www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
7
MARCA
2008
C
ZAS PRACY
: 120
MINUT
Z
ADANIE
1
(6
PKT
.)
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f .
a) Podaj dziedzin˛e funkcji f .
b) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji f .
c) Odczytaj warto´s´c funkcji f dla argumentu x
=
5.
d) Podaj zbiór warto´sci funkcji f .
e) Podaj maksymalny przedział o długo´sci 3, w którym funkcja f jest rosn ˛
aca.
f) Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funk-
cja f przyjmuje warto´sci ujemne.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Dziedzina:
h−
6, 8
i
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
b) Miejsca zerowe:
−
2, 3, 6.
c) f
(
5
) = −
1.
d) Zbiór warto´sci:
h−
2, 6
i
.
e) Przedział
h
5, 8
i
.
f) Zbiór
(−
2, 3
) ∪ (
3, 6
)
.
Z
ADANIE
2
(5
PKT
.)
Funkcja kwadratowa f jest okre´slona wzorem f
(
x
) = (
2
−
x
)
2
.
a) Wyznacz najmniejsz ˛
a i najwi˛eksz ˛
a warto´s´c funkcji f w przedziale
h
0, 5
i
.
b) Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c f
(
x
) − (
2
−
x
) >
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Poniewa ˙z f
(
x
) = (
2
−
x
)
2
= (
x
−
2
)
2
, to wykresem tej funkcji jest parabola z ramionami
skierowanymi do góry, styczna do osi Ox w punkcie 2.
a) Poniewa ˙z wierzchołek paraboli jest w danym przedziale, to wła´snie w nim jest naj-
mniejsza warto´s´c f
(
2
) =
0.
Ze wzgl˛edu na kształt wykresu, najwi˛eksza warto´s´c jest w jednym z ko ´nców przedzia-
łu. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze f
(
5
) =
9
>
f
(
0
) =
4.
Odpowied´z: f
min
=
0, f
max
=
9
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
b) Przekształ´cmy podan ˛
a nierówno´s´c
(
2
−
x
)
2
− (
2
−
x
) >
0
(
2
−
x
)((
2
−
x
) −
1
) >
0
(
2
−
x
)(
1
−
x
) >
0
(−
1
)(
x
−
2
)(−
1
)(
x
−
1
) >
0
(
x
−
2
)(
x
−
1
) >
0.
Nierówno´s´c, któr ˛
a otrzymali´smy to najwyklejsza nierówno´s´c kwadratowa, jej rozwi ˛
a-
zaniem jest zbiór
(−
∞, 1
i ∪ h
2,
∞
)
(oba czynniki maj ˛
a by´c nieujemne lub oba niedodat-
nie).
Odpowied´z:
(−
∞, 1
i ∪ h
2,
∞
)
Z
ADANIE
3
(4
PKT
.)
Suma dwóch liczb jest równa
√
7, a ich ró ˙znica
√
3 . Oblicz iloczyn tych liczb.
R
OZWI ˛
AZANIE
I sposób
Mamy układ równa ´n
(
x
+
y
=
√
7
x
−
y
=
√
3.
Dodaj ˛
ac do pierwszego równania drugie ( ˙zeby skróci´c y), dostajemy 2x
=
√
7
+
√
3, czyli
x
=
√
7
+
√
3
2
.
Podobnie, jak odejmiemy od pierwszego równania drugie ( ˙zeby skróci´c x), dostajemy
x
=
√
7
−
√
3
2
.
Obliczamy st ˛
ad
xy
=
√
7
+
√
3
2
·
√
7
−
√
3
2
=
=
1
4
(
√
7
+
√
3
)(
√
7
−
√
3
) =
1
4
((
√
7
)
2
− (
√
3
)
2
) =
1
4
(
7
−
3
) =
1.
II sposób
Mo ˙zna te ˙z to zadanie zrobi´c szybciej, korzystaj ˛
ac ze sztuczki:
(
x
+
y
)
2
− (
x
−
y
)
2
=
4xy.
Mamy st ˛
ad
4xy
= (
√
7
)
2
− (
√
3
)
2
=
4.
Czyli jak poprzednio xy
=
1.
Odpowied´z: 1
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
4
(4
PKT
.)
W układzie współrz˛ednych s ˛
a dane punkty A
= (−
4,
−
2
)
, B
= (
5, 4
)
.
a) Oblicz odległo´s´c punktu C
= (−
1, 4
)
od prostej przechodz ˛
acej przez punkty A i B.
b) Uzasadnij, ˙ze je´sli m
6=
0, to punkty A, B oraz punkt D
= (−
1, m
)
s ˛
a wierzchołkami
trójk ˛
ata.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Zacznijmy od rysunku. Aby móc skorzysta´c ze wzoru na odległo´s´c punktu od prostej
musimy mie´c równanie prostej AB. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przez
dwa punkty A
= (
x
A
, y
A
)
i B
= (
x
B
, y
B
)
:
(
y
−
y
A
)(
x
B
−
x
A
) − (
y
B
−
y
A
)(
x
−
x
A
) =
0.
