0 Instrukcja Wst, Spis temat�w �wicze� laboratoryjnych:

Instrukcja wstpna

I. Pomiary. Bdy i niepewnoci pomiarowe.

Zjawiska fizyczne i przedmioty materialne opisujemy ilociowo przy pomocy wielkoci fizycznych. Wielkoci fizyczn jest kada wasno zjawiska lub ciaa, kt�r mona zmierzy. Na og� wielko fizyczna ma jednostk miary. Jest to okrelony stan tej wielkoci, kt�remu przypisujemy umownie liczb 1, opatrzon mianem (wymiarem) tej wielkoci. Miar wielkoci fizycznej jest warto liczbowa, opatrzona jednostk miary. Jednostki miar wielkoci fizycznych zebrane s w ukadach jednostek. Obowizujcym obecnie ukadem jest Midzynarodowy Ukad Jednostek Miar, znany jako ukad SI.

Pomiarem danej wielkoci nazywamy czynnoci prowadzce do wyznaczenia wartoci liczbowej miary tej wielkoci, przy ustalonej jednostce miary. Pomiar moe by bezporedni lub poredni. Pomiar bezporedni polega na odczycie miary z przyrzdu pomiarowego (termometru, suwmiarki, amperomierza itd.). Wynik pomiaru poredniego obliczamy ze wzoru, wyraajcego dan wielko poprzez inne wielkoci, mierzone bezporednio.

Liczby, bdcej wynikiem pomiaru, nie mona uwaa za warto dokadn (prawdziw). Kolejny pomiar daje zazwyczaj nieco inn warto. Dokadnoci przyrzd�w, metody pomiar�w, staranno eksperymentatora i warunki otoczenia s przyczynami bd�w pomiarowych. Bdem pomiarowym nazywamy r�nic midzy wartoci prawdziw a wynikiem pomiaru. Nawet bardzo staranny eksperymentator, stosujcy najlepsze metody i przyrzdy, w optymalnych warunkach moe otrzyma wyniki bardzo dokadne, lecz nie bezbdne. Rozr�niamy bdy przypadkowe i systematyczne.

Bdy przypadkowe powstaj w wyniku losowych zmian czynnik�w wpywajcych na pomiar. Przyczyny bd�w przypadkowych s trudne lub niemoliwe do przewidzenia i usunicia:

niepewnoci obiektu: naturalny rozrzut w zbiorze badanych przedmiot�w lub odstpstwa od zaoonych wasnoci przedmiotu
niepewnoci metody: rozrzut wskaza przyrzd�w, rozrzut warunk�w zewntrznych, rozrzut reakcji eksperymentatora

Bdy systematyczne powstaj take w wyniku zmian wspomnianych czynnik�w, ale przyczyny tych bd�w s w zasadzie moliwe do rozpoznania. Naley w miar moliwoci wprowadzi poprawki kompensujce bdy systematyczne.

Kady pomiar daje w wyniku tylko warto przyblion. Wynikiem pomiaru jest warto liczbowa, posiadajca zwykle kilka miejsc dziesitnych. Ostatnie cyfry tej liczby nie s pewne. Konieczne jest ustalenie kryteri�w oceny wynik�w pomiar�w, tak, aby uzyska odpowiedzi na nastpujce pytania:

jaka jest dokadno pomiar�w (stopie ich pewnoci)?
czy wyniki, otrzymane r�nymi metodami lub przez r�ne osoby, s zgodne?

Poprawny wynik pomiaru powinien zawiera warto liczbow danej wielkoci w oraz przedzia � �w, w kt�rym mieci si z duym prawdopodobiestwem warto rzeczywista tej wielkoci. Liczb �w,

bdc poow szerokoci tego przedziau, nazywamy niepewnoci pomiarow.

Wynik pomiaru podany bez oszacowania jego dokadnoci ma znikom warto.

