Politechnika Warszawska

Szko la Nauk Technicznych i Spo lecznych w P locku

Projekt UE: Program Rozwojowy Politechniki

Warszawskiej

Program Operacyjny Kapita l Ludzki, Priorytet IV.

Szkolnictwo Wy˙zsze i Nauka, Dzia lanie 4.1.

”Wzmocnienie i rozw´

oj potencja lu dydaktycznego uczelni oraz zwi¸ekszenie liczby

absolwent´

ow kierunk´

ow o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy.”

Poddzia lanie 4.1.1 ”Wzmocnienie potencja lu dydaktycznego uczelni.”

Zbi´

or zada´

n

na zaj¸ecia wyr´

ownawcze z matematyki

EKONOMIA

P lock 2009/2010

Zadania na zaj¸ecia wyr´

ownawcze z matematyki

P lock 2009/2010

Spis tre´

sci

Wst¸

ep

3

1

Logika

4

1.1

Rachunek zda´

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

Wyra ˙zenia algebraiczne

7

2.1

Wzory skr´

oconego mno˙zenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Upraszczanie wyra˙ze´

n algegraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

R´

ownania i nier´

owno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3

Zbiory i dzia lania na zbiorach

10

3.1

Zbiory liczbowe i relacja zawierania zbior´

ow . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2

Dzia lania na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.3

Interpretowanie na osi liczbowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4

Warto´

s´

c bezwzgl¸

edna i jej w lasno´

sci

13

4.1

R´

ownania z warto´sci¸

a bezwzgl¸edn¸

a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.2

Nier´

owno´sci z warto´sci¸

a bezwzgl¸edn¸

a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.3

Graficzne rozwi¸

azywanie uk lad´

ow r´

owna´

n i nier´

owno´sci z warto´sci¸

a bez-

wzgl¸edn¸

a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5

Pot¸

egowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych

16

5.1

W lasno´sci dzia la´

n na pot¸egach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

5.2

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´sci niewymiernych

. . . . . . . . . . . .

17

6

Ci¸

agi liczbowe

19

6.1

W laso´sci ci¸

agu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

6.2

Obliczanie granic ci¸

ag´

ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

6.3

Ci¸

ag arytmetyczny i jego w lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

6.4

Ci¸

ag geometryczny i jego w lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1

7

Funkcje zmiennej rzeczywistej i ich w lasno´

sci

24

7.1

Okre´slanie dziedziny i zbioru warto´sci funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

7.2

Badanie parzysto´sci i nieparzysto´sci funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

7.3

Badanie r´

o˙znowarto´sciowo´sci i monotoniczno´sci funkcji . . . . . . . . . . .

25

7.4

Przekszta lcanie wykres´

ow funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

8

Funkcja kwadratowa

27

8.1

Wykres funkcji kwadratowej i jej w lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8.2

Wzory Viete’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

8.3

R´

ownania i nier´

owno´sci liniowe i kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

9

Funkcja wielomianowa

30

9.1

Rozk ladanie wielomianu na iloczyn wielomian´

ow . . . . . . . . . . . . . . .

30

9.2

Wykresy funkcji wielomianowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

9.3

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´sci wielomianowych . . . . . . . . . . . .

31

9.4

Wyznaczanie dziedziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

9.5

Funkcja homograficzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

9.6

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´sci wymiernych . . . . . . . . . . . . . .

32

10 Funkcja wyk ladnicze

34

10.1 Wykres funkcji wyk ladniczej i jej w lasno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

10.2 Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´sci wyk ladniczych . . . . . . . . . . . . .

35

11 Funkcja logarytmiczna

36

11.1 Dzia lania na logarytmach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

11.2 Wykres i w lasno´sci funkcji logarytmicznej

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

11.3 Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´sci logarytmicznych . . . . . . . . . . . .

37

12 Funkcje trygonometryczne

38

12.1 Wykresy funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

12.2 Wzory redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

12.3 R´

ownania i nier´

owno´sci trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

13 Elementy kombinatoryki i rachunku prawdopodobie´

nstwa

40

13.1 Silnia i wz´

or Newtona

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

13.2 Elementy kombinatoryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

13.3 Klasyczna definicja funkcji prawdopodobie´

nstwa i jej w lasno´sci . . . . . . .

42

2

Wst¸

ep

Skrypt powsta l dzi¸eki projektowi UE: Program rozwojowy Politechniki Warszawskiej.

Celem tego zbioru jest usystematyzowanie wiadomo´sci z matematyki programu szko ly

´sredniej studentom kierunku Ekonomia. Zwr´

ocili´smy szczeg´

oln¸

a uwag¸e na te tre´sci, kt´

ore

podczas kszta lcenia zostaj¸

a wykorzystane i poszerzone nie tylko na przedmiocie matem-

atyka, ale r´

ownie˙z w innych dziedzinach podczas studi´

ow I stopnia na tym kierunku. Mamy

nadziej¸e, ˙ze zaj¸ecia wyr´

ownawcze pomog¸

a wielu studentom opanowa´

c tre´sci programowe

wymaganych przedmiot´

ow.

AUTORZY

3

Rozdzia l 1

Logika

1.1

Rachunek zda´

n

DEFINICJA Zdaniem (zdaniem w sensie logiki) b¸edziemy nazywali takie zdanie, kt´

ore

jest prawdziwe lub fa lszywe.

i-∧,

p ∧ q- koniunkcja zda´

n,

lub-∨,

p ∨ q- alternatywa zda´

n,

je´sli . . ., to -⇒,

p ⇒ q- implikacja zda´

n,

wiw-⇔,

p ⇔ q- r´

ownowa˙zno´s´

c zda´

n,

nie-∼,

∼ p- negacja (zaprzeczenie zdania).

Tabele warto´sci logicznych:

w(p)

w(q)

w(p ∧ q)

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

,

w(p)

w(q)

w(p ∨ q)

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

,

w(p)

w(q)

w(p ⇒ q)

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

,

4

w(p)

w(q)

w(p ⇔ q)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

,

p

∼ p

0

1

1

0

.

w(p)

w(q)

w(p ⇔ q)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

,

p

∼ p

0

1

1

0

.

1. Sprawd´

z, czy nast¸epuj¸

ace wyra˙zenia s¸

a tautulogiami:

a) [(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ (q ⇒ p),

b) [(p ∨ q) ∧ (∼ p)] ⇒ q,

c) [(p ∨ q) ⇒ (p∨ ∼ q)] ⇒ (∼ p ∨ q),

d) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ q) ⇔ p]

e) [∼ (p ⇒ q)] ⇔ [p ∧ (∼ q)],

f) [(p ⇒ q) ⇒ (p∨ ∼ q)] ⇒ (∼ q ⇒ p).

2. Znajd´

z zaprzeczenia i okre´sl warto´s´

c logiczn¸

a zda´

n:

a) 4 ≤ 2 ∨ 4 /

∈ N,

b)

√

2 /

∈ Q ⇒

√

2 ∈ Q,

c) Je˙zeli nie kupi¸e lod´

ow, to kupi¸e czekolad¸e lub cukierki,

d) Je˙zeli kupi¸e banany, to kupi¸e mandarynki i nie kupi¸e jab lek.

3. Na przerwie, w czasie kt´

orej zbito doniczk¸e z kwiatkiem, zosta lo w klasie trzech

ch lopc´

ow: Jurek, Leszek i Wojtek. Na pytanie, kto rozbi l doniczk¸e ch lopcy udzielili

nast¸epuj¸

acych odpowiedzi

Jurek:Ja nie rozbi lem doniczki. Wojtek j¸

a zbi l .