W naszej sytuacji:
(
y
− (−
2
))(
5
− (−
4
)) − (
4
− (−
2
))(
x
− (−
4
))) =
0
(
y
+
2
)
9
−
6
(
x
+
4
) =
0
9y
−
6x
−
6
=
0
3y
−
2x
−
2
=
0
2x
−
3y
+
2
=
0.
Teraz korzystamy ze wzoru na odległo´s´c punktu P
= (
x
0
, y
0
)
od prostej Ax
+
By
+
C
=
0:
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
√
A
2
+
B
2
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W naszej sytuacji mamy:
|
2
· (−
1
) −
3
·
4
+
2
|
√
9
+
4
=
| −
2
−
12
+
2
|
√
13
=
=
12
√
13
=
12
√
13
13
.
Odpowied´z:
12
√
13
13
b) Co to znaczy, ˙ze 3 punkty s ˛
a wierzchołkami trójk ˛
ata? – to znaczy, ˙ze nie le ˙z ˛
a na jed-
nej prostej. Musimy zatem sprawdzi´c, ˙ze punkt D
= (−
1, m
)
nie le ˙zy na prostej AB.
Poniewa ˙z wyliczyli´smy ju ˙z równanie tej prostej, nie ma z tym problemu (wstawiamy
współrz˛edne tego punktu do równania prostej i patrzymy, ˙ze nie wyjdzie 0):
2
· (−
1
) −
3m
+
2
=
3m
6=
0.
Z
ADANIE
5
(6
PKT
.)
Dany jest wielomian Q
(
x
) =
2x
3
−
3x
2
−
3x
+
d.
a) Liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz d.
b) Dla d
=
2 przedstaw wielomian Q w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwsze-
go.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Poniewa ˙z 1 jest pierwiastkiem, to
0
=
Q
(
1
) =
2
−
3
−
3
+
d
= −
4
+
d.
St ˛
ad d
=
4.
Odpowied´z: d
=
4
b) ˙Zeby znale´z´c pierwiastki całkowite (lepiej zacz ˛
a´c od nich zanim spróbujemy z wymier-
nymi), wstawiamy do wielomianu dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby -1,1,-2,2 tak
długo a ˙z dla jakiej´s wyjdzie 0 – wychodzi ju ˙z dla -1 . Jak ju ˙z mamy pierwiastek, to dzie-
limy wielomian przez
(
x
+
1
)
. Robimy to tak jak umiemy, schemat Hornera, dzielenie
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to t ˛
a ostatni ˛
a
metod ˛
a:
2x
3
−
3x
2
−
3x
+
2
=
=
2
(
x
3
+
x
2
) −
2x
2
−
3x
2
−
3x
+
2
=
=
2x
2
(
x
+
1
) −
5x
2
−
3x
+
2
=
=
2x
2
(
x
+
1
) −
5
(
x
2
+
x
) +
5x
−
3x
+
2
=
=
2x
2
(
x
+
1
) −
5x
(
x
+
1
) +
2x
+
2
=
=
2x
2
(
x
+
1
) −
5x
(
x
+
1
) +
2
(
x
+
1
) =
= (
x
+
1
)(
2x
2
−
5x
+
2
)
.
Pozostało teraz rozło ˙zy´c 2x
2
−
5x
+
2. Robimy to standardowo,
∆
=
25
−
16
=
9
=
3
2
.
St ˛
ad
x
1
=
5
−
3
4
=
1
2
x
1
=
5
+
3
4
=
2.
Mamy zatem szukany rozkład
2x
3
−
3x
2
−
3x
+
2
=
2
(
x
+
1
)
x
−
1
2
(
x
−
2
)
.
Odpowied´z: 2
(
x
+
1
)
x
−
1
2
(
x
−
2
)
Z
ADANIE
6
(4
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c
2
32
−
32
2
2
16
+
32
x
>
2
10
−
2
21
. Podaj najmniejsz ˛
a liczb˛e całkowit ˛
a spełniaj ˛
ac ˛
a t˛e
nierówno´s´c.