I. 1. Niepewnoci pomiar�w bezporednich

I. 1. 1. Niepewnoci standardowe typu A

Rozwaamy sytuacj, gdy zredukowano bdy systematyczne np. poprzez uycie bardzo dokadnych przyrzd�w lub zastosowanie lepszej metody. Mamy w takiej sytuacji do czynienia g�wnie z bdami przypadkowymi. Wielokrotny pomiar pewnej wielkoci w daje zbi�r wartoci: w₁, w₂, ... , w_n, przy czym wartoci te wykazuj na og� istotny rozrzut. Jeeli liczba pomiar�w jest bardzo dua to do ich opracowania stosuje si analiz statystyczn. Prowadzi ona do wniosku, e najlepszym przyblieniem

prawdziwej wartoci pomiaru jest rednia arytmetyczna z serii, oznaczana przez :

(1)

Warto przyjmujemy za wynik pomiaru.

Miar niepewnoci wyniku pomiaru bezporedniego jest tzw. niepewno standardowa, kt�r

oznaczamy przez u(w) i obliczamy ze wzoru:

(2)

W literaturze wielko u(w) nazywana jest odchyleniem standardowym redniej arytmetycznej i oznaczana najczciej jednym z symboli: , , .

W laboratorium studenckim rzadko wykonuje si dug seri pomiarow. Wz�r (2) daje tym lepsze

oszacowanie niepewnoci pomiarowej im liczba pomiar�w n jest wiksza.

I. 1. 2. Niepewnoci maksymalne

W pewnych przypadkach wyniki kolejnych pomiar�w s jednakowe lub rozrzut wynik�w jest bardzo may. Niekiedy pomiar jest bardzo trudny do powt�rzenia, brak wic w og�le moliwoci stwierdzenia rozrzutu. W sytuacjach tego rodzaju dominujc rol odgrywaj bdy systematyczne. Istniej zasadniczo dwie przyczyny bezporednich systematycznych bd�w pomiarowych:

a) dokadno przyrzd�w (dziaka elementarna, klasa przyrzdu)

b) dokadno eksperymentatora (niepewno odczytu, niedoskonao zmys�w)

Niepewnoci, wynikajce z tych bd�w nazywa si maksymalnymi i oznacza symbolem � (delta). Obiektywnie wyznaczy mona tylko niepewno typu a) i jest ni np. warto dziaki. Przykady:

pomiar dugoci L miark milimetrow, niepewno wynosi �L = 1mm
pomiar temperatury termometrem, niepewno �t = 1^oC ( lub �t = 0,1^oC )

Klasa przyrzdu jest to jego dokadno, podawana przez producenta. Wynikajc std niepewno okrelamy na podstawie informacji podanych w instrukcji obsugi przyrzdu. Klasa analogowych miernik�w elektrycznych K jest to stosunek niepewnoci pomiarowej �X do maksymalnej wartoci na danym zakresie X_m, wyraony w procentach. Zatem K/100 = �X/X. W przypadku np. amperomierza klasy 0,5 na zakresie I_m = 0,1A, niepewno pomiarowa wynosi �I = K�I_m/100 = 0,5mA.

Niepewno typu b) musi subiektywnie oszacowa eksperymentator. Szczeg�ln uwag naley zwr�ci na niepewnoci pomiaru czasu przy pomocy stopera. Wczenie przyrzdu nastpuje w wyniku reakcji na bodziec wzrokowy, ale wymaga te reakcji m�zgu oraz mini, dziaajcych na przycisk stopera. Badania fizjologiczne wykazuj, e sumaryczna reakcja zachodzi w czasie ok. 0,2s. To samo dotyczy wyczenia stopera. czna niepewno pomiaru czasu wynosi przecitnie �t = 0,4�0,5s. Dobrym testem na oszacowanie czasu reakcji jest wielokrotna pr�ba zatrzymania stopera na okrelonej

pozycji. rednia odchyka, zaokrglona w g�r do 0,1s daje czas reakcji.

I. 2. Niepewnoci pomiar�w porednich

I. 2. 1. Niepewnoci standardowe typu A dla pomiar�w porednich

Niech wielko w, mierzona porednio, bdzie wyraona wzorem funkcyjnym:

w = f(x₁, x₂, ..., x_N) (3)

Wielkoci x₁, x₂, ..., x_N wyznaczane s z pomiar�w bezporednich. Wynik kocowy obliczamy ze wzoru: , w kt�rym, , ... , s rednimi arytmetycznymi pomiar�w wielkoci x₁, x₂, ..., x_N. Zakadamy, e znane s niepewnoci standardowe u(x₁), u(x₂), ... , u(x_N).