Leszek:Wojtek nie zbi l . Jurek j¸

a zbi l .

Wojtek:Ja nie zbi lem doniczki. Leszek te˙z jej nie zbi l .

Ustal, kt´

ory z ch lopc´

ow zbi l doniczk¸e, wiedz¸

ac, ˙ze jeden z nich dwa razy sk lama l

drugi raz sk lama l i raz powiedzia l prawd¸e, a trzeci dwa razy powiedzia l prawd¸e.

5

1.2

Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory

Kwantyfikator og´

olny dla ka˙zdego, ozn. ∀.

Kwantyfikator szczeg´

o lowy istnieje, ozn. ∃.

∀

x∈X

φ(x) jest zdaniem prawdziwym ⇔ {x ∈ X : φ(x)} = X,

∃

x∈X

φ(x) jest zdaniem prawdziwym ⇔ {x ∈ X : φ(x)} 6= ∅.

PRAWA DE MORGANA

dla kwantyfikator´

ow:

(∼ ∀

x∈X

φ(x)) ⇔ (∃

x∈X

(∼ φ(x))),

(∼ ∃

x∈X

φ(x)) ⇔ (∀

x∈X

(∼ φ(x))).

1. Podaj wszystkie elementy nast¸epuj¸

acych zbior´

ow:

A = {x : x jest miesi¸

acem roku kalendarzowego };

B = {x : x ∈ N ∧ x ≤ 2};

C = {x : x ∈ N ∧ x = −1};

D = {x : x ∈ R ∧ x

2

= 2};

E = {x : x ∈ N ∧ x

2

= 2};

F = {x : x ∈ R ∧ x ≥ 3 ∧ x ≤ 3};

G = {x : x ∈ R ∧ (x

2

= 4 ∨ x > 0)};

H = {x : x ∈ R ∧ (x

2

= 4 ∧ x > 0)};

I = {x : x ∈ Q ∧ (x −

1
2

)

2

≤ 0},

J = {x : x ∈ Q ∧ (x −

1
2

)

2

≤ 0 ⇒ x ≤ 0}.

2. Czy prawdziwe jest zdanie:

∀

x∈R

√

x

2

= x,

∀

x∈R

√

x

2

+ 4x + 4 ≥ x + 2.

odpowied´

z uzasadnij. Zapisz zaprzeczenie tego zdania.

6

Rozdzia l 2

Wyra ˙zenia algebraiczne

PODSTAWOWE WZORY:

(a − b)(a + b) = a

2

− b

2

(a − b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

− b

3

(a + b)(a

2

− ab + b

2

) = a

3

+ b

3

(a + b)

2

= a

2

+ 2ab + b

2

(a + b)

3

= a

3

+ 3a

2

b + 3ab

2

+ b

3

TR ´

OJKA

¸ T PASCALA

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

..

.

(a + b)

7

= a

7

+ 7a

6

b + 21a

5

b

2

+ 35a

4

b

3

+ 35a

3

b

4

+ 21a

2

b

5

+ 7ab

6

+ b

7

7

2.1

Wzory skr´

oconego mno ˙zenia

1. Wykonaj dzia lania:

(

√

2 −

√

8)

2

, (a −

3

√

a)

3

, (

3

√

9 +

3

√

3 + 1)

3

, (1 −

√

a)

2

+ (1 +

√

a)

2

,

(

q

2 −

√

3 −

q

2 +

√

3)

2

, (

√

x − 1)

2

− (

√

x + 1)

2

, (

√

2 −

√

8)

4

.

2. Wykonaj dzia lania i przeprowad´

z redukcj¸e wyraz´

ow podobnych:

(1 − x)(1 + x)(1 + x

2

), (3x − 1)

3

− 3(x + 1)(x

2

− x + 1) + 2(x − 2)

2

,

(a

2

− 1)

3

− (a − 1)(a

2

+ 1)(a + 1) + 4a

2

(a

2

+ 1)

2.2

Upraszczanie wyra ˙ze´

n algegraicznych

1. Usu´

n niewymierno´s´

c z mianownika:

1

3

√

2 + 1

,

1

3

√

5 − 2

,

1

3

√

25 +

3

√

5 + 1

,

1

√

14 +

√

21 +

√

15 +

√

10

,

1

3

√

4 +

3

√

6 +

3

√

9

.

2. Doprowad´

z wyra˙zenia do najprostszej postaci:

x

x

2

− 9

−

1

x + 3

+

1

x

,

√

3 +

√

2

√

3 −

√

2

−

√

3 −

√

2

√

3 +

√

2

+

1 − 16

√

6

4

,

k − 1

k

2

+ k

·

2k

k

2

− 1

.

8

2.3

R´

ownania i nier´

owno´

sci

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania i nier´

owno´sci:

(x − 3)(x − 2)(x + 2) = (x − 1)

3

+ 6,

x −

1 −

3x

2

4

−

2 −

x

4

3

= 2,

1, 8 − 8x

1, 2

−

1, 3 − 3x

2

=

5x − 0, 4

0, 3

,

3(1, 2 − x)

10

−

5 + 7x

4

≤ x +

9x + 0, 2

20

−

4(13x − 0, 6)

5

,

(1 − 2x)

2

− 3(3x + 1)

2

> (3 − 2x)(3 + 2x) − 19x

2

.

2. Zilustruj w uk ladzie kartezja´

nskim zbiory opisane nier´

owno´sci¸

a lub nier´

owno´sciami:

3x − 5 ≥ 2y + 1,

(3x − 1)

2

− (x + 1)

2

− 3y < 8(x + 1)

2

,

(x − 1)

2

+ (y + 2)

2

≤ 25,

xy ≤ 1 ∧ x

2

+ y

2

≤ 36,

x

2

+ y

2

≤ 2x ∧ x + y ≤ 0 ∧ y ≥ x

3

,

x

2

+ 6x + y

2

− 4y ≥ −12iy

2

≥ x.

3. Czy zbiory rozwi¸

aza´

n r´

owna´

n s¸

a r´

owne:

x + 1 = 0 ,

x

2

− 1

x + 1

= 0,

12 − 2(x − 1)

2

= 4(x − 2) − (x − 3)(2x − 5), 3x − 9 = 0.

9

Rozdzia l 3

Zbiory i dzia lania na zbiorach

Oznaczenia:

N = {1, 2, 3 . . .} - zbi´

or liczb naturalnych,

Z = {. . . , −1, 0, 1, 2, 3 . . .} - zbi´

or ca lkowitych,

Q = {q : q =

k

m

, m, n ∈ Z} - zbi´or liczb wymiernych,

R - zbi´

or liczb rzeczywistych.

3.1

Zbiory liczbowe i relacja zawierania zbior´

ow

1. Dany jest zbi´

or A = {−

1
3

;

√

3; 0; 5;

5

√

8; 2, 71; −12; π; 125}. Wypisz:

a liczby naturalne,

b liczby ca lkowite,

c liczby wymierne,

d liczby niewymierne

nale˙z¸

ace do zbioru A i uporz¸

adkuj ten zbi´

or rosn¸

aco.

10

2. Znajd´

z liczb¸e wymiern¸

a a i niewymiern¸

a b takie, ˙ze 2, 64 < a < b <

√

7.

3. Wyka˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby ca lkowitej n liczba n

3

− n jest podzielna przez 6.