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy podan ˛
a nierówno´s´c
2
32
−
2
10
2
16
+
2
5
x
>
2
10
(
1
−
2
11
)
2
10
(
2
22
−
1
)
2
5
(
2
11
+
1
)
x
>
2
10
(
1
−
2
11
)
/
·
2
5
(
2
11
+
1
)
2
10
(
2
22
−
1
)
x
>
2
5
(
1
−
2
11
)(
2
11
+
1
)
(
2
22
−
1
)
x
>
2
5
(
1
−
2
11
)(
1
+
2
11
)
(
2
22
−
1
)
x
>
2
5
(
1
2
− (
2
11
)
2
)
(
2
22
−
1
)
x
>
2
5
(
1
−
2
22
)
/ :
(
2
22
−
1
)
x
> −
2
5
x
> −
32.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Mamy st ˛
ad zbiór rozwi ˛
aza ´n
(−
32,
+
∞
)
. Najmniejsze całkowite rozwi ˛
azanie to oczywi´scie
x
= −
31.
Odpowied´z:
(−
32,
+
∞
)
, -31
Z
ADANIE
7
(4
PKT
.)
Uzasadnij, ˙ze nie istnieje trójk ˛
at prostok ˛
atny, w którym przeciwprostok ˛
atna ma długo´s´c 24,
a k ˛
aty ostre α i β s ˛
a takie, ˙ze cos α
=
3
4
i tg β
=
4
3
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Najwa ˙zniejsze przy rozwi ˛
azywaniu tego zadania jest ustalenie dlaczego taki trójk ˛
at miałby
nie istnie´c?
Podane informacje s ˛
a dwóch typów. Funkcje trygonometryczne k ˛
atów zale ˙z ˛
a tylko od
k ˛
atów, a wi˛ec od kształtu trójk ˛
ata, a nie od jego wielko´sci. Innymi słowy, miary k ˛
atów (czy
ich funkcje trygonometryczne) nie maj ˛
a nic do rzeczy z długo´sciami boków (maj ˛
a za to z
ilorazami tych długo´sci). Zatem informacja, ˙ze przeciwprostok ˛
atna ma długo´s´c 24 jest zu-
pełnie bezu ˙zyteczna; je ˙zeli by te warunki z k ˛
atami były ok, to istniałby trójk ˛
at o dowolnej
przeciwprostok ˛
atnej. A jak nie s ˛
a, to niezale ˙znie od przeciwprostok ˛
atnej, takiego trójk ˛
ata
nie ma.
Kolejne pytanie, to dlaczego warunki z k ˛
atami maj ˛
a uniemo ˙zliwia´c istnienie trójk ˛
ata?
Odpowied´z jest bardzo prosta, poniewa ˙z trójk ˛
at ma by´c prostok ˛
atny, to β
=
90
◦
−
α
i tg β
jest jednoznacznie wyznaczony przez cos α (bo sin α mo ˙zemy wyliczy´c z jedynki trygono-
metrycznej). Je ˙zeli trójk ˛
ata ma nie by´c, to widocznie dla podanych liczb si˛e to nie zgadza.
Dobrze, skoro wiemy co mamy zrobi´c, to robimy – wyliczymy tg β z cos α.
sin
2
α
=
1
−
cos
2
α
=
1
−
9
16
=
7
16
.
Poniewa ˙z α jest k ˛
atem ostrym, mamy st ˛
ad sin α
=
√
7
4
. Mo ˙zemy teraz wyliczy´c tg β:
tg β
=
tg
(
90
◦
−
α
) =
ctg α
=
cos α
sin α
=
3
4
√
7
4
=
3
√
7
6=
4
3
.
Skoro si˛e nie zgadza, to trójk ˛
ata nie ma.
Z
ADANIE
8
(6
PKT
.)
Ci ˛
ag arytmetyczny
(
a
n
)
jest okre´slony wzorem a
n
=
1
4
(
3n
+
1
)
dla n
>
1.
a) Sprawd´z, którym wyrazem ci ˛
agu
(
a
n
)
jest liczba 37
3
4
.
b) W´sród pi˛e´cdziesi˛eciu pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu a
n
s ˛
a wyrazy b˛ed ˛
ace liczbami cał-
kowitymi. Oblicz sum˛e wszystkich tych wyrazów.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Musimy rozwi ˛
aza´c równanie
1
4
(
3n
+
1
) =
37
3
4
/
·
4
3n
+
1
=
151
3n
=
150
n
=
50.
Odpowied´z: n
=
50
b) ˙Zeby zobaczy´c o co chodzi, najlepiej wypisa´c kilka pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu:
a
1
=
1
4
·
4, a
2
=
1
4
·
7, a
3
=
1
4
·
10, a
4
=
1
4
·
13, a
5
=
1
4
·
16, a
6
=
1
4
·
19, . . .