Miar niepewnoci wyniku jest w tym przypadku tzw. zoona niepewno standardowa, kt�r

oznaczamy przez u_c(w) i obliczamy z prawa przenoszenia niepewnoci, wyraonego wzorem:

(4)

Symbole oznaczaj tzw. pochodne czstkowe funkcji wzgldem zmiennych x_i (i = 1, 2,..., N). Pochodne te liczy si podobnie do pochodnej funkcji jednej zmiennej. Jeeli liczymy pochodn wzgldem zmiennej x_i, to wszystkie pozostae zmienne traktujemy tak jak wielkoci stae.

Wz�r (4) znacznie si upraszcza, gdy wielko w mona wyrazi w formie:

(5)

Kada pochodna czstkowa daje si zapisa w postaci : .

Po podstawieniu tych wyrae do wzoru (4) otrzymujemy:

(6)

Przykad. Pomiar gstoci ciaa w ksztacie wydronego walca ze wzoru:

Masa m, rednica zewntrzna D, rednica wewntrzna d i wysoko h wyznaczone s z pomiar�w bezporednich z niepewnociami standardowymi odpowiednio: u(m), u(h), u(D) oraz u(d). Zachodz zwizki: w = , x₁ = m, x₂ = h, x₃ = D, x₄ = d. Obliczamy pochodne czstkowe i przeksztacamy je do

jak najprostszej postaci, wykorzystujc wz�r na gsto :

, , , .

Niepewno u_c() obliczamy stosujc wz�r (4) i otrzymujemy:

(*)

Dla penego walca d = 0 i gsto wyraa si wzorem: . Mona go napisa w formie . Jest to wz�r typu (5), w kt�rym A = 4/, n₁ = 1, n₂ =-1, n₃ =-2. Niepewno u_c()

obliczamy w tym przypadku stosujc wz�r (6), std:

Jest to szczeg�lny przypadek wzoru (*).

I. 2. 2. Niepewnoci standardowe typu B dla pomiar�w porednich

Niepewnoci tego typu wyznaczamy, gdy bezporednie pomiary wielkoci x₁, x₂, ..., x_N, wystpujcych we wzorze (3): w = f(x₁, x₂, ..., x_N), nie wykazuj rozrzutu bd ich rozrzut jest may albo zostay wykonane tylko raz. Znamy wtedy tylko niepewnoci maksymalne wynik�w pomiar�w: �x₁, �x₂, ..., �x_N. W takich przypadkach stosuje si uproszczon analiz statystyczn. Odpowiednie

niepewnoci standardowe pomiar�w bezporednich okrelane s r�wnociami:

, , ... , , ... , (7)

Zoon niepewno standardow u_c(w) obliczamy tak, jak w przypadku niepewnoci typu A.

Podstawiamy wyraenia (7) do wzoru (4), otrzymujc:

(8)

Gdy wielko w mona wyrazi w formie (5), r�wnoci (7) podstawiamy do wzoru (6), skd mamy:

(9)

Zazwyczaj niepewno wynika zar�wno z bd�w przypadkowych (niepewno standardowa u(x_i)), jak te systematycznych (niepewno maksymalna �x_i). Efektywn niepewno standardow pomiaru

bezporedniego wielkoci x_i naley wtedy oblicza ze wzoru .

I. 2. 3. Niepewnoci rozszerzone. Niepewno wzgldna.

Niepewnoci standardowe u(w) i u_c(w) wyznaczaj przedziay domknite, w kt�rych zawiera si z okrelonym prawdopodobiestwem wynik pomiaru:

1) przedzia - u(w), + u(w) . Wynik mieci si w tym przedziale z prawdopodobiestwem

okoo 0,683 czyli 68,3%,

2) przedzia -2u(w), +2u(w) . Wynik mieci si w tym przedziale z prawdopodobiestwem

okoo 0,954 czyli 95,4%,

3) przedzia -3u(w), +3u(w) . Wynik mieci si w tym przedziale z prawdopodobiestwem

okoo 0,997 czyli 99,7%.

