zale»no±ci¡

v = −Aω sin(ωt + φ)

(2.10)

Korzystaj¡c z jedynki trygonometrycznej

cos

2

(ωt + φ) + sin

2

(ωt + φ) = 1

oraz równa« (2.9) i (2.10) otrzymamy

x

2

A

2

+

v

2

A

2

ω

2

= 1

Powy»sze równanie przedstawia elips¦ w tak zwanej przestrzeni fazowej. Dalsze wyja±nienia na wykªadzie.

Rysunek 5: Dopisz komentarze na wykªadzie

c

Mariusz Krasi«ski 2011

5