Mechanika Płynów
Wykład nr 15
„Przepływ cieczy przez
długie kanały.”
Mechanika Płynów
Wykład nr 15
„Przepływ cieczy przez
długie kanały.”
Potrzeby techniczne sprawiają konieczność
uproszczonych metod obliczeń, w których
stosuje się prosty model przepływu, a wszystkie
założone zjawiska uwzględnia się wprowadzając
korekty empiryczne. Modelem dla przepływu
cieczy i gazu w kanałach jest przepływ
jednowymiarowy ustalony. Do obliczeń stosuje
się równanie z przepływu idealnych, najczęściej
w postaci równania Bernoull’ego:
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
(15.1)
z
str
– straty mocy w przepływach
rzeczywistych oblicza się ze wzoru :
g
2
v
d
l
z
2
str
Czasami z
str
wyraża się poprzez ciśnienie :
p
z
str
(15.2)
(15.3)
Równania te są typowymi przedstawicielami
równań mechaniki płynów zwanej hydrauliką.
Powszechnie stosowana w obliczeniach rurociągów
i najstarszym działaniem mech. płynów.
Takie techniczne układy jak: dysze, dyfuzory
zalicza się do działu hydrauliki i stosuje się
uproszczone metody obliczeń.
W obliczeniach kanałów i
długich przewodów stosuje się :
1.
obliczanie strumienia masy lub objętości
przy znanej różnicy ciśnień, lub obliczenie
potrzebnej różnicy ciśnień dla danego
strumienia masy.
dt
dm
m
m
f
p
2.
obliczanie średnicy kanału dla danego
strumienia lub objętości dla różnej różnicy
ciśnień.
p
,
m
f
d
(15.4)
(15.5)
METODA OBLICZEŃ PRZEPŁYWU
CIECZY W DŁUGICH KANAŁACH
Wiemy, że dla cieczy lepkiej rozkład prędkości
obiega od wartości średniej. W tej sytuacji jako
prędkość przepływu jednowymiarowego przyjmuje
się jako prędkość przepływu prędkość średnią.
Rys.1
Należy rozważyć jaki błąd się popełnia przy
przepływie przez kanały opartych o
równanie Bernulli’ego.
Rzeczywista energia płynu przepływającego
przez dany przekrój kanału w jednostce
czasu czyli rzeczywisty strumień energii
rzeczywistej w postaci różniczkowej.
2
2
v
V
d
2
1
v
m
d
2
1
E
d
(15.6)
Elementarny strumień objętości o
przekroju kołowym obliczamy na
podstawie poniższego rysunku :
v
*
dr
*
r
2
V
d
sr
2
o
sr
r
0
v
r
v
*
rdr
2
V
o
Rys.2
(15.7)
(15.8)
V
d
0
0
r
2
d
Gdybyśmy założyli prędkość zależną od
promienia r czyli v(r) to wydatek objętości:
0
r
0
dr
))
r
(
v
(
r
2
V
15.7 → 15.6
3
rdrv
2
2
1
E
d
o
r
0
3
dr
rv
E
Gdy strumień energii kinetycznej
odniesiemy do prędkości średniej v
sr
sr
2
sr
v
V
d
2
1
v
m
2
1
E
2
v
r
'
E
2
sr
2
(15.9)
(15.10)
(15.11)
(15.12)
(15.13)
Gdzie można wyliczyć :
(strumień objętościowy)
Zatem :
sr
v
*
A
V
A – przekrój rury
A
V
v
sr
Uwzględniając zależność (15.6) można
napisać :
2
o
r
0
2
0
r
0
sr
sr
r
rdr
)
r
(
v
2
r
rdr
v
2
v
o
o
(15.14)
(15.15)
(15.16)
V
Podstawiając v
sr
do wzoru (15.10)
otrzymujemy że :
Otrzymano dwa wyrażenia: jedno (15.8)
dla rzeczywistego rozkładu prędkości i
strumień energii dla przyjętego rozkładu
prędkości v
sr
.
4
o
3
r
0
r
rdr
)
r
(
v
4
'
E
0
(15.17)
E
'
E
Iloraz tych strumieni energii jest
nazywany współczynnikiem Coriolisa :
'
E
E
3
r
0
3
r
0
2
0
3
r
0
3
r
0
4
0
0
0
0
rdr
)
r
(
v
v
rdr
4
r
rdr
)
r
(
v
4
v
rdr
r
d
(15.18)
(15.19)
Stosunek rzeczywistego strumienia energii
kinetycznej do strumienia energii
kinetycznej wynikającej z obliczeń prędkości
średniej vśr nosi nazwę wsp. Coriolisa i dla
przekroju kołowego wynosi zgodnie z wzorem
(15.16) widzimy, że jest zawsze większa od
jedności.