Wprzypadku pomiar�w porednich stosuje si czsto og�lniejsz procedur poszerzania tych przedzia�w. Stopie pewnoci wyniku pomiaru, a zatem odpowiednie prawdopodobiestwo, moe

wybra eksperymentator. Przedzia, w kt�rym zawiera si z wymagan pewnoci wynik, ma posta:

- k�u_c(w), + k�u_c(w) (10)

Iloczyn k�u_c(w) nazywany jest niepewnoci rozszerzon i oznacza przez U(w). Liczb k nazywa si wsp�czynnikiem rozszerzenia. Istniej tablice wartoci k dla danych wartoci prawdopodobiestwa, uwzgldniajce r�wnie poprawki wynikajce z dugoci serii pomiarowej. Najczciej stosowane s

wsp�czynniki rozszerzenia k = 2 lub k = 3.

Wszystkie wymienione rodzaje niepewnoci maj charakter bezwzgldny. Wyznaczaj one r�nic, kt�ra moe zaistnie z okrelonym prawdopodobiestwem, midzy wartoci prawdziw a wartoci otrzyman z pomiar�w. Zalenie od bezwzgldnej wartoci wyniku pomiaru, r�nica ta ma jednak inne znaczenie. Jeeli obcinik o masie 10g zwaono z dokadnoci 1g, to dokadno pomiaru jest niska, ale jeeli zwaono z t dokadnoci bry o masie 1kg, to pomiar jest bardzo dokadny. W celu lepszego scharakteryzowania dokadnoci pomiaru stosuje si pojcie niepewnoci wzgldnej. Niepewno wzgldna jest to stosunek niepewnoci pomiaru do wartoci bezwzgldnej tego pomiaru. Niepewno wzgldn wielkoci w oznaczamy przez u_r(w). Przyjto wyraa niepewno wzgldn w procentach, zatem:

lub % (11)

Wykonanie wiczenia.

Wykonanie wiczenia laboratoryjnego powinno by poprzedzone uwanym przeczytaniem instrukcji do tego wiczenia. Naley zastanowi si nad og�lnym schematem wiczenia:

zapozna si z tematem, przypomnie potrzebne wiadomoci teoretyczne
zanotowa cel wiczenia, badany obiekt i wyznaczan wielko fizyczn
zrozumie metod pomiar�w i przemyle kolejno ich wykonania
zaplanowa opracowanie wynik�w

Do opisu wiczenia czyli zanotowania wynik�w pomiar�w i ich opracowania suy odpowiedni arkusz sprawozdawczy. Celowe jest zastanowienie si nad rozmieszczeniem na tym arkuszu poszczeg�lnych

czci opisu, przed przystpieniem do jego wypeniania.

UWAGA! Szczeg�owy przebieg wykonania wiczenia okrela osoba prowadzca.

Dotyczy to zar�wno wykonania pomiar�w jak i opracowania wiczenia.

II. 1. Wykonanie pomiar�w. Zapis wynik�w pomiar�w.

Przed rozpoczciem pomiar�w naley upewni si, czy na stanowisku pomiarowym znajduje si, zgodnie z instrukcj do danego wiczenia, peny zestaw przyrzd�w i badany obiekt. Sprawdzamy

nastpnie czy zestaw przyrzd�w jest gotowy do pomiar�w (odpowiednio poczony).

UWAGA! Nie wolno wcza przyrzd�w elektrycznych bez zgody osoby prowadzcej wiczenie.

Zakada si, e wykonujcy pomiary powinien umie posugiwa si podstawowymi przyrzdami pomiarowymi, takimi, jak przymiar milimetrowy, suwmiarka, stoper, waga laboratoryjna, termometr, amperomierz, woltomierz.

W razie jakichkolwiek wtpliwoci naley zwr�ci si do osoby prowadzcej wiczenie.

