Po

P li

l t

i e

t chn

h ik

i a

k

a Ślą

l s

ą k

s a

k

a w Gli

l w

i ic

i ac

a h

Me

M cha

h n

a ika

k

a Pł

P y

ł nów

Wykład nr 15

„Prz

P e

rz pł

p y

ł w

w cieczy

z prz

p e

rz z

z dłu

d gie kan

a ał

a y

ł .”

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

Potrzeby techniczne sprawiają konieczność uproszczonych metod obliczeń, w których stosuje się prosty model przepływu, a wszystkie założone zjawiska uwzględnia się wprowadzając korekty empiryczne. Modelem dla przepływu cieczy i gazu w kanałach jest przepływ jednowymiarowy ustalony. Do obliczeń stosuje się równanie z przepływu idealnych, najczęściej w postaci równania Bernoull’ego: 2

2

v

p

v

p

1

1

2

+

+ z =

+

+ z + z .

(15.1)

1

2

str

g

2

γ

g

2

γ

zstr – straty mocy w przepływach rzeczywistych oblicza się ze wzoru :

 l v2

z

= λ  .

(15.2)

str

 d  g

2

Czasami zstr wyraża się poprzez ciśnienie :

∆

= β p

z

.

str

µ

(15.3)

Równania te są typowymi przedstawicielami równań mechaniki płynów zwanej hydrauliką. Powszechnie stosowana w obliczeniach rurociągów i najstarszym działaniem mech. płynów.

Takie techniczne układy jak: dysze, dyfuzory zalicza się do działu hydrauliki i stosuje się uproszczone metody obliczeń.

W obliczeniach kanałów i długich przewodów stosuje się :

1. obliczanie strumienia masy lub objętości przy znanej różnicy ciśnień, lub obliczenie potrzebnej różnicy ciśnień dla danego strumienia masy.

•

dm

 • 

m =

, ∆p = f m  .

(15.4)

dt





2. obliczanie średnicy kanału dla danego strumienia lub objętości dla różnej różnicy ciśnień.

 •



d = f m, ∆p  .

(15.5)





w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

METODA OBLICZEŃ PRZEPŁYWU CIECZY W DŁUGICH KANAŁACH

Wiemy, że dla cieczy lepkiej rozkład prędkości obiega od wartości średniej. W tej sytuacji jako prędkość przepływu jednowymiarowego przyjmuje się jako prędkość przepływu prędkość średnią.

Rys. 1

Należy rozważyć jaki błąd się popełnia przy przepływie przez kanały opartych o równanie Bernulli’ego.

Rzeczywista energia płynu przepływającego przez dany przekrój kanału w jednostce czasu czyli rzeczywisty strumień energii rzeczywistej w postaci różniczkowej.

•

1

•

1

•

2

2

d E =

d m V =

d

ξ V v

(15.6)

2

2

•

Elementarny strumień objętości d V o przekroju kołowym ϕ = r 2

obliczamy na

0

podstawie poniższego rysunku :

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

Rys. 2

•

d V = 2 r

π *dr * v .

(15.7)

ro

•

2

V = 2π∫ rdr * v = r

π v .

(15.8)

sr

o

sr

0

Gdybyśmy założyli prędkość zależną od promienia r czyli v(r) to wydatek objętości:

•

0

r

V = 2π∫ r(v(r) d

) r .

(15.9)

0

15.7 → 15.6

•

1

3

d E =

ξ2 r

π drv .

(15.10)

2

•

ro

E = πξ

π ∫ 3

rv dr .

(15.11)

0

Gdy strumień energi kinetycznej odniesiemy do prędkości średniej vśr

•

1 •

1

•

2

E =

m v

=

d

ξ V v .

(15.12)

sr

sr

2

2

•

v 2

'

E = π r2 sr

ξ

π

.

(15.13)

2

•

Gdzie V można wyliczyć : (strumień objętościowy)

•

V = A * v .

(15.14)

sr

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

A – przekrój rury

Zatem

•

V

v

=

.

(15.15)

sr

A

Uwzględniając zależność (15.6) można napisać :

r

r

o

o

2π∫ v rdr

2∫ v(r r

) dr

sr

(15.16)

0

0

v

=

=

.

sr

2

2

r

π

r

0

o

Podstawiając vsr do wzoru (15.10) otrzymujemy że :

3

r0





4



πξ

π

∫ v(r r)dr

 ∫



•



(15.17)

0



'

E =

.

4

ro

•

Otrzymano dwa wyrażenia: jedno E (15.8) dla rzeczywistego rozkładu prędkości i

•

strumień energii '

E dla przyjętego rozkładu prędkości vsr.

Iloraz tych strumieni energii jest nazywany współczynnikiem Coriolisa :

•

α = E

(15.18)

•

'

E

r

r

0

0

4

3

3

r πξ

π ∫rdrv

∫rdrv

2

r

0

0

0

d =

=

3

3

(15.19)

r

r

0





4

0





4



πξ

π ∫ v(r r

) dr 



∫

∫ v(r r)dr





 ∫



 0



 0



•

Stosunek rzeczywistego strumienia energii kinetycznej E do strumienia energii

•

kinetycznej '

E wynikającej z obliczeń prędkości średniej vśr nosi nazwę wsp. Coriolisa i dla przekroju kołowego wynosi zgodnie z wzorem (15.16) widzimy, że α jest zawsze większa od jedności.

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

Dla ruchu laminarnego α =2

(15.20)

Dla ruchu turbulentnego α =1.1

W przypadku obliczeń pożądane jest uwzględnienie tego współczynnika, gdyż rzeczywista energia kinetyczna wyrażona poprzez prędkość średnią vśr wynosi : v 2

E

= α* sr

(15.21)

rz

2

α

Praktycznie współczynnik

jest uwzględniony tylko wtedy gdy wartość energii kinetycznej jest porównywalny z wartością strat podczas przepływu. W długich kanałach nie mogą być pomijane opory przepływu i stosując równanie bilansu Bernulli’ego piszemy jego postać pół-empiryczną jak to podano wzorami (15.1).

