Ju¿ wiosna

Matura za pasem. Reforma egzaminu maturalne-

go zmieni oblicze polskiej szko³y. Wierzmy, ¿e na lep-
sze. Ale nie o tym przecie¿ chcemy pisaæ w k¹ciku ma-
tematycznym. Jednak trudno mi siê powstrzymaæ od
gorzkiej refleksji, po us³yszeniu w tramwaju warszaw-
skim wypowiedzi pewnej licealistki do swojej kole¿an-
ki: „Wiesz, wybieram siê na matematykê. Tam s¹ kom-
putery i nie trzeba bêdzie du¿o myœleæ”. I to jest bez-
poœrednia przyczyna takiego w³aœnie wyboru tematu
do bie¿¹cej edycji k¹cika.

Myœlenie a matematyka?

Prawie niezauwa¿ona minê³a niedawno 150.

rocznica jednego z najwa¿niejszych wydarzeñ w histo-
rii matematyki. 10 czerwca 1854 roku dwudziestooœ-
mioletni Bernhard Riemann wyg³osi³ na uniwersytecie
w Getyndze swój wyk³ad habilitacyjny. Niemiecki tytu³
brzmia³ Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde liegen, co na polski mo¿na przet³umaczyæ tak,

jak tytu³ tego artyku³u. Wyk³ad siê uda³, Riemann zo-
sta³ docentem... i jednym z najs³ynniejszych matematy-
ków XIX wieku. Choæ nie do¿y³ nawet 40 lat, jego
osi¹gniêciami mo¿na by obdzieliæ z tuzin dobrej klasy
matematyków. To z jego nazwiskiem wi¹¿e siê tzw. hi-
poteza o zerach dzeta-funkcji, uchodz¹ca od blisko 150
lat za najwa¿niejszy nierozwi¹zany problem wspó³-
czesnej matematyki. Z du¿¹ przesad¹ (ale jest w tym
ziarno prawdy) mówi siê, ¿e po rozwi¹zaniu problemu
zer dzeta-funkcji nast¹pi koniec kryptografii.

W wyk³adzie przed 150 laty Bernhard Riemann

nie opowiedzia³ o tym, czego siê nauczy³, co udowodni³
on lub inni matematycy, nie opowiada³ interesuj¹co
w efektownym (dziœ powiedzielibyœmy: telewizyjnym)
stylu. Po prostu: wytyczy³ rozwój geometrii na co naj-
mniej kilkadziesi¹t lat. Ot tak, po prostu. Wzi¹³ i wyty-
czy³. Zrobi³ to tak, ¿e od tej chwili my patrzymy ju¿ ina-
czej na przestrzeñ. My, to znaczy kto? OdpowiedŸ jest
prosta. Matematycy, fizycy i filozofowie. Wielu innych
myœl¹cych ludzi.

Ludzie od zawsze interesowali siê przestrzeni¹.

Jedni chc¹ j¹ eksplorowaæ i po sukcesie wyprawy na
Tytana projektuj¹ dalsze nak³ucia bezkresu kosmosu.
Inni tylko o tej przestrzeni myœl¹. Matematycy potrze-
buj¹ oczywiœcie precyzji. Geometria zosta³a ujêta za-
tem w aksjomaty. Zapamiêta³em taki oto fragment opo-
wiadania nieznanego mi autora. Kowboje znaj¹ sposób
skrêpowania byczka tak, ¿e zwierzê nie mo¿e siê poru-
szyæ ani pomyœleæ. Taki wêze³ nazywa siê hog-tie i to
w³aœnie Euklides zrobi³ z geometri¹.

Riemann zacz¹³

swój wyk³ad tak

1)

:

Geometrya, jak

wiadomo, przyjmuje jako
coœ danego zarówno pojê-
cie przestrzeni, jak i pier-
wsze zasadnicze pojêcia
dla konstrukcyj w przes-
trzeni. Tych pojêæ daje ona
tylko okreœlenia nominal-

ne, gdy tymczasem istotne oznaczenia wystêpuj¹ w for-
mie pewników (aksjomatów). Stosunek tych za³o¿eñ po-
zostaje przytem w ciemnoœci; nie widaæ ani czy i ile ich
po³¹czenie jest konieczném, ani a priori, czy jest mo-
¿ebném.