Na podstawie instrukcji i wasnych przemyle naley wybra form zapisu wynik�w pomiar�w. Forma zapisu nie jest sztywno okrelona dla wszystkich wicze i zaley od specyfiki pomiar�w. Niezalenie od formy zapisu, wyniki powinny by zanotowane w sprawozdaniu z wiczenia w taki

spos�b, aby mona byo je atwo odszuka i odczyta.

Mierzona wielko musi by opatrzona nazw, symbolem i jednostk miary.

Najczciej wyniki pomiar�w wpisujemy do tabel. W instrukcjach umieszczono na og� przykady tabel. Wielko i rozmieszczenie wierszy i kolumn tabeli powinny zapewnia przejrzysto i czytelno wynik�w, a take odpowiedni stron estetyczn. Arkusz sprawozdawczy wykonany jest w formie papieru milimetrowego, co uatwia rysowanie tabel. Tabel naley sporzdzi przed rozpoczciem pomiar�w. Linie tabeli powinny by wyranie narysowane, tak, aby kada kom�rka (kratka) tabeli zawieraa dobrze oddzielony, pojedynczy wynik.

Pomiary naley wykonywa starannie i ostronie, aby nie naraa na niebezpieczestwo siebie i innych os�b oraz nie uszkodzi przyrzd�w. Postpowa zgodnie ze szczeg�owymi poleceniami instrukcji oraz osoby prowadzcej wiczenie. Wyniki pomiar�w powinny by notowane na bieco. Zalecane jest zapisywanie wynik�w pomiar�w od razu w ostatecznej formie, poniewa przed opuszczeniem laboratorium wykonujcy wiczenie musi uzyska na arkuszu sprawozdawczym potwierdzenie

wykonania pomiar�w.

II. 2. Opracowanie wynik�w.

II. 2. 1. Obliczenia wynik�w pomiar�w porednich i niepewnoci.

W laboratorium wykonywane s pomiary bezporednie. Wyniki tych pomiar�w s podstaw do osignicia celu wiczenia, kt�rym jest najczciej poredni pomiar jakiej wielkoci fizycznej. Warto tej wielkoci oblicza si na og� z odpowiedniego wzoru. We wstpie opracowanie powinno zatem zawiera nastpujce informacje:

jaka wielko fizyczna jest wyznaczana,
bardzo kr�tki opis metody pomiar�w, ew. Schemat ukadu pomiarowego
wz�r, z kt�rego wielko jest obliczana oraz kr�tkie uzasadnienie uycia tego wzoru
odniesienie do wynik�w pomiar�w, bdcych podstaw oblicze

Obliczenia powinny by wykonane zasadniczo w ukadzie jednostek SI. Oczywicie nie jest bdem stosowanie w obliczeniach jednostek z ukadu CGS, jak np. centymetr czy gram. Nie wolno jednak miesza r�nych ukad�w jednostek np. oblicza ciaru Q = m�g, przyjmujc „og�lnie znan” warto g = 9,81m/s²_, ale podstawiajc za mas m = 50g. Uywane czsto wielokrotnoci lub podwielokrotnoci jednostek musz by sprowadzone do jednostek podstawowych np.: 20 k = 2�10⁴, 5 mA = 5�10^-3A.

W warunkach laboratorium studenckiego wynikami pomiar�w bezporednich s liczby posiadajce na og� co najwyej 3 miejsca dziesitne. Stae matematyczne i fizyczne oraz dane z tablic powinny wic zawiera co najmniej 4 lub 5 cyfr znaczcych aby mona byo ich niedokadno pomin:

= 3,14159..... 3,1416

gsto wody w 20^oC = 998,2 kg/m³

przyspieszenie ziemskie g = 9,812 m/s²

Ostatnia z przytoczonych wielkoci ma charakter lokalny i nie jest dokadnie znana dla Radomia. Jej

warto wzito z urednienia danych dla Warszawy, odzi i Lublina.