2

2

v

p

v

p

1

1

2

+

+ z =

+

+ z + z .

(15.22)

1

2

str

g

2

γ

g

2

γ

Kanał pojedynczy: najprostszym przykładem przepływu długi kanał o stałym przekroju (często kołowym) ciesz wypływa z zbiornika przez poziomy kanał o Ø=d i dł.=l, na swobodnej powierzchni cieczy ciśnienia pa. Zakłada się w obliczeniach, że w powierzchnia zbiornika A1 jest znacznie większa od przekroju Au wobec czego V1 w zbiorniku przyjmujemy równe 0. Schemat można przedstawić następująco: Rys. 3

Równanie przyjmuje postać:

2

2

v

p

v

p

1

1

2

0 =

+

+ z =

+

+ z + z .

(15.23)

1

2

str

g

2

γ

g

2

γ

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

Otrzymujemy wyrażenie, że poziomu w zbiorniku cieczy : 2

v4

z =

+ z ,

(15.24)

1

str

g

2

l v2

z

4

= λ

.

(15.25)

str

d g

2

Uwzględniając wsp. Coriolisa

v2

l v2

z

4

4

= α

+ λ

.

(15.26)

1

g

2

d g

2

Odnośnie współczynnika λ są różne reguły wyznaczania tego współczynnika, który jest funkcją najczęściej liczby Reynolds’a względnie można go uzyskać na podstawie odpowiednich wykresów, które można znaleźć w podręcznikach hydrauliki dotyczących obliczeń kanałów: np. wzór

0 1

, 6

λ =

.

(15.27)

4 Re

Przepływy laminarne i turbulencyjne – współczynnik strat

– liczba Blasiusa

Prawo Hagena-Poiseuille’a

π

p

∆

4

Q =

*

* d ,

(15.28)

128µ

l

(strata energii) po przekształceniu:

p

∆

64

l

v

h

∆ =

*

* śr

=

,

(15.29)

r

Re

d

2g

v d

Re

śr

=

,

(15.30)

v

v2 l

h

= R

.

(15.31)

str

g

2 d

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

Współczynnik strat na tarcie λ

• dla ruchu laminarnego

64

λ =

,

(15.32)

Re

• dla ruchu turbulentnego λ określa się doświadczalnie wg wzoru Blausiusa

0,316

λ =

,

(15.33)

4 Re

• ogólny wzór laminarnego

bn

 1 

64

λ = ∑K 



=

.

(15.34)

n  Re 

Re

vd

Istnieje pewna krytyczna wartość Re =

poniżej której ruch kształtuje się jako

v

laminarny a powyżej turbulentny.

Laminarny Rekr1

Laminarny lub Turbulentny Rekr2 Turbulentny Rekr1 = 2340

Rekr2 = 50 000

Współczynnik strat dla ruchu laminarnego są 2 razy mniejsze (dla przepływu laminarnego lub turbulentnego) – przyjmuje się wyższe.

Szorstkość:

• Wzór Nikuradusa

1

λ =

.

2



v



(15.35)

 2lg + 174



s



Przy każdej szorstkości ustala się wartość współczynnika strat λ wg tabeli lub z wykresu (rys.4 ).

• Wzór Misesa

k

2

λ = 0

,

0 096 + 4

+ 7,2

.

(15.36)

r

Re

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

k - liczba (wymiar długości charakterystycznej).

Rys. 4

Obliczanie wydajności pomp.

Jeżeli na drodze przepływu strugi

znajduje się źródło energii, to w tym

miejscu następuje przyrost lub ubytek

energii cieczy. Znajduje to odbicie w

równaniu Bernoulliego.

Rys. 5

2

2

v

p

v

p

1

1

2

2

+

+ z =

+

+ z + h + H .

(15.37)

1

2

str

z

g

2

λ

g

2

λ

Hz – wys. hydrauliczna źródła energii

H = h

∆ + h

∆ + h

∆ − h ,

z

v

p

z

str

(15.38)

N = γ Q H .

(15.39)

z

W praktyce przyjmujemy że przy długich rurociągach straty lokalne są małe w stosunku do strat wzdłuż przewodu i można ja zaniedbać. Cała energia strumienia zużyta zostaje na pokonanie tarcia.

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7

„Przepływ cieczy przez długie kanały.”

Wykład 15

v2 l

h

= ~ λ

.

(15.40)

str

g

2 d

2g h

d

v

str

=

.

(15.41)

λ l

d4

π

Q =

v .

(15.42)

4

Przyjmując λ w przybliżeniu obliczamy vI,

następnie

v d

Re

I

=

,

(15.43)

v

oraz z wzoru Blausiasa

0,316

λ =

,

(15.44)

4 Re

następnie II przybliżenie, czyli dla vII liczymy ze wzoru (15.43) Re i wyznaczamy λ ze wzoru (15.44).

Przewody rozgałęzione

Rys. 6

H – efektywna różnica ciśnień

2

2

v

l

v

l

1

1

2

2

H

= h

+ h

= λ

+ λ

AB

str1

str 2

1

2

(15.45)

2g d

2g d

1

2

2

2

v

l

v

l

1

1

3

3

H

= h

+ h

= λ

+ λ

AC

str1

str 3

1

3

(15.46)

2g d

2g d

1

3

2

2

2

Q = Q + Q = v d = v d + v d (15.47)

1

3

1

1

2

2

3

3

w w w . c h o m i k u j . p l / M a r W a g 9 8 7