Postawi³ sobie zatem (i innym matematykom)

dwa zasadnicze cele: „stworzyæ ogólne pojêcie przes-
trzeni i wyjaœniæ stosunki miarowe w takich przestrze-
niach”. To jest obecne, wspó³czesne sformu³owanie te-
go zagadnienia. 150 lat temu wszystko jeszcze by³o

„w ciemnoœciach”. Na wstêpie wyk³adu Riemann wy-
ra¿a nadziejê, ¿e mo¿e liczyæ na wyrozumia³y os¹d
swoich rozwa¿añ, poniewa¿ nie jest wprawny w pra-
cach tego rodzaju natury filozoficznej, gdzie trudnoœci
spoczywaj¹ bardziej w pojêciach, ani¿eli w konstrukcyi,
i ¿e nie mog³em korzystaæ z ¿adnych prac poprzednich,
prócz z kilku bardzo krótkich wskazañ, które o tym
przedmiocie da³ Pan Tajny Radca Dworu Gauss.

Widaæ zatem, ¿e zdawa³ sobie sprawê m³ody

uczony, ¿e porusza siê na granicy matematyki i filozofii.
Trudno powiedzieæ, czy pamiêta³ s³owa Eulera: Mate-
matyk, dopóki jest matematykiem, nie musi paraæ siê fi-
lozofi¹.

Przestrzeñ, jaka jest, ka¿dy widzi

Czytelnik mo¿e siê zdziwiæ: o co tyle ha³asu?

Przestrzeñ, to... no, no, ... I w³aœnie, pojêcie oczywistoœ-
ci zaczyna zanikaæ, gdy wyobra¿amy sobie czarne dziu-
ry czy tak czêste u Lema wiry czasoprzestrzenne, ugiê-
cie œwiat³a, antymateriê i wreszcie to, co Alicja (ta
z Krainy Czarów) zobaczy³a po drugiej stronie lustra.
Czy mo¿na zrozumieæ przestrzeñ bez chwytów reto-
rycznych, literackich upiêkszeñ i dziennikarskiej ten-
dencji do tropienia sensacji? Riemann pisze:

Wielokrotnie rozci¹g³a wielkoœæ nadaje siê do roz-

maitych stosunków miarowych, ¿e przestrzeñ wiêc sta-
nowi tylko szczególny przypadek trójkrotnie roz-
ci¹g³éj wielkoœci.(...). Twierdzenia geometryi nie daj¹ siê
wyprowadziæ z ogólnych pojêæ wielkoœciowych; w³as-

m a t e m a t y k a

M

Ł

ODY

TECHNIK

3/2005

5

50

0

M i c h a ł S z u r e k

O HIPOTEZACH, KTÓRE LEŻĄ

U PODSTAW GEOMETRII

TEKST TRUDNY

!!!

„ W i e s z , w y b i e r a m s i ę n a m a t e m a t y k ę .

Ta m s ą k o m p u t e r y i n i e t r z e b a b ę d z i e d u ż o m y ś l e ć ”

noœci któremi przestrzeñ wyró¿nia siê od innych pomyœ-
leæ siê daj¹cych trójk¹tnie rozci¹g³ych wielkoœci, mog¹
byæ powziête tylko z doœwiadczenia (Erfahrung). Zt¹d
powstaje zadanie odszukania najprostszych faktów
(Thatsachen), z których oznaczyæ siê daj¹ stosunki mia-
rowe przestrzeni - zadanie, które wedle istoty rzeczy nie
jest jeszcze zupe³nie oznaczoném; albowiem mo¿na
wskazaæ wiele uk³adów najprostszych faktów wystar-
czaj¹cych do oznaczenia stosunków miarowych przes-
trzeni.

Mo¿na to zrozumieæ tak, ¿e Riemannowi chodzi

o podanie okreœlenia przestrzeni w sensie arystotele-
sowskiej zasady definitio fit per genus proximum et dif-
ferentia specifica, czyli przez podanie najbli¿szego ro-
dzaju i ró¿nicy gatunkowej. Okreœlaj¹c kwadrat jako
„prostok¹t o równych bokach”, wskazujê, ¿e nale¿y on
do rodzaju prostok¹tów, a ró¿nic¹ gatunkow¹ jest dla
kwadratu „posiadanie równych boków”. Ale, nawi¹zu-
j¹c do zabawnego pytania: Czym siê ró¿ni wróbel (od-
powiedŸ: ma jedn¹ nó¿kê bardziej), zapytajmy, czym
siê ró¿ni przestrzeñ?