Aby usprawni rachunki, naley przed wykonaniem oblicze, sprowadzi bardzo due i bardzo mae liczby, do tzw. postaci wykadniczej:

X = _ , _ _ _ ... �10ⁿ (12)

M�wi si, e liczba X jest rzdu 10ⁿ. Przed przecinkiem dziesitnym jest tu tylko jedna cyfra, r�na od zera, a po przecinku pozostae cyfry tej liczby. Okrelenie rzdu wielkoci fizycznej odnosi si do stosowanego ukadu jednostek. Ustalanie rzdu wielkoci objaniaj nastpujce przykady:

przyspieszenie ziemskie g = 9,812 m/s² = 9,812�10⁰m/s² - liczba jest rzdu jednoci w ukadzie SI

" " g = 981,2cm/s²= 9,812�10²cm/s²- liczba rzdu setek w ukadzie CGS

prdko wiata c = 29979246 km/s = 2,9979246�10⁸ m/s - liczba rzdu 10⁸ w ukadzie SI

" " c = 2,9979246�10¹⁰ cm/s - liczba rzdu 10¹⁰ w ukadzie CGS

objto mola gazu V = 22,4138 dm³ = 2,24138�10^-2 m³ - liczba rzdu jednej setnej w ukadzie SI

" " " V = 2,24138�10⁴ cm³ - liczba rzdu dziesitek tysicy w ukadzie CGS.

Posta wykadnicz warto stosowa w sytuacjach, gdzie liczba w zwykej postaci dziesitnej zawiera na kocu albo przed przecinkiem duo zer, co wydua jej zapis. Zamiast zapisa op�r elektryczny 2 M jako 2000000, piszemy 2�10⁶. Pojemno elektryczn 5 nF, zamiast 0,000000005 F, zapisujemy jako 5�10^-9 F.

Liczby, otrzymywane jako wyniki oblicze, maj zwykle wicej miejsc dziesitnych ni uzasadnia to dokadno pomiar�w. Nie wolno jednak dokonywa adnych nieuzasadnionych zaokrgle, zanim ta dokadno nie zostanie oszacowana. Uwaga powysza dotyczy w szczeg�lnoci sytuacji, w kt�rej osoba wykonujca obliczenia, decyduje si na rachunki w kilku etapach. Wyniki jednego etapu s danymi do oblicze w nastpnym etapie. Aby unikn nawarstwiania si bd�w zaokrgle, naley zachowywa w obliczeniach etapowych 4 lub 5 miejsc dziesitnych. W warunkach studenckich nie ma potrzeby zachowywania wicej ni 5 miejsc, poniewa nie poprawia to w istotny spos�b dokadnoci oblicze. Kocowe wartoci liczbowe oblicze powinny by poddane krytycznej analizie, poniewa zostay uzyskane na podstawie pomiar�w, kt�re zawsze s obarczone pewnymi bdami. Wszystkie wymienione powyej uwagi i zalecenia dotycz r�wnie obliczania niepewnoci pomiarowych. W zalenoci od metody pomiaru, ustala si rodzaj niepewnoci i oblicza j z jednego z podanych wczeniej wzor�w: (2), (4), (6), (8) lub (9). Czsto okazuje si, e tylko niekt�re bdy pomiarowe wywieraj istotny wpyw na wyniki kocowe. Niepewno wynik�w kocowych mona w�wczas wyznaczy, uwzgldniajc tylko te bdy. Wzory suce do obliczania niepewnoci w konkretnych

wiczeniach znajduj si w gotowej postaci w instrukcjach do tych wicze.

II. 2. 2. Zaokrglanie i por�wnywanie wynik�w kocowych.

Poprawn form wynik�w kocowych, mona poda dopiero po wyznaczeniu niepewnoci pomiarowych. Obliczenia niepewnoci dokonuje si na podstawie przyjtego, statystycznego modelu rozkadu bd�w pomiarowych. Jest to rozkad losowy, zatem sens ma jedynie prawdopodobiestwo wystpienia okrelonej wartoci niepewnoci. Istnienie niepewnoci pomiarowych pozwala tylko umieci wynik pomiaru w pewnym przedziale, z duym prawdopodobiestwem. Jest wic rzecz prawie pewn, e nie wszystkie cyfry liczby wyraajcej wynik pomiaru s wartociowe. Ostatnie cyfry wyniku s zupenie przypadkowe i nie maj znaczenia. O tym, kt�re cyfry wyniku pomiaru naley zachowa, rozstrzyga warto liczbowa niepewnoci pomiarowej. Obowizuje og�lna zasada

znajdowania poprawnej postaci niepewnoci:

w liczbie okrelajcej niepewno pomiaru zachowuje si tylko dwie cyfry znaczce

na najwyszych miejscach dziesitnych.

