Matematyka A, egzamin, 23 czerwca 2009
12:05 — 15:05
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow
serca.
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach. Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
1. Znale´z´c promie´
n i ´srodek okre
,
gu C , kt´ora zawiera zbi´or K z lo˙zony ze wszystkich tych liczb
zespolonych z , dla kt´orych
z
z−2(1−i)
+
z
z−2(1+i)
= 0 .
Znale´z´c wszystkie punkty okre
,
gu C , kt´ore znajduja
,
sie
,
poza zbiorem K .
2. Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A =
5 2 −4
0 3
0
2 1 −1
i B =
5
0
4
0
3
0
−2 0 −1
.
3. Znale´z´c wszystkie takie funkcje f ,
kt´orych wykres Γ
f
jest zawarty w pierwsze ´cwiartce uk ladu wsp´o lrze
,
dnych,
a styczna do Γ
f
w dowolnym jego punkcie P (x) = x, f (x)
przecina obie osie uk ladu wsp´o l-
rze
,
dnych w punktach X(x) , Y (x) przy czym P (x) ´srodkiem odcinka o ko´
ncach X(x) , Y (x) .
4. Rozwia
,
za´c r´ownanie r´o˙zniczkowe tx
0
+ x = x
2
.
Znale´z´c rozwia
,
zanie x
1
tego r´ownania spe lniaja
,
ce warunek x
1
(1) =
1
2
oraz rozwia
,
zanie x
2
spe lniaja
,
ce warunek x
2
(1) = 0 .
5. Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) − 4x
0
(t) + 4x(t) = 6te
2t
+ 16e
−2t
+ 8 cos(2t) + 4e
2t
cos(2t) .
6. Niech f (x, y) = x
2
+ 3xy
2
− xy
3
. Znale´z´c najmniejsza
,
i najwie
,
ksza
,
warto´s´c funkcji f w pro-
stoka
,
cie R = {(x, y):
−3 ≤ x ≤ 0 i
− 1 ≤ y ≤ 3} .