Temat polityczny

Chcê zwróciæ uwagê, ¿e zarówno Gauss (nazy-

wany w XIX wieku zgodnie ksiêciem matematyków),
jak i Riemann pochodzili z ubogich, prostych rodzin. Oj-
ciec Gaussa w dzisiejszej terminologii by³by nazwany
ch³oporobotnikiem, ojciec Riemanna by³ ubogim pasto-
rem wiejskim, a profesorem Riemanna w Berlinie Jo-
hannes Benedict Listing, którego ojciec ¿y³ z wyrobu
i sprzeda¿y szczotek. To Listing (syn, nie ojciec-szczot-
karz) u¿y³ po raz pierwszy terminu „topologia” na oz-
naczenie dyscypliny, która w kilkadziesi¹t lat potem
rozs³awi³a polsk¹ matematykê na ca³ym œwiecie.

Gdzie tu polityka? Mo¿e nie ma jej za du¿o. To

taki mój g³os w dyskusji nad tym, czy oœwiata i wy-
kszta³cenie jest dobrem do kupienia, czy jest prawem
naturalnym ka¿dego? Wymienieni trzej uczeni chodzili
do zwyk³ych szkó³ ludowych i zostali dostrze¿eni. Wi-
daæ oœwiata ludowa nie by³a w Niemczech na z³ym po-
ziomie, a talenty nie zawsze ginê³y.

Koniec z polityk¹, wchodzimy do przestrzeni

Po studiach w Berlinie Riemann mia³ dobr¹ wie-

dzê z fizyki. Mo¿e dlatego z trzech tematów zapropono-
wanych Radzie Wydzia³u jako wyk³ad habilitacyjny
dwa dotyczy³y elektrycznoœci. Tymczasem wybrano te-
mat geometryczny. Podobno Riemann bardzo siê tego
przestraszy³, uciek³ w chorobê, uzyskawszy jednak od-
roczenie terminu. W koñcu, jak wiemy, wyk³ad siê po-

myœlnie odby³... i tyle. Opublikowany zosta³ w wiele lat
póŸniej, w³aœnie gdy zrozumiano, ¿e wytycza, ¿e k³a-
dzie podwaliny, ¿e kieruje, ¿e po prostu wyprzedzi³
swoj¹ epokê. Wtedy w³aœnie, gdy „nadszed³ jego
czas”. Bywa tak czêsto.

Pierwsz¹ czêœæ swojego wyk³adu zatytu³owa³

Riemann „Pojêcie n-krotnie rozci¹g³ej wielkoœci” (Beg-
riff einer n fach ausgedehnten Grösse). Nawet w wiele
lat po Riemannie dla matematyków XIX wieku nie by³o
wcale oczywiste, ¿e wielowymiarowym przestrzeniom
nale¿y poœwiêcaæ wiele uwagi.

Riemann du¿o pisze o „stosunkach miarowych”.

Wreszcie przechodzi do „konkretów”, choæ w kluczo-
wym miejscu ucieka siê do zwrotu, który w dzisiej-
szych podrêcznikach szkolnych jest niezmiennie, sta-
nowczo i konsekwentnie ganiony przez recenzentów:
„³atwo domyœliæ siê”. W t³umaczeniu Jacka Dembka
fragment ten brzmi:

Za³ó¿my, ¿e pewnemu pojêciu odpowiada zbiór

sposobów oznaczeñ tworz¹cych rozmaitoœæ ci¹g³¹, przy
czym od jednego sposobu do innego mo¿na przejœæ na
jeden, okreœlony sposób (...). WyobraŸmy sobie dalej, ¿e
taka rozmaitoœæ przechodzi w inn¹, ca³kiem ró¿n¹ i to
znów w jeden, okreœlony sposób, to znaczy, ¿e jej ka¿dy
punkt przechodzi w okreœlony punkt drugiej. Wówczas
wszystkie sposoby oznaczenia, przez które przechodzi
siê, tworz¹ dwukrotnie rozci¹g³¹ rozmaitoœæ. W podob-
ny sposób otrzymujemy trzykrotnie rozci¹g³¹ rozmai-
toœæ, gdy wyobrazimy sobie, ¿e dwukrotnie rozci¹g³a
rozmaitoœæ przechodzi w okreœlony sposób w inn¹. £at-
wo domyœliæ siê, w jaki sposób mo¿na tê konstrukcjê
poprowadziæ dalej.