Zaokrglanie niepewnoci do dw�ch cyfr znaczcych odbywa si na og�lnych zasadach:

jeeli trzecia cyfra znaczca niepewnoci jest mniejsza ni 5 - zaokrglamy w d�,
jeeli trzecia cyfra znaczca niepewnoci jest wiksza lub r�wna 5 - zaokrglamy w g�r.

Po ustaleniu poprawnej postaci niepewnoci okrelamy poprawn posta wartoci liczbowej pomiaru.

Og�lna zasada jest nastpujca:

Warto liczbow wyniku pomiaru zaokrglamy do tego samego miejsca dziesitnego,

do kt�rego zaokrglono niepewno pomiarow.

Obowizuj takie same, og�lne zasady zaokrglania, jak przytoczono powyej.

Poprawna, pena forma wyniku pomiaru powinna skada si z wartoci pomiaru i jego niepewnoci pomiarowej oraz jednostki miary. Obowizujc posta zapisu wyniku ustalia Midzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO). W zalenoci od tego, jak niepewno wyznaczono, rozr�nia si dwie poprawne formy zapisu:

a) dla niepewnoci standardowych u(w) i u_c(w) - bezporednio po wartoci liczbowej pomiaru podaje

si dwie cyfry niepewnoci, umieszczone w okrgych nawiasach, a po nawiasie jednostk miary,

b) dla niepewnoci rozszerzonej U(w) - w okrgych nawiasach podaje si warto liczbow

pomiaru � niepewno a po nawiasie jednostk miary.

Dla lepszego zrozumienia zasad znajdowania poprawnej postaci wyniku podamy kilka przykad�w.

1. Wynik pomiaru przyspieszenia ziemskiego g = 9,7872583 m/s²,

niepewno standardowa u(g) = 0,0356851 m/s²

Pierwsz cyfr znaczc niepewnoci jest 3, drug 5. Druga cyfra znaczca jest trzecim, po przecinku, miejscem dziesitnym. Poniewa trzecia cyfr znaczc jest 6, wic niepewno zaokrgla si w g�r do dw�ch cyfr znaczcych. Wynosi ona zatem u(g) = 0,036 m/s². Wynik zaokrglamy take do trzeciego po przecinku miejsca dziesitnego. Poniewa czwart cyfr po przecinku jest 2, wic wynik zaokrglamy w d�. Poprawny wynik kocowy ma form: g = 9,787(36) m/s². Taka forma zapisu wyznacza przedzia wartoci od (9,787-0,036)m/s²= 9,751m/s² do (9,787+0,036)m/s²= 9,823m/s². Prawdziwa warto mieci si w przedziale 9,751 ; 9,823 m/s² z prawdopodobiestwem 68,3%.

Mona poda take niepewno rozszerzon U(g) ze wsp�czynnikiem rozszerzenia np. k = 2. Obliczamy U(g) = 2u(g) = 0,0713702 m/s². Zaokrglamy do U(g) = 0,071 m/s². Wynik zapisujemy w formie g = (9,787 � 0,071)m/s². Wyznaczamy rozszerzony przedzia od (9,787-0,071)m/s²= 9,716m/s² do (9,787+0,071)m/s²= 9,858m/s². Prawdziwa warto zawiera si w przedziale 9,716 ; 9,858 m/s²

z prawdopodobiestwem 95,4%.