Jak si˛e wypisze jeszcze troch˛e to jest jasne, ˙ze wyrazy całkowite, to a
1
, a
5
, a
9
, a
13
, . . ., czyli te
dla których n
=
4k
+
1 (nie b˛edziemy tego robi´c, ale gdyby kto´s chciał uzasadni´c t˛e nasz ˛
a
obserwacj˛e, to trzeba sprawdzi´c, ˙ze dla liczb postaci n
=
4k, n
=
4k
+
2 i n
=
4k
+
3, a
n
nie
wychodzi całkowite – sprawdzenie tego jest do´s´c proste). Musimy zatem obliczy´c sum˛e
S
=
a
1
+
a
5
+
a
9
+
a
13
+ · · · +
a
49
=
=
1
+
4
+
7
+
10
+ · · · +
37.
Poniewa ˙z jest to suma wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego (o ró ˙znicy 3), to
S
=
1
+
37
2
·
13
=
247.
Sk ˛
ad wzi˛eli´smy ilo´s´c wyrazów? Jak mówili´smy, indeksy wyrazów s ˛
a postaci 4k
+
1 oraz
pierwszy (czyli a
1
) jest dla k
=
0, a ostatni (a
49
) dla k
=
12. Jest ich zatem 13.
Odpowied´z: S
=
247
Z
ADANIE
9
(4
PKT
.)
Powierzchnia boczna sto ˙zka po rozwini˛eciu na płaszczyzn˛e jest wycinkiem koła o promie-
niu 3 i k ˛
acie ´srodkowym 120
◦
(zobacz rysunek). Oblicz obj˛eto´s´c tego sto ˙zka.
R
OZWI ˛
AZANIE
Aby obliczy´c obj˛eto´s´c sto ˙zka, potrzebujemy promie ´n podstawy r i wysoko´s´c H. Zauwa ˙zmy,
˙ze długo´s´c łuku podanego wycinka kołowego, to dokładnie długo´s´c okr˛egu w podstawie
sto ˙zka. Pozwoli nam to wyliczy´c promie ´n podstawy:
- długo´s´c łuku odcinka kołowego:
1
3
·
2π
·
3
=
2π,
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
- długo´s´c okr˛egu w podstawie: 2πr.
Mamy zatem 2πr
=
2π, czyli r
=
1 (równie dobrze mogli´smy wyliczy´c r, korzystaj ˛
ac ze
wzoru na pole powierzchni bocznej sto ˙zka).
Pozostało wyliczy´c H. Robimy to z twierdzenia Pitagorasa (rysunek):
H
=
p
3
2
−
1
2
=
√
8
=
2
√
2.
Korzystamy teraz ze wzoru na obj˛eto´s´c:
V
=
1
3
πr
2
H
=
1
3
π
·
1
·
2
√
2
=
2
√
2π
3
.
Odpowied´z:
2
√
2π
3
Z
ADANIE
10
(4
PKT
.)
W równoległoboku o obwodzie równym 144, wysoko´sci h
1
i h
2
spełniaj ˛
a warunek
h
1
h
2
=
3
5
.
Oblicz długo´sci boków tego równoległoboku.
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zacznijmy od schematycznego rysunku i oznaczmy podstawy na które s ˛
a opuszczone wy-
soko´sci h
1
i h
2
przez a i b odpowiednio. Ze wzoru na pole równoległoboku:
P
=
ah
1
=
bh
2
ah
1
=
bh
2
/ : h
2
a
h
1
h
2
=
b
a
·
3
5
=
b.
Oczywi´scie skorzystali´smy z zało ˙zenia
h
1
h
2
=
3
5
. Wiemy jeszcze, ˙ze 2a
+
2b
=
144. Otrzymu-
jemy st ˛
ad:
2a
+
2
·
a
·
3
5
=
144
a
2
+
2
·
3
5
=
144
16
5
a
=
144
a
=
45.
Ponadto b
=
3
5
a
=
27.
Odpowied´z: 27 i 45
Z
ADANIE
11
(3
PKT
.)
Dane s ˛
a zbiory liczb całkowitych:
{
1, 2, 3, 4, 5
}
i
{
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
}
. Z ka ˙zdego z tych zbiorów
wybieramy losowo po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze suma wylosowanych
liczb b˛edzie podzielna przez 5.
R
OZWI ˛
AZANIE
Wszystkich mo ˙zliwo´sci wylosowania pierwszej liczby jest 5 a drugiej 7, czyli razem 5
·
7
=
35. Łatwo policzy´c, ˙ze zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest 7:
(
1, 4
)
,
(
2, 3
)
,
(
3, 2
)
,
(
3, 7
)
,
(
4, 1
)
,
(
4, 6
)
,
(
5, 5
)
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Szukane prawdopodobie ´nstwo wynosi zatem
7
35
=
1
5
.
Odpowied´z:
1
5
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11