Nastêpne zdanie w pracy Riemanna jest byæ mo-

¿e kwintesencj¹ ca³ego pomys³u. W oryginale brzmi tak:

Wenn man, anstatt den Begriff als bestimmbar,

seinen Gegenstand als veränderlich betrachtet, so kann
diese Construction bezeichnet werden als eine Zusam-
mensetzung einer Veränderlichkeit von n+1 Dimensio-
nen aus einer Veränderlichkeit von n Dimensionen und
aus einer Veränderlichkeit von Einer Dimension.

Nie trzeba znaæ niemieckiego, ¿eby zrozumieæ,

¿e chodzi tu o indukcyjn¹ definicjê wymiaru n+1: wiel-
koœæ wymiaru n+1 powstaje, gdy pewn¹ wielkoœæ wy-
miaru n potraktujemy jako zmienn¹, przemieszczaj¹c¹
siê w innym, pojedynczym wymiarze. Takie to proste.
Czy to naprawdê by³o tak wielkie odkrycie? A dlaczego
nie mo¿na tego by³o napisaæ krótko i prosto? Ka¿dy na
to ³atwo odpowie, gdy zda sobie sprawê, jak potoczy-
³yby siê losy bitwy pod Waterloo, gdyby Napoleon mia³
³¹cznoœæ komórkow¹ ze swoimi genera³ami.

3/2005

Czy Newton naprawdê wszystko
zawdziêcza drzemce pod jab³on-
k¹?

Nie tylko dziennikarze zawo-

dowi lubi¹ robiæ ze wszystkiego
sensacje. Wyk³ad Riemanna przed-
stawiany jest niekiedy w konwencji
„jab³ko Newtona”: ¿e Newton nic
nie wiedzia³, zdrzemn¹³ siê pod jab-
³onk¹, dosta³ jab³kiem w g³owê i za-
nim pies ogonem merdn¹³, teoria
grawitacji by³a gotowa.

Idee, które zmieni³y nasze

myœlenie o przestrzeni, z pewnoœci¹
nie przysz³y Riemannowi do g³owy
nagle. Nie by³o to olœnienie, jakie
byæ mo¿e mia³ Adam Mickiewicz,
pisz¹c o swoim czterdzieœci i cztery.
Idee musia³y siê odle¿eæ, przejœæ proces inkubacji i pod
wp³ywem pozytywnego stresu, jaki prze¿ywa³ Rie-
mann, mog³y siê tak piêknie uzewnêtrzniæ. Odkrycia
naukowe nigdy nie objawiaj¹ siê uczonym w gotowej,
piêknie opakowanej postaci, z gotowymi formu³ami
i ekonomicznymi wzorami.

Co jeszcze zobaczy³ Bernhard Riemann w przestrzeni?

Drug¹ czêœæ wyk³adu poœwiêci³ Riemann pojêciu

krzywizny. Czy mo¿na sobie wyobraziæ, ¿e przestrzeñ,
w której ¿yjemy, nasz zwyk³y kosmos, jest byæ mo¿e
krzyw¹? Co to znaczy?

Do dziœ zakrzywienie przestrzeni uchodzi za jed-

n¹ z niemo¿liwych do zrozumienia sztuczek fizyków.
Clive Staple Lewis (Odrzucony obraz) pisze:

Nowoczesna fizyka nie przemawia do rzesz bez

przypowieœci. Takie wyobra¿enie jak „zakrzywienie
przestrzeni” daje siê œciœle porównaæ do starej definicji
Boga jako „ko³a, którego œrodek jest wszêdzie, a obwód
nigdzie”. Oba skutecznie sugeruj¹; ka¿de czyni to,
przedstawiaj¹c to, co na poziomie naszego zwyk³ego
myœlenia jest nonsensem. Przyjmuj¹c „zakrzywienie
przestrzeni”, nie „wiemy” ani nie cieszymy siê „prawd¹”
na sposób, który kiedyœ uwa¿ano za mo¿liwy.