4. Czy spe lniona jest relacja zawierania:

a N ⊆ R

b N ⊆ Q

c {0, −1, 3,

1
3

} ⊆ Q

d {x : x

2

− 2 = 0} ⊆ Q.

3.2

Dzia lania na zbiorach

Niech A, B ⊆ X

Suma zbior´

ow: x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).

Iloczyn zbior´

ow: x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).

R´

o˙znica zbior´

ow: x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x /

∈ B).

Dope lnienie zbioru: x ∈ A

0

⇔ (x ∈ X ∨ x ∈ A).

PRAWA De’MORGANA:

(A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

(A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

1. Jaki jest zwi¸

azek mi¸edzy zbiorami A, B, je´sli:

a A ∪ B = A,

b A ∩ B = A,

c A ∪ B ⊆ B,

d A ∪ B = A ∩ B,

e A ⊆ A \ B.

11

2. Sprawd´

z na rysunkach, czy dla dowolnych zbior´

ow A, B, C ⊆ X zachodz¸

a r´

owno´sci:

a A ∪ (A ∩ B) = A,

b A ∩ (A ∪ B) = A,

c (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A),

d (A ∪ B)

0

= A

0

∪ (B

0

\ A),

i udowodnij prawdziwe.

3.3

Interpretowanie na osi liczbowej

1. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A

0

, B

0

; je˙zeli

a A = (−1, 3], B = [2, 5],

b A = [−π, 1), B = (−3, 14,

√

2),

c A = (−∞,

3

√

8), B = (1, ∞),

d A = (∞, −

√

2) ∪ [4, ∞), B = (−1, 5, π),

e A = (−1, 1) ∪ (

√

2, ∞), B = [−2, 2] ∪ (3, 5],

f. A = {1, 2, 3, 4, 5} ∪ (6, 2π], B = {−3, −2, −1} ∪ [4, 7]

2. Uzupe lnij napisy wed lug wzoru:

WZ ´

OR: (x > −3 ∧ x ≤ 1) ⇔ x ∈ (−3, 1],

((x ≥ −2 ∧ x < 4) ∧ (x > 7)) ⇔ x ∈ [−2, 4) ∪ (7, +∞)

a) (x > −2 ∧ x ≤ 0) ⇔,

b) (x < −5 ∨ x > 40) ⇔,

c) ((x < −4) ∨ (x ≥ 0 ∧ x < 5)) ⇔,

d) ((x > −3 ∧ x ≤ −1) ∨ x ≥ 0) ⇔,

e) ((x ≥ −1 ∧ x < 0) ∧ x < 2) ⇔,

f) ((x > −2 ∧ x < −1) ∨ (x ≥ 1)) ⇔ .

12

Rozdzia l 4

Warto´

s´

c bezwzgl¸

edna i jej

w lasno´

sci

Definicja 4.0.1. Warto´s´

c bezwzgl¸edna z dowolnej liczby x ∈ R jest r´owna

|x| =

x

dla a ≥ 0

−x dla a < 0

.

Lemat 4.0.2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodz¸

a nast¸

epuj¸

ace zwi¸

azki:

|a · b| = |a| · |b|,

|

a

b

| =

|a|

|b|

,

|a + b| ≤ |a| + |b|.

1. Oblicz:

| − 3|, |3 − π|, |

1 −

√

2

4 − 3

√

2

|, |

1 −

√

2

1 +

√

2

|, |

√

2 −

√

3| · |3

√

2 − 2

√

3|,

q

(1 −

√

2)

2

,

p

(−π)

2

,

q

14 − 6

√

5,

q

24 − 2

√

80 −

q

2

√

20 + 21,

q

13 − 4

√

3 +

q

28 + 6

√

3,

q

18 − 8

√

2 −

q

6 − 4

√

2.

13

4.1

R´

ownania z warto´

sci¸

a bezwzgl¸

edn¸

a

Niech a ∈ R spe lnia nier´owno´s´c a ≥ 0 wtedy:

|x| = a ⇔ (x = a ∨ x = −a).

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

|x

2

− 2| = 2,

p

(x − 2)

2

− 1 = 3,

|x − 3| + |2x + 4| − |3x + 9| = −8,

||2x + 1| − 5| = 2,

4

p

(x

2

− 1)

4

+

p

(x

2

− 1)

2

= 6.

4.2

Nier´

owno´

sci z warto´

sci¸

a bezwzgl¸

edn¸

a

Niech a ∈ R spe lnia nier´owno´s´c a ≥ 0 wtedy:

|x| < a ⇔ (x < a ∧ x > −a),

|x| > a ⇔ (x > a ∨ x < −a).

1. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci i zilustruj wynik na osi liczbowej:

|3x − 2| ≥ 4,

|2x − 1| ≤ 1,

(x − 1)

2

≤ 4,

||x + 2| − 5| > 1,

||x − 2| − 4| < 2,

|x − 1| > x − 2,

|x − 2| < x − 3,

|x

2

− 4| + |x − 2| + |2x − 6| < 3,

|x

2

− 9| − |2x + 4| + |2x − 2| > 1.

p

(5x + 3)

2

≥ 12,

p

(1 − 2x)

2

≤ 3.

14

4.3

Graficzne rozwi¸

azywanie uk lad´

ow r´

owna´

n i nie-

r´

owno´

sci z warto´

sci¸

a bezwzgl¸

edn¸

a

1 Zilustruj zbi´

or punkt´

ow p laszczyzny, kt´

orych wsp´

o lrz¸edne spe lniaj¸

a r´

owno´s´

c:

|2x − y| = 2,

|x| + y = 3,

|y − x| + y = 0.

2. Rozwi¸

a˙z graficznie nier´

owno´sci:

|y − x| < 1,

|x + y| ≥ 2,

|y| ≤ |x| − 2.

3. Rozwi¸

a˙z graficznie uk lady r´

owna´

n:

y+

|x − 2| = 3

y = |x + 2|

−1

,

y = |x + 3| −2

y =

−x

+1

,

|y| +|x| = 3

|y|

= 2

,

|y|

−|x| = 2

|x| = 4

.

3. Rozwi¸

a˙z graficznie uk lady nier´

owno´sci:

|y| +|x| ≤ 3

|y|

≤ 2

,

|y| −|x| ≤ 2

|x|

≤ 4

,

|y

+x| ≤ 2

|x| ≤ 2

,

|y

−x| ≤ 1

|x| ≤ 4

,

√

x

2

+

py

2

≤ 3

y

≤ 2

,

p(x − 1)

2

−

p(y − 1)

2

≤ 2

x

≤ 4

.

15

Rozdzia l 5

Pot¸

egowanie i pierwiastkowanie

liczb rzeczywistych

Definicja 5.0.1. Niech n, m ∈ N oraz a ∈ R wtedy:

a

n

= a · a · . . . · a

|

{z

}

n

,

a

−n

= (

1

a

)

n

,

a

1

n

=

n

√

a,

a

m

n

=

n

√

a

m

.

5.1

W lasno´

sci dzia la´

n na pot¸

egach

Niech n, m ∈ R oraz a, b ∈ R wtedy:

(ab)

n

= a

n

· b

n

,

(

a

b

)

n

=

a

n

b

n

dla b 6= 0,

(a

n

)

m

= a

n·m

,

a

n

· a

m

= a

n+m

,

a

n

a

m

= a

n−m

.