Dla ruchu laminarnego
=2
Dla ruchu turbulentnego
=1.1
(15.20)
E
'
E
W przypadku obliczeń pożądane jest
uwzględnienie tego współczynnika, gdyż
rzeczywista energia kinetyczna wyrażona
poprzez prędkość średnią v
sr
wynosi :
2
v
*
E
2
sr
rz
Praktycznie współczynnik jest
uwzględniony tylko wtedy gdy wartość
energii kinetycznej jest porównywalny z
wartością strat podczas przepływu. W
długich kanałach nie mogą być pomijane
opory przepływu i stosując równanie
bilansu Bernulli’ego piszemy jego postać
pół-empiryczną jak to podano wzorami
(15.1).
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
(15.21)
(15.22)
Kanał pojedynczy: najprostszym przykładem
przepływu długi kanał o stałym przekroju (często
kołowym) ciecz wypływa z zbiornika przez
poziomy kanał o Ø=d i dł.=l, na swobodnej
powierzchni cieczy ciśnienia pa. Zakłada się w
obliczeniach, że w powierzchnia zbiornika A
1
jest
znacznie większa od przekroju A
4
wobec czego
V
1
w zbiorniku przyjmujemy równe 0. Schemat
można przedstawić następująco:
Rys.
3
Równanie przyjmuje
postać:
Otrzymujemy wyrażenie, że poziomu w
zbiorniku cieczy :
str
2
2
2
1
1
2
1
z
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
0
str
2
4
1
z
g
2
v
z
g
2
v
d
l
z
2
4
str
Uwzględniając wsp. Coriolisa
g
2
v
d
l
g
2
v
z
2
4
2
4
1
(15.23)
(15.24)
(15.25)
(15.26)
Odnośnie współczynnika są różne reguły
wyznaczania tego współczynnika, który jest
funkcją najczęściej liczby Reynolds’a
względnie można go uzyskać na podstawie
odpowiednich wykresów, które można
znaleźć w podręcznikach hydrauliki
dotyczących obliczeń kanałów: np. wzór
4
Re
16
,
0
(15.27)
Przepływy laminarne i
turbulencyjne
– współczynnik strat - liczba Blasiusa
Prawo Hagena-Poiseuille’a
4
d
*
l
p
*
128
Q
(15.28)
(strata energii) po przekształceniu:
g
2
v
*
d
l
*
Re
64
r
p
h
śr
v
d
v
Re
śr
d
l
g
2
v
R
h
2
e
str
(15.29)
(15.30)
(15.31)
Współczynnik strat na tarcie
dla ruchu laminarnego
dla ruchu turbulentnego określa się
doświadczalnie wg wzoru Blausiusa
ogólny wzór laminarnego
Re
64
4
Re
316
,
0
Re
64
Re
1
K
bn
n
(15.32)
(15.33)
(15.34)
Istnieje pewna krytyczna wartość poniżej
której ruch kształtuje się jako laminarny a powyżej
turbulentny.
vd
Re
Laminarny Re
kr1
Laminarny lub Turbulentny Re
kr2
Turbulentny
Re
kr1
= 2340
Re
kr2
= 50
000
Współczynnik strat dla ruchu laminarnego są
2 razy mniejsze (dla przepływu laminarnego
lub turbulentnego) – przyjmuje się wyższe.
Szorstkość:
Wzór Nikuraduse’a
Przy każdej szorstkości ustala się wartość
współczynnika strat wg tabeli lub z wykresu (rys.4 ).
Wzór Misesa
k - liczba (wymiar długości charakterystycznej).
2
174
s
v
lg
2
1
Re
2
2
,
7
r
k
4
0096
,
0
(15.35)
(15.36)
Rys.4
Obliczanie wydajności pomp.
Jeżeli na drodze przepływu strugi znajduje
się źródło energii, to w tym miejscu
następuje przyrost lub ubytek energii cieczy.
Znajduje to odbicie w równaniu Bernoulliego.
z
str
2
2
2
2
1
1
2
1
H
h
z
p
g
2
v
z
p
g
2
v
Hz – wys. hydrauliczna źródła energii
Rys.5
(15.37)
W praktyce przyjmujemy że przy długich
rurociągach straty lokalne są małe w
stosunku do strat wzdłuż przewodu i można
ja zaniedbać. Cała energia strumienia zużyta
zostaje na pokonanie tarcia.
str
z
p
v
z
h
h
h
h
H
z
H
Q
N
d
l
g
2
v
~
h
2
str
l
d
h
g
2
v
str
v
4
d
Q
4
(15.38)
(15.39)
(15.40)
(15.41)
(15.42)
Przyjmując w przybliżeniu obliczamy v
I
,
następnie
v
d
v
Re
I
oraz z wzoru Blausiasa
4
Re
316
,
0
następnie II przybliżenie, czyli dla v
II
liczymy
ze wzoru (15.43) Re i wyznaczamy ze
wzoru (15.44).
(15.43)
(15.44)
Przewody rozgałęzione
H – efektywna różnica ciśnień
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
str
1
str
AB
d
l
g
2
v
d
l
g
2
v
h
h
H
3
3
2
3
3
1
1
2
1
1
3
str
1
str
AC
d
l
g
2
v
d
l
g
2
v
h
h
H
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
1
d
v
d
v
d
v
Q
Q
Q
Rys.6
(15.45)
(15.47)
(15.46)
Dzię