Riemann zrozumia³ w³aœnie, ¿e... krzywiznê da

siê zrozumieæ, ¿e mo¿na j¹ zobaczyæ, prawie dotkn¹æ,
nie wychodz¹c z przestrzeni, w której ¿yjemy. Wystar-
czy sprawdziæ, czy k¹ty trójk¹tów sumuj¹ siê zawsze
do 180 stopni. I znowu Czytelnik siê zdziwi: przecie¿

to jest udowodnione matematycz-
nie, tego uczymy siê w szko³ach. To
pewne i niewzruszone.

Dotykamy ró¿nicy miêdzy ma-

tematyk¹ a fizyk¹. W modelu mate-
matycznym naszej przestrzeni istot-
nie suma k¹tów ka¿dego trójk¹ta
jest równa 180 stopni. Ale.... jak
dok³adny jest to model? Prawdziwy
do koñca czy tylko przybli¿ony?

Ju¿ w latach 1821-23 Gauss

przeprowadzi³ pomiar, maj¹cy wyka-
zaæ, czy przestrzeñ jest zakrzywiona,
czy nie. Na wierzcho³kach trzech gór:
Brocken, Hohenhagen i Inselberg ko-
³o Getyngi, odleg³ych od siebie
o wiele kilometrów, ustawiono przy-
rz¹dy, z najwiêksz¹ mo¿liw¹ precyzj¹
zmierzono trzy k¹ty, dodano... i po

uwzglêdnieniu b³êdów pomiaru otrzymano 180 stopni.
W 90 lat potem Albert Einstein stworzy³ teoriê wzglêd-
noœci, w której uzasadnia³, ¿e wszêdzie, gdzie jest mate-
ria, przestrzeñ musi siê zakrzywiaæ.

Wiemy, jak mierzyæ krzywiznê czasoprzestrzeni.

Trzeba „tylko” patrzeæ, co siê dzieje z dwiema cz¹stka-
mi, poruszaj¹cymi siê pocz¹tkowo doœæ blisko siebie
i równolegle, z tymi samymi prêdkoœciami. Gdy bêd¹
zbli¿aæ siê lub oddalaæ, bêdzie to znaczyæ, ¿e przestrzeñ
jest zakrzywiona i ze zmiennoœci odleg³oœci miêdzy nimi
wyznaczymy „tensor krzywizny”. W latach 1974-1975
odpowiednie doœwiadczenie przeprowadzono w obser-
watorium w Green Bank w USA, wybieraj¹c jako Ÿród³a
mikrofal trzy dalekie radioŸród³a na niebie, które le¿¹
prawie na jednej linii prostej, a œrodkowe jest wiosn¹
ka¿dego roku zaæmiewane przez S³oñce, co mo¿e spo-
wodowaæ ugiêcie siê fali od tego Ÿród³a. Eksperyment
wymaga³ niezwykle du¿ej dok³adnoœci, bo przewidywa-
na wielkoœæ odchylenia mia³a wynosiæ zaledwie 1 3/4
sekundy k¹towej (sekunda to 1/3600 czêœæ stopnia). Ek-
speryment powiód³ siê: w ci¹gu dwóch kolejnych wio-
sen zmierzono ugiêcie 1,76 sekundy (z b³êdem 0,016 se-
kundy) i stanowi³o to kolejne potwierdzenie ogólnej teo-
rii wzglêdnoœci. Czy nie czujemy wszyscy, ¿e ¿yjemy
w Zakrzywionej Przestrzeni??

1)

Według przekładu Samuela Dicksteina (1877). Współczesne polskie tłuma-
czenie: Jacek Dembek, „Matematyka, społeczeństwo, nauczanie”. Nr 4 ,
styczeń 1990.

Suma kątów w trójkącie nie równa
się 180°, bo przezstrzeń jest zakrzy-
wiona.

m a t e m a t y k a

M

Ł

ODY

TECHNIK

3/2005

5

52

2