16

1. Przedstaw wyra˙zenie w postaci pot¸egi o podstawie a:

a

3

· a

5

,

a

6

: a

2

,

(

1
a

)

5

,

1
a

·

1

a

4

,

(a

−2

· a

−3

)

4

,

(a

2

)

−3

,

a

2

· a

4

· a

6

,

[(a

3

)

−1

]

4

,

a

5

·a

−3

a

3

,

(a

2

· a

3

)

4

,

[(a

2

)

−3

]

2

,

(a

2

· a

−3

)

−4

· (a

2

· a)

5

,

(a · a

4

)

2

· a

3

: [(a

−2

)

−3

]

2

.

2. Przedstaw wyra˙zenie w postaci x

m

· y

n

:

[(x

2

)

−4

· (y

−4

)

3

· (

x
y

)

3

]

2

(y

−1

)

4

· (x

−2

)

4

· (x

−1

y)

3

:

y

2

(xy

5

)

2

.

3. Przekszta l´

c do najprostszej postaci wyra˙zenia:

[(3 −

√

5)

1
2

+ (3 +

√

5)

1
2

]

−2

· [(

125

64

)

1
3

− 347

0

]

a

4
3

− 8a

1
3

b

[a

2
3

+ 2(ab)

1
3

+ 4b

2
3

](1 − 2

3

q

b

a

)

− a

2
3

,

(

9

x + 8

−

x

1
3

+ 2

x

2
3

− 2x

1
3

+ 4) ·

x

4
3

+ 8x

1
3

1 − x

1
3

,

(

4b − 9b

−1

2b

1
2

− 3b

−

1
2

+

x − 4 + 3b

−1

b

1
2

− b

−

1
2

)

2

.

5.2

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´

sci niewy-

miernych

17

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

x + 2 = 2

q

x

√

x − 1 + 2,

√

x − 1 +

√

2 − x =

√

x − 5,

q

5 + x − 4

√

x + 1 +

q

10 + x − 6

√

x + 1 = 1,

q

x + 11 − 6

√

x + 2 −

q

x + 3 − 2

√

x + 2 = −2,

x

2

+ 3x + 4

√

x

2

+ 3x − 6 = 18,

2x

2

+ 3x − 5

√

2x

2

+ 3x + 9 = −3,

x

2

− 2

√

x

2

− 7 = 10,

(3 − 2

√

x)

2

= 13(5 +

√

x).

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

√

x + 1 −

√

x − 2 ≤ 1,

√

3x + 1 +

√

x − 4 <

√

4x + 5,

√

x + 2 ≥ x,

√

17 + x +

√

17 − x < 8,

√

2x + 3 > x + 2,

√

x − 2 > 4 − x,

r 3x − 4

3 − x

> 1,

√

1 + x

2

≥ x + 1,

√

2 + x − x

2

> x − 4,

√

x + 2 >

√

2x − 8,

x

2

+ 2

√

x

2

+ 1

≥ 2,

p

(x + 4)(x − 3) < 6 − x,

√

x − 2 + x > 4,

(x − 1)

√

x + 4 < 2 − 4x,

x + 4a > 5

√

ax, gdzie a jest parametrem.

3. Wyka˙z, ˙ze je˙zeli a > 0 i b > 0, to

√

ab ≥

2

1
a

+

1

b

.

18

Rozdzia l 6

Ci¸

agi liczbowe

Definicja 6.0.1. Ci¸

agiem liczbowym (rzeczywistym) nazywamy ka˙zd¸

a funkcj¸e:

f : N → R.

Oznaczenie f (n) =: a

n

.

6.1

W laso´

sci ci¸

agu liczbowego

Definicja 6.1.1. Ci¸

ag a

n

nazywamy rosn¸

acym ⇔ ∀

n∈N

a

n+1

− a

n

> 0.

Ci¸

ag a

n

nazywamy malej¸

acym ⇔ ∀

n∈N

a

n+1

− a

n

< 0.

Ci¸

ag a

n

nazywamy nierosn¸

acym ⇔ ∀

n∈N

a

n+1

− a

n

≤ 0.

Ci¸

ag a

n

nazywamy niemalej¸

acym ⇔ ∀

n∈N

a

n+1

− a

n

≥ 0.

Definicja 6.1.2. Ci¸

ag a

n

nazywamy ograniczonym z g´

ory

⇔ ∃

M ∈R

∀

n∈N

a

n

≤ M.

Ci¸

ag a

n

nazywamy ograniczonym z do lu

⇔ ∃

m∈R

∀

n∈N

a

n

≥ m.

19

Ci¸

ag a

n

nazywamy ograniczonym ⇔, gdy ci¸

ag a

n

jest ograniczony z g´

ory i z do lu.

1. Oblicz poczt¸kowe cztery wyrazy ci¸

agu i zbadaj monotoniczno´s´

c danego ci¸

agu:

a

n

=

3n + 1

2n + 1

, a

n

=

3

n

+ 1

3

n

− 1

, a

n

=

3n

2

− 4n

n

2

+ 1

,

a

n

= 3n − 5n

2

, a

n

= 2

n

+ 3n

2

− 4.

6.2

Obliczanie granic ci¸

ag´

ow

Definicja 6.2.1. Liczba g jest granic¸

a ci¸

agu (a

n

)

n∈N

lim

n→∞

a

n

= g

wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

n

o

∈N

∀

n>n

o

|a

n

− g| < ε.

Ponadto mamy:

lim

n→∞

a

n

= ∞ ⇔ ∀

M >0

∃

n

o

∈N

∀

n>n

o

a

n

> M,

lim

n→∞

a

n

= −∞ ⇔ ∀

m>0

∃

n

o

∈N

∀

n>n

o

a

n

< m.

Definicja 6.2.2. Liczba Eulera e jest granic¸

a ci¸

agu:

e = lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

.

Twierdzenie 6.2.3. Niech

lim

n→∞

a

n

= a,

lim

n→∞

b

n

= b

wtedy:

20

1.

lim

n→∞

(a

n

± b

n

) = a ± b,

2. lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = a · b, lim

n→∞

a

n

b

n

=

a

b

,

gdzie b

n

6= 0 i b 6= 0,

3. lim

n→∞

a

n

= 0 i a

n

> 0 ⇒ lim

n→∞

1

a

n

= ∞, lim

n→∞

|a

n

| = ∞

⇒ lim

n→∞

1

a

n

= 0.

Ponadto mamy:

4. lim

n→∞

1

n

α

= 0 dla α > 0,

5. lim

n→∞

n

√

a = 1 dla a > 0, lim

n→∞

n

√

n = 1.

1. Oblicz granice ci¸

ag´

ow:

lim

n→∞

3n

2

+ 5n − 1

2n

2

+ 1

, lim

n→∞

3n

3

− 1

1 − n

2

, lim

n→∞

(

√

n

2

+ 3n − 1 − n),

lim

n→∞

√

4n

2

+ 5n − 1 − 2n

√

9n

2

+ 3n + 1 − 3n

, lim

n→∞

1 + 3 + . . . + (2n + 1)

2n

2

+ 3

,

lim

n→∞

3 + 3

2

+ . . . + 3

n

3

n

+ 1

, lim

n→∞

n

√

2

n

+ 3

n

, lim

n→∞

n

√

3

n

+ 4 · 5

n

− 1,

lim

n→∞

(

n − 1

n + 1

)

2n

, lim

n→∞

(

2n + 3

2n − 2

)

3n−1

, lim

n→∞

(

3n + 7

n + 3

)

3n+1

n

.

