Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

 

Strona 1 

 

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie 

 

 

Metody odejmowania  wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 
                                                                                                                                                                           

 

       

1. Graficzne (rysunkowe) odejmowanie dwóch wektorów. 

 

Założenia: 



 

dane są dwa wektory  

    i      o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu 

wektorów).  Tym  samym  jest  określony  kąt  jaki  tworzą  ich  kierunki  -  niech  mniejszy  z  kątów  pomiędzy 
nimi wynosi   (       

      

      



 

kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe ( 

       

                          ). 

 

                      

    

 
                                   



 

 

                                                 

    

 

 

Metoda trójkąta 

 

           Na wektorach  

    i       (łącząc ich początki) należy zbudować trójkąt.   

 
                                                                        

    

 

 

 

 

              

 

 

 

 

 

              

    

 

Wektor  będący  różnicą  wektorów  wyjściowy  jest  trzecim  bokiem  tak  powstałego  trójkąta.  Koniec  (grot) 

utworzonego wektora znajduje się przy grocie wektora będącego 

odjemną

. 

 
 
                          

                        

   

        

      

       

                                                                                           

 

   

               

                  

 
                                      

                                                                                                                        

 
Uwaga:  

jak widać z obu powyższych rysunków, wektory

  

   

  i  

 

   

 

mają te same kierunki, wartości (długości) ale 

przeciwne  zwroty.  Są  to  tzw.  wektory  przeciwne:

 

        

   

. 

Wynika  stąd,  że 

odejmowanie  wektorów  nie  jest 

przemienne

.                                                                                                                                                  

       

                                

 

Metoda dodawania wektora przeciwnego 

 

Korzysta się tutaj z równości:  

      

       

                      . Następnie wykorzystuje się metodę równoległoboku 

(dla dwóch wektorów nierównoległych) lub wygodniejszą metodę wieloboku sznurowego. 

 

                                                                                                                                                     

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   

                                               

   

               

                                                                                    

   

              

                                                              

                                                                                                                                                        
                                              

    

 

 

            Metoda równoległoboku                                                Metoda wieloboku sznurowego 

 

Szukany jest wektor:   

      

       

    

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

 

Strona 2 

 

2. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie dwóch wektorów.

 

 

 

         

Założenie: 



 

dane  są  dwa  wektory   

     i        o  dowolnych  znanych  kierunkach,  zwrotach  i  wartościach  (nie  są  znane 

współrzędne  obu wektorów). Tym samym jest określony kąt  jaki tworzą ich kierunki  -  niech mniejszy z 
kątów pomiędzy nimi wynosi   (       

      

                          ) 

 

Szukaną wartość wektora   

      

       

    można znaleźć z zależności (tzw. twierdzenie cosinusów): 

 

              

 

   

 

                   

 
Uwaga:  

a. 

z  wzoru

  [1] 

można  obliczyć  wartość  wektora

 

   

, 

natomiast  nie  wynika  z  niego  zwrot,  kierunek  i  punkt 

przyłożenia tego wektora.  

 

 

b. 

Konieczna jest znajomość wartości funkcji 

cosinus

 dla danego kąta 

 

.

 

 

c. 

Wartość wektora

 

 

                 

  

jest taka sama jak wektora

 

       

       

   

. 

 
Przykłady dla szczególnych przypadków: 
 
                  

                                    



 

     

 

 

 



           (cos0



 = 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot 

 

Z [1]:           

 

   

 

                    

 

               

 

          

 

          

 

                                                                                                                        z wzoru skróconego mnożenia 

Wniosek:

 

wartość  różnicy  dwóch  wektorów  o  takich  samych  kierunkach  i  zwrotach  jest  równa  wartości 

bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów. 

Metodą graficzną:                                             

  

             

   

 

 

                                                                                          

 

                                                                                     

    

 
 
                     

                                   



 

                                                              



            (cos180



 =  – 1)  wektory mają taki sam kierunek i przeciwny   

                                                                                                                        zwrot 
 

Z [1]:           

 

   

 

                       

 

               

 

          

 

                  

 

                                                                                                               z wzoru skróconego mnożenia 

 

Wniosek:

 

wartość  różnicy  dwóch  wektorów  o  takich  samych  kierunkach  i  przeciwnych  zwrotach  jest  równa 

sumie wartości obu wektorów składowych.

 

        

 

Metodą graficzną: 

                                                                 

 

                          

 

                                                                           

                                                                                

   

                                                                     

 

[1] 

          

   

 

          

   

 

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

 

Strona 3 

 

                                                                
                                                           



 

  

                                                               



            (cos90



 = 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe     

         

Z (1):           

 

   

 

                    

 

   

 

 

 

Wniosek:

 

wartość różnicy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych  jest równa pierwiastkowi 

kwadratowemu  z  sumy  kwadratów  wartości  obu  wektorów

  (jak  długość  przeciwprostokątnej  w  trójkącie 

prostokątnym - co wynika z twierdzenia Pitagorasa). 
 

Metodą graficzną:

 

 
                      

    

 

 

 

 

 

                lub 

                                

 

 

                          

   

             

                                                                                                           

   

                      

                          

                                                                                                                          

 

                                                                                                                                                           

    

 
     metoda wieloboku sznurowego                                                                    metoda równoległoboku 
  
 

3. Analityczne (rachunkowe) odejmowania wektorów o znanych               

współrzędnych. 

 

Założenie:   
 



 

danych jest   dwuwymiarowych wektorów  

   

 

                   o znanych współrzędnych   

   

 

    

   

   

   

  

 

Problem ogólny: 

 



 

jak obliczyć wartość wektora  

    danego zależnością: 

 

        

   

 

   

   

 

   

   

 

       

   

 

       

   

 

 

 

Aby wyznaczyć wartość wektora  

   wystarczy wyznaczyć wartości jego współrzędnych 

 

 

i  

 

, po czym skorzystać 

z zależności:

 

      

 

 

   

 

 

 

 

Każda ze współrzędnych wektora  

   jest sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych, tzn.:

 

 

 

 

    

   

   

   

   

   

       

   

       

   

 

 

 

 

 

    

   

   

   

   

   

       

   

       

   

 

 
Uwaga: 

analogicznie postępuje się w przypadku wektora trójwymiarowego

: 

 

      

 

 

   

 

 

   

 

 

 

 

 

 

    

   

   

   

   

   

       

   

       

   

 

 

 

          

   

 

 

[2a] 

 

[2b] 

 

[2c] 

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

 

Strona 4 

 

Przykład.

 Dane są wektory:  

                       oraz                   . 

 

a. Oblicz wartość każdego z wektorów. 

 

  

             

 

 

   

 

 

       

 

   

 

                 

   

 

  

             

 

 

   

 

 

    

 

     

 

          

    

 

b. Oblicz wartość sumy  tych wektorów:  

      

       

    

 

      

 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

             

 

 

 

 

   

 

   

 

            

 

      

 

 

   

 

 

       

 

   

 

             

 

   

 

  

 

c. Oblicz wartość różnicy wektorów  

    i     . 

 

 

                  

 

 

        

 

   

 

   

 

   

 

                                     

 
 

  

             

 

 

   

 

 

       

 

   

 

                  

       

 

 
 

d. Oblicz współrzędne i wartość wektora:   

            

           

   .