6.3

Ci¸

ag arytmetyczny i jego w lasno´

sci

Definicja 6.3.1. Ci¸

ag (a

n

)

n∈N

nazywamy ci¸

agiem arytmetycznym je˙zeli istnieje r ∈

R (r´

o˙znica ci¸

agu arytmetycznego), takie ˙ze:

∀

n∈N

a

n+1

= a

n

+ r.

21

Twierdzenie 6.3.2. Niech (a

n

)

n∈N

b¸

edzie ci¸

agiem arytmetycznym. Wtedy:

a

n

= a

1

+ (n − 1)r,

S

n

=

(a

1

+ a

n

) · n

2

.

1. Oblicz nast¸epuj¸

ace sumy:

11 + 16 + 21 + . . . 1001

5 + 8 + 11 + 14 + . . . + (3n + 5)

2. Dla jakich warto´sci warto´sci x liczby x

2

+ 1, 5x − 2, 2x

2

+ x + 1 tworz¸

a wpodanej

kolejno´sci ci¸

ag arytmetyczny?

6.4

Ci¸

ag geometryczny i jego w lasno´

sci

Definicja 6.4.1. Ci¸

ag (a

n

)

n∈N

nazywamy ci¸

agiem geometrycznym je˙zeli istnieje q ∈

R (iloraz ci¸

agu geometrycznego), takie ˙ze:

∀

n∈N

a

n+1

= a

n

· q.

Twierdzenie 6.4.2. Niech (a

n

)

n∈N

b¸

edzie ci¸

agiem geometrycznym. Wtedy:

a

n

= a

1

· q

n−1

,

S

n

= a

1

·

1 − q

n

1 − q

,

|q| < 1

⇒

S = a

1

+ . . . + a

n

+ . . . =

a

1

1 − q

.

22

1. Wyka˙z, ˙ze liczby

√

5 − 2,

1
2

,

√

5+2

4

tworz¸

a ci¸

ag geometryczny.

2. Suma trzech wyraz´

ow tworz¸

acych ci¸

ag geometryczny jest r´

owna 21, a ich iloczyn

wynosi 216. Znajd´

z ten ci¸

ag.

3. Oblicz sumy:

8 + 16 + 32 + . . . + 512

9 + 27 + 81 + . . . + 3

n

1 −

1

4

+

1

16

−

1

64

+

1

256

− . . .

√

2 + 1

√

2 − 1

+

1

2 −

√

2

+

1

2

+ . . . .

4. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´s´

c:

x

x − 1

+ (

x

x − 1

)

2

+ (

x

x − 1

)

3

+ . . . < 4,

1 +

1

x − 5

+ (

1

x − 5

)

2

+ . . . ≥

5

6

,

x

2

+ x

3

+ x

4

+ . . . > −1 − x.

5. W tr´

ojk¸

at r´

ownoboczny o boku d lugo´sci a wpisano ko lo, w kt´

ore wpisano tr´

ojk¸

at

r´

ownoboczny, a w ten tr´

ojk¸

at ko lo itd. Oblicz sum¸e:

d lugo´sci promieni,

obwod´

ow,

p´

ol.

23

Rozdzia l 7

Funkcje zmiennej rzeczywistej i ich
w lasno´

sci

1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji:

f (x) =

2x − 4

√

−x + 3

,

f (x) =

x

2

− 4

√

x + 1

.

7.1

Okre´

slanie dziedziny i zbioru warto´

sci funkcji

1. Wyznacz dziedzin¸e i zbi´

or warto´sci funkcji:

f (x) =

√

3x − 2 +

√

2 − 3x,

f (x) =

|x − 2|

x − 2

, f (x) =

x

2

− 3x + 2

x − 1

,

f (x) = −|1 − x|,

f (x) = 2

√

x,

, f (x) = −x

2

+ 3.

7.2

Badanie parzysto´

sci i nieparzysto´

sci funkcji

24

Definicja 7.2.1. Funkcj¸e f : X → Y nazywamy parzyst¸

a je˙zeli:

∀

x∈X

(−x) ∈ X ∧ f (x) = f (−x).

Definicja 7.2.2. Funkcj¸e f : X → Y nazywamy nieparzyst¸

a je˙zeli:

∀

x∈X

(−x) ∈ X ∧ −f (x) = f (−x).

1. Zbadaj parzysto´s´

c i nieparzysto´s´

c nast¸epuj¸

acych funkcji:

f (x) = −x

3

+ 3x,

f (x) = 2x

4

− x

2

+ 5, f (x) =

x

2

+ 5

x

,

f (x) = 2|x| + 5, f (x) =

√

x

2

x

2

+ 1

.

7.3

Badanie r´

o ˙znowarto´

sciowo´

sci i monotoniczno´

sci

funkcji

Definicja 7.3.1. Funkcj¸e f : X → Y nazywamy r´

o˙znowarto´sciow¸

a je˙zeli:

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

).

Definicja 7.3.2. Funkcj¸e f : X → Y nazywamy rosn¸

ac¸

a je˙zeli:

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

> x

2

⇒ f (x

1

) > f (x

2

).

Funkcj¸e f : X → Y nazywamy malej¸

ac¸

a je˙zeli:

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

> x

2

⇒ f (x

1

) < f (x

2

).

Funkcj¸e f : X → Y nazywamy nierosn¸

ac¸

a je˙zeli:

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

> x

2

⇒ f (x

1

) ≤ f (x

2

).

25

Funkcj¸e f : X → Y nazywamy niemalej¸

ac¸

a je˙zeli:

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

> x

2

⇒ f (x

1

) ≥ f (x

2

).

1. Wyka˙z, ˙ze dla a 6= 0 funkcja liniowa y = ax + b jest r´

o˙znowarto´sciowa.

2. Wyka˙z, ˙ze dla a > 0 funkcja liniowa y = ax + b jest rosn¸

aca.

3. Wyka˙z, ˙ze dla a < 0 funkcja liniowa y = ax + b jest malej¸

aca.

4. Wyka˙z, ˙ze funkcje s¸

a r´

o˙znowarto´sciowe:

f (x) =

2 − x

3 − x

, f (x) =

3

x − 1

, f (x) =

√

2 − x.

5. Zbadaj monotoniczno´s´

c podanych funkcji:

f (x) =

−2

x − 1

dla x > 1,

f (x) =

x − 1

x + 3

dla x ∈ (−3, ∞).

7.4

Przekszta lcanie wykres´

ow funkcji

1. Narysuj wykresy funkcji stosuj¸

ac odpowiednie przekszta lcenia:

f (x) = −|x − 1| + 3,

f (x) = (x − 1)

2

− 2, f (x) =

1

x + 2

+ 3,

f (x) = 3(x − 1)

2

+ 1,

f (x) =

√

x + 2 + 2,

f (x) = (x − 1)

3

− 1,

f (x) = sin(x −

π

2

) + 2,

f (x) = 3

x−1

+ 5,

f (x) = (x + 3)

4

− 4,

f (x) = 5cosx,

f (x) = sin4x,

f (x) = cos

1

2

x,

f (x) = 2sin2x.

26

Rozdzia l 8

Funkcja kwadratowa

Definicja 8.0.1. Funkcj¸e f : R −→ R postaci f (x) = ax

2

+ bx + c, gdzie a 6= 0

nazywamy funkcj¸

a kwadratow¸

a.

Wyr´

o˙znik dla funkcji kwadratowej:

∆ = b

2

− 4ac.

a) Dla ∆ < 0 funkcja kwadratowa nie ma pierwiastk´

ow rzeczywistych.

b) Dla ∆ = 0 funkcja kwadratowa ma jeden pierwiastek rzeczywisty

x

o

=

−b

2a

.

c) Dla ∆ > 0 funkcja kwadratowa ma dwa r´

o˙zne pierwiastki rzeczywiste

x

1

=

−b +

√

∆

2a

,

x

1

=

−b −

√

∆

2a

.

27

8.1

Wykres funkcji kwadratowej i jej w lasno´

sci

1. Sprowad´

z do postaci kanonicznej funkcj¸e kwadratow¸

a dan¸

a w postaci og´

olnej i nary-

suj jej wykres:

f (x) = x

2

− 4x + 3, f (x) = −x

2

− 4x + 3, f (x) = 2x

2

− 4x + 3,

f (x) = −2x

2

− 8x − 1, f (x) = 3x

2

− 6x + 3, f (x) = −5x

2

+ 4x + 3.

2. Narysuj wykres funkcji kwadratowej i na jego podstawie om´

ow jej w lasno´sci:

f (x) = x

2

− 4x + 3, f (x) = −3x

2

− 4x + 7, f (x) = 2x

2

− 4x − 6,

f (x) = −x

2

− x + 2, f (x) = −x

2

− 4x + 5, f (x) = 2x

2

− 4x + 5.

8.2

Wzory Viete’a

Niech ∆ ≥ 0.

Suma pierwiast´

ow r´

ownania kwadratowego wynosi

x

1

+ x

2

=

−b

a

.

Iloczyn pierwiast´

ow r´

ownania kwadratowego wynosi

x

1

· x

2

=

c

a

.

1. Nie obliczaj¸

ac miejsc zerowych, ustal ich znaki:

f (x) = x

2

− 4x + 3, f (x) = −x

2

− 4x + 5, f (x) = x

2

+ (

√

3 +

√

2)x −

√

6.

28

2. Dla jakich warto´sci parametru m suma kwadrat´

ow pierwiastk´

ow r´

ownania:

x

2

+ (m − 2)x − m − 1 = 0 jest najmniejsza,

x

2

+ 2mx + 2m

2

− 3m = 0 jest najwi¸eksza?

3. Wyznacz warto´sci parametru m ∈ R, dla kt´orych dwa r´o˙zne pierwiastki r´ownania

mx

2

− (m

2

− 3m + 2)x + 2m − 6 = 0 s¸a mniejsze od 2.

8.3

R´

ownania i nier´

owno´

sci liniowe i kwadratowe

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

x

2

− 10x + 25 = 0, 3x

2

+ 7x − 20 = 0, (3x − 1)(4x + 5) = (3x − 1)(2x − 1),

x

4

− 6x

2

+ 5 = 0,

x

2

− 4x + 3 + 2

√

x

2

− 4x + 6 = 0.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

(x − 3)(2x − 5) < 4x

2

− 2x − 20,

15 − 2x − x

2

≤ 0,

√

x − 3 > 9 − x.

3. Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R r´ownanie

2x

2

− 3(m − 1)x + 1 − m

2

= 0

ma dwa pierwiastki r´

o˙znych znak´

ow.

4. Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R dziedzin¸a funkcji

f (x) =

p

2x

2

− 3(m − 1)x + 1 − m

2

jest zbi´

or wszystkich liczb rzeczywistych.

5. Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R nier´owno´s´c

(4 − m)x

2

− 3x + m + 4 > 0

jest spe lniona dla ka˙zdej liczby rzeczywistej.

29

Rozdzia l 9

Funkcja wielomianowa

9.1

Rozk ladanie wielomianu na iloczyn wielomian´

ow

1. Nie wykonuj¸

ac algorytmu dzielenia, sprawd´

z, czy podana obok liczba jest pier-

wiastkiem wielomianu:

x

3

− 6x

2

+ 7x − 2;

1,

6x

5

− 6x

2

− 7x − 2;

2.

2. Roz l´

o˙z wielomian na iloczyn wielomian´

ow najni˙zszego stopnia:

W (x) = x

4

+ 1, W (x) = x

4

− 1,

W (x) = x

3

− 14x + 13,

W (x) = −3x

4

+ 2x

2

+ 1, W (x) = x

3

− 5x

2

+ 12x + 18.

30

9.2

Wykresy funkcji wielomianowej

1. Narysuj wykresy wielomian´

ow:

W (x) = x

4

+ 1, W (x) = x

4

− 1,

W (x) = x

3

− 14x + 13,

W (x) = −3x

4

+ 2x

2

+ 1, W (x) = x

3

− 5x

2

+ 12x + 18,

W (x) = (x + 2)(x + 1)

3

(2 − x)

4

(3x + 9)

5

9.3

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´

sci wielo-

mianowych

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

2x

5

+ 3x

4

− 2x − 3 = 0,

x

4

+ 5x

3

+ 4x

2

− 24x − 24 = 0,

x

6

− 7x

3

− 8 = 0,

x

7

− 17x

5

+ 16x

3

= 0.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

(16 − x

2

)(x

2

+ 3x + 2)(x

2

− 1) ≥ 0, (x − 3)(3 − x) < 2(3 − x)

2

,

−2x

3

+ 5x

2

− 27x − 45 ≥ 0, (2x

2

+ 7x − 4)(3 − x)(x

3

− 1) > 0.

9.4

Wyznaczanie dziedziny

1. Okre´sl dziedzin¸e funkcji wymiernych:

f (x) =

3x + 5

x

2

+ x + 1

,

f (x) =

x

2

− 2x + 1

x

2

+ 5x + 6

.

31

2. Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R dziedzin¸a funkcji wymiernej jest zbi´or wszys-

tkich liczb rzeczywistych, je´sli:

f (x) =

x

3

+ 2x + 4

mx

2

+ 3x + 9m

,

f (x) =

x + 5

mx

2

+ mx + m + 1

.

9.5

Funkcja homograficzna

1. Narysuj wykresy funkcji homograficznych:

f (x) =

2x + 2

8x + 1

,

f (x) =

−x + 3

3x + 1

,

f (x) =

−3x − 2

6x + 2

.

2. Rozwi¸

a˙z graficznie i algebraicznie nier´

owno´sci:

3x + 1

x − 1

≥ 1,

2x + 5

3x + 2

≤ −3.

3. Dla jakich warto´sci parametru m ∈ R zbi´or rozwi¸aza´n nier´owno´sci

3

x + 1

≥ 1

zawiera si¸e w zbiorze rozwi¸

aza´

n nier´

owno´sci

(m + 1)x

2

− (3m + 4)x + 3 > 0.

9.6

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´

sci wymiernych

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

x + 9

x

2

+ x + 12

−

x + 5

x

2

− x − 6

=

x − 1

x

2

− 9

,

32

5

x

2

− x − 2

+

x

x

2

+ 4x + 3

−

2x

x

2

+ x − 6

=

9

x

3

+ 2x

2

− 5x − 6

,

|x

2

− x| + 1

|x + 1| − x

2

= 1.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

2

x + 5

−

x

x + 5

> 2,

x

2

− 15x + 2

x

2

+ 5x + 6

< −1,

x + 3

x + 1

−

x − 13

x

2

− 4x − 5

<

−8

x − 5

,

1

x + 1

−

1 − 2x

x

3

+ 1

≤

2

x

2

− x + 1

,

|x − 3|

x

2

− 5x + 6

< 2,

x

2

− 4|x|

x + 2

≥ x + 1.

33

Rozdzia l 10

Funkcja wyk ladnicze

10.1

Wykres funkcji wyk ladniczej i jej w lasno´

sci

1. Narysuj wykresy funkcji wyk ladniczych i om´

ow jej w lasno´sci:

f (x) = (

1

2

)

x−1

,

f (x) = 2

2x+4

+ 1,

f (x) = |(

1

3

)

x

− 3|,

f (x) = |(

1

3

)

x+2

− 1| − 2,

f (x) = |2

−x

+ 1|,

f (x) = |(

1

3

)

x

− 3|,

f (x) = −(

1

2

)

|x|

,

f (x) = −3

|x|

+ 4,

f (x) = 2

|x|−3

.

2. Rozwi¸

a˙z graficznie r´

ownania:

(

1

3

)

x

+

3

x

= 0,

−2

x−1

= −

3

2

x +

1

2

,

2 − (

1

2

)

x

= |x + 1|,

4

|x|

= 5 − |x|.

34

10.2

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´

sci wyk lad-

niczych

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

(

27

√

3

)

x

= 9

x+1

,

(5

√

5)

2x+2

=

1

5

−x−4

,

(

1

2

)

2x

2

· 2

3x+5

=

1

16

,

6

q

4

x

· (0, 125)

1
x

=

4

3

√

2

(

√

2)

x

,

16

x+1

−4

2x+1

−2

4x−1

−23·2

3

= 0, (

5

2

)

√

9−x−1

= 0, 4

4+

√

9−x

√

9−x

−5

,

(

1

5

)

2x

− 24 · 5

−x

− (

1

5

)

−2

= 0,

9

3x

− 9

2x+

1
2

− 3

2x

+ 3 = 0,

3

2x

+ 2 · 3

x+1

− 27 = 0,

(5

√

5)

x

= 0, 04 · 125

x−2

,

7

x

+ 7

1−x

= 8,

0, 125 ·

√

8

x+2

=

3

√

4

5x−9

· (0, 25)

x

.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

2

3x+1

> 0,

(

√

6)

x+1

> (

3

√

6)

x

,

0, 2

4x+3

≥ 5

x+2

,

2

x

3

8

x

2

≤

2

x

8

,

5

3
x

> 25,

(0, 4)

x

2

> (0, 16)

x

,

(

2

3

)

1

x+2

≤

4

9

,

(

2

3

)

x+2

+

1

3

(

2

3

)

x+1

≥

2

3

,

16

x

+ 3 · 2

2x+1

+ 8 < 0,

4 · 9

x

< 4 · 6

x

+ 3 · 4

x

,

1

4

√

12 − 3

x+1

≤ 3

x

− 3

x−1

+ 3

x−2

− 3

x−3

+ . . . .

35

Rozdzia l 11

Funkcja logarytmiczna

11.1

Dzia lania na logarytmach

Lemat 11.1.1. Niech a, b, m ∈ R oraz a, b, c > 0 , a, b, c 6= 1 i x, y > 0. Zachodz¸a
nast¸

epuj¸

ace w lasno´

sci:

log

a

x + log

a

y = log

a

(x · y)

log

a

x − log

a

y = log

a

(

x

y

),

log

a

x

m

= m · log

a

x,

log

a

m

x =

1

m

· log

a

x,

log

a

x =

log

b

x

log

b

a

,

m = log

a

a

x

,

a

log

a

x

= x.

1. Oblicz:

a) log

3

18 − log

3

2

b)

log

6

125

log

6

5

c) 5

log

5

3

d) 81

log

3

2

e) log 4 + log 25

f) log

4

(

3

√

2),

g)

q

25

1

log3 5

+ 49

1

log4 7

,

h) 16

log

2

4

√

2+log

4

3

,

i) 3

3

log√

6

3

−log

3

2·log

2

√

6

.

36

11.2

Wykres i w lasno´

sci funkcji logarytmicznej

1. Narysuj wykres funkcji i om´

ow jej w lasno´sci:

f (x) = log

2

(x − 1) + 2,

f (x) = log

1
2

|x − 1|,

f (x) = | log

1
3

(x + 2)| + 1,

f (x) = 2

log

2

(4−x

2

)

,

f (x) = 3

log

3

x−1

,

f (x) = 5

log

5

|x−1|

,

f (x) = | log

2

x + log

1
2

x|.

11.3

Rozwi¸

azywanie r´

owna´

n i nier´

owno´

sci loga-

rytmicznych

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

log

2

(log

3

x) = 4,

log

3

[7 + log

5

(x

2

+ 9)] = 2,

log

4−x

2

64 = 2,

log

4

(log

3

(log

2

x)) =

1
2

log

4

√

x +

1
2

log

4

(x + 4) =

5
4

,

1

5−log x

+

2

1+log x

= 1,

x

3−log

x
3

= 900.

log

2

(x

2

+ 6x + 17) = 3

log 2x

log(4x−15)

= 2,

log |2x − 3| − log |3x − 2| = 1,

x

log x

+ 10x

− log x

= 11,

log

7

(x − 2) − log

7

(x + 2) = 1 − log

7

(2x − 7),

log

4

(x + 3) − log

4

(x − 1) = 2 − log

4

8.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

log

1
2

(2x + 6) > −4,

log

2

(x

2

− 5x + 6) < 0,

log

1
5

(2x + 1) < log

1
5

(16 − x

2

) + 1,

log

1
2

(log

8

x

2

− 2x

x − 3

) < 0,

1

log

2

x

−

1

log

2

x − 1

− 1 < 0,

0, 3

log

2

3x−1
3x+2

< 1

37

Rozdzia l 12

Funkcje trygonometryczne

12.1

Wykresy funkcji trygonometrycznych

1. Narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych:

f (x) = sin 2x,

f (x) = cos(

x

4

),

f (x) = sin(2x − π) + 2,

f (x) = 2 sin x + 3,

f (x) = 3 cos(3x − π) + 2.

12.2

Wzory redukcyjne

1. Oblicz warto´s´

c wyra˙zenia:

sin

25π

6

+ sin

9π

4

+ sin

25π

3

,

cos

25π

6

· sin

7π

2

sin(−

25π

6

) · cos(−

25π

6

) · tg(−

5π

3

) · ctg(−

3π

4

)

38

12.3

R´

ownania i nier´

owno´

sci trygonometryczne

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownania:

1

2

− sin

2

x = 0,

cos x + sin

2

x =

1

4

,

tg

3

x − tg

2

x + tgx = 1

sin

2

(2x) =

3

4

,

sin

2

(4x) −

√

2 sin 4x +

1

2

= 0.

2. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´s´

c algebraicznie i graficznie:

sin(2x −

π

2

) ≥

√

3

2

,

cos(x +

π

2

) ≤ −

1

2

.

3. Rozwi¸

a˙z nier´

owno´sci:

cos x ≥ cos

2

x,

2 sin

2

x + sin x < 1.

39

Rozdzia l 13

Elementy kombinatoryki i
rachunku prawdopodobie´

nstwa

13.1

Silnia i wz´

or Newtona

Definicja 13.1.1. SILNIA Niech n ∈ N ∪ {0}, wtedy:

0! = 1,

(n + 1)! = n! · (n + 1).

Symbol Newtona Niech n, k ∈ N oraz n ≥ k, wtedy:

(

n
k

) =

n!

k! · (n − k)!

.

1. Udowodnij r´

owno´s´

c:

(

n
k

) = (

n

n − k

).

2. Oblicz:

(

7
3

),

(

127

0

),

(

1287
1286

),

(

1287
1286

),

(

2009
1999

).

40

13.2

Elementy kombinatoryki

Lemat 13.2.1. Niech A = {a

1

, . . . , a

n

}.

1. Prawo mno ˙zenia: Niech A

1

, . . . , A

n

b¸

ed¸

a sko´

nczonymi zbiorami. Liczba ci¸

ag´

ow

(a

1

, . . . , a

n

), gdzie a

i

∈ A

i

, i = 1, . . . , n, wynosi:

|A

1

| · |A

2

| · . . . · |A

n

|

W szczeg´

olno´

sci, liczba par uporz¸

adkowanych (a, b), gdzie a ∈ A natomiast

b ∈ B, wynosi:

|A| · |B|

2 Permutacj¸

a bez powt´

orze´

n n-elementowego zbioru A nazywamy ka˙zdy n-

wyrazowy ci¸

ag, w kt´

orym ka˙zdy element zbioru A wyst¸

epuje dok ladnie jeden

raz. Liczba takich permutacji jest r´

owna:

P

n

= n!.

3. Permutacj¸

a n-elementow¸

a z powt´

orzeniami, w kt´

orej element a

1

powtarza

si¸

e n

1

-razy, . . ., element a

k

powtarza si¸

e n

k

-razy oraz n

1

+. . .+n

k

= n nazywamy

ka˙zdy n-wyrazowy ci¸

ag, w kt´

orym poszczeg´

olne elementy zbioru A powtarzaj¸

a si¸

e

wskazan¸

a liczb¸

e razy. Liczba takich permutacji jest r´

owna:

P

n

1

,...,n

k

n

=

n!

n

1

! . . . n

k

!

.

4. Ka˙zdy k-wyrazowy ci¸

ag k r´

o˙znych element´

ow tego zbioru A, k ≤ n, nazywamy

k-wyrazow¸

a wariacj¸

a bez powt´

orze´

n z n-elementoego zbioru A. Liczba

takich wariacji jest r´

owna:

V

k

n

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) =

n!

(n − k)!

, k ≤ n.

41

5. Ka˙zdy k-wyrazowy ci¸

ag (mog¸

acych si¸

e powtarza´

c) element´

ow tego zbioru A, k ≶

n, nazywamy k-wyrazow¸

a wariacj¸

a z powt´

orzeniami z n-elementoego

zbioru A. Liczba takich wariacji jest r´

owna:

V

k
n

= n

k

.

6. Ka˙zdy k-elementowy podzbi´

or zbioru A nazywamy k-elementow¸

a kombinacj¸

a

bez powt´

orze´

n z n-elementoego zbioru A. Liczba takich kombinacji jest

r´

owna:

C

k

n

= (

n
k

) =

n!

k! · (n − k)!

.

7. Ka˙zdy k-elementowy zbi´

or sk ladaj¸

acy si¸

e z (niekoniecznie r´

o˙znych) element´

ow

zbioru A nazywamy k-elementow¸

a kombinacj¸

a z powt´

orzeniami z n-

elementoego zbioru A. Liczba takich kombinacji jest r´

owna:

C

k
n

= C

k

n+k−1

= (

n + k − 1

k

).

13.3

Klasyczna definicja funkcji prawdopodobie´

n-

stwa i jej w lasno´

sci

1. Na egzaminie student losuje 4 pytania z przygotowanego zestawu 45 pyta´

n. Je´sli

odpowie na 4 pytania, otrzymuje ocen¸e bardzo dobr¸

a, je´sli na 3 pytania otrzymuje

ocen¸e dobr¸

a, na 2 pytania ocen¸e dostateczn¸

a. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze:

a) otrzyma ocen¸e dobr¸

a,

b) otrzyma ocen¸e dostateczn¸

a,

je´sli umie odpowiedzie´

c na 30 pyta´

n z zestawu?

42

2. Ze zbioru {1, 2, . . . , n} tworzymy wszystkie tr´

ojwyrazowe ci¸

agi o wyrazach nale˙z¸

acych

do tego zbioru. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze wybrany jeden taki ci¸

ag b¸edzie

monotoniczny?

3. W szufladzie Marek mia l 5 par skarpet. W spos´

ob losowy wybra l z niej cztery skar-

pety. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w´sr´

od wybranych skarpet jest przynajmniej

jedna para?

4. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo,

˙ze suma oczek b¸edzie wi¸eksza od 9, je´sli wiadomo, ˙ze na obu kostkach wypad ly liczby

nieparzyste?

5. Z talii 52 kart losujemy jednocze´snie pi¸e´

c kart. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

w´sr´

od nich s¸

a dwa kr´

ole, je´sli wioadomo, ˙ze:

a) s¸

a w´sr´

od nich dwie damy,

b) w´sr´

od nich nie ma kr´

ola kier?

6. Dane s¸

a dwa zbiory A = {1, 2, 3, . . . , 62} i B = {1, 2, 3 . . . , 124}. Losowo wybieramy

zbi´

or, a z niego losujemy liczb¸e x. Oblicz prawdopodobie´

nstwo, ˙ze liczba x

2

+ 1

b¸edzie podzielna przez 10.

7. W dw´

och urnach jest po 5 kul bia lych. Do tych urn wk ladamy losowo 8 kul czrnych.

Po umieszczeniu wszystkich tych 8 kul losujemy najpierw urn¸e, a nast¸epnie z tej urny
jedn¸

a kul¸e. Jak rozmie´sci´

c te 8 kul w urnach, aby prawdopodobie´

nstwo wylosowania

kuli czarnej by lo r´

owne

3
8

?

8. W pewnej firmie dwie maszyny produkuj¸

a ten sam podzesp´

o l do produkcji komput-

era, przy czym liczby og´

o lem wyprodukowanych wyrob´

ow przez te maszyny maj¸

a

si¸e do siebie jak 2 : 3. Pierwsza z tych maszyn produkuje 0, 1% wyrob´

ow wadliwych,

druga za´s 0, 05%. Z pojemnika, w kt´

orym by ly wszystkie podzespo ly wyprodukowane

przez te maszyny, kontrola techniczna wybra la jeden, kt´

ory okaza l si¸e wadliwy. Jakie

jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze zosta l wyprodukowany przez pierwsz¸

a maszyn¸e?

9. Wiadomo, ˙ze P (A ∪ B) =

1
2

, P (A

0

) =

3
4

i zdarzenia A, B s¸

a niezale˙zne. Oblicz

P (B).

43

10. W ka˙zdej z dw´

och urn jest n razy wi¸ecej kul bia lych ni˙z czarnych. Losujemy z ka˙zdej

urny po jednej kuli i wk ladamy je do trzeciej urny, pocz¸

atkowo pustej. Wyznacz

najmniejsze n, przy kt´

orym prawdopodobie´

nstwo wylosowania kuli bia lej z trzeciej

urny przy losowaniu z niej jednej kuli jest wi¸eksze od

6
7

.

11. Czujnik wykrywa awari¸e urz¸

adzenia z prawdopodobie´

nstwem 0, 9. Ile czujnik´

ow

dzia laj¸

acych niezale˙znie od siebie nale˙zy zainstalowa´

c, aby prawdopodobie´

nstwo

wykrycia awarii by lo nie mniejsze ni˙z 0, 999 ?

12. Wykonano rzut czterema monetami, a nast¸epnie drugi rzut tymi monetami, na

kt´

orych w pierwszym rzucie wypad la reszka. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

w drugim rzucie wypad ly:

a) same reszki,

b) dwa or ly.

44