2. Wynik pomiaru temperatury katody lampy elektronowej T = 1374,5802 K

niepewno standardowa u(T) = 24,375083 K

Pierwsz cyfr znaczc niepewnoci jest 2, drug 4. Druga cyfra znaczca jest miejscem dziesitnym jednoci. Poniewa trzeci cyfr znaczc jest 3, wic niepewno zaokrgla si w d� do dw�ch cyfr znaczcych. Wynosi ona u(T) = 24 K. Wynik zaokrglamy take do miejsca dziesitnego jednoci. Poniewa po przecinku jest cyfra 5, wic zaokrglamy go w g�r. Poprawny wynik kocowy ma zatem form: T = 1375(24) K. Z postaci zapisu wyznaczamy przedzia wartoci od (1375-24) K = 1351K do (1375+24) K = 1399 K. Z prawdopodobiestwem 68,3% prawdziwa warto pomiaru zawiera si w

przedziale 1351 ; 1399 K.3

Obliczymy r�wnie niepewno rozszerzon U(T), dla k = 2. Mamy U(T) = 2u(T) = 48,550166 K. Zaokrglamy do U(T) = 49 K. Podajemy poprawn form wyniku T = (1375 � 49) K. Wyznaczamy rozszerzony przedzia od (1375-49)K = 1326K do (1375+49) = 1424K. Prawdziwa warto mieci si

w przedziale 1326 ; 1424 K z prawdopodobiestwem 95,4%.

W niekt�rych wiczeniach stosuje si dwie metody wyznaczania danej wielkoci fizycznej. Wyniki pomiar�w, otrzymane tymi metodami, nie s na og� jednakowe, chocia dotycz tej samej wielkoci. Por�wnanie niepewnoci pomiarowych obydwu metod pozwala w zasadzie stwierdzi, kt�ra jest dokadniejsza. Mona take sprawdzi stopie zgodnoci tych wynik�w. Jeeli r�nica wynik�w jest spowodowana tylko ograniczeniami dokadnoci pomiar�w to m�wimy, e uzyskane wyniki s zgodne w granicach dokadnoci pomiar�w. Jeeli r�nice s trudne do wyjanienia przez niedokadno pomiar�w w�wczas mamy niezgodno wynik�w. Moe to wiadczy o duych bdach popenianych przy pomiarach w jednej a nawet obu metodach. Prostym kryterium zgodnoci wynik�w jest istnienie albo brak czci wsp�lnej przedzia�w, wyznaczonych przez niepewnoci pomiarowe obu metod. Stosujemy w tym przypadku niepewnoci rozszerzone. Wsp�czynnik rozszerzenia k = 2 daje prawie pewno, e odpowiednie przedziay niepewnoci obu metod zawieraj prawdziw warto pomiaru (prawdopodobiestwo ponad 90%). Podany poniej przykad powinien pom�c w wyjanieniu sposobu stosowania tego kryterium.

Ocena zgodnoci wynik�w pomiar�w oporu elektrycznego, wyznaczonego dwiema metodami.

Metoda 1. Op�r R₁ = 736,13845 , niepewno standardowa u(R₁) = 4,1836595

Postpujemy tak jak opisano to w przykadach powyej, ale uywamy niepewnoci rozszerzonej:

a) okrelamy niepewno rozszerzon U(R₁) = 2u(R₁) i zaokrglamy do U(R₁) = 8,4 ,

b) wynik podajemy z dokadnoci do 0,1 , tak jak niepewno U(R₁), czyli R₁ = 736,1 ,

c) kocowy wynik podajemy w formie R₁ = 736,1(8,4) .

Wyznaczamy przedzia niepewnoci od (736,1 - 8,4) = 727,7 do (736,1 + 8,4) = 744,5 .

Metoda 2. Op�r R₂ = 754,68315 , niepewno standardowa u(R₂) = 13,582744

Postpujemy jak w metodzie 1.:

a) okrelamy niepewno rozszerzon U(R₂) = 2u(R₂) i zaokrglamy do U(R₂) = 27 ,

b) wynik podajemy z dokadnoci do 1 , tak jak niepewno U(R₂), czyli R₂ = 755 ,

c) kocowy wynik podajemy w formie R₁ = 755(27) .

Wyznaczamy przedzia niepewnoci od (755 - 27) = 728 do (755 + 27) = 782 .

Celowe jest przedstawienie tych przedzia�w graficznie.

R₁ - U(R₁) R₁ R₁ + U(R₁)

727,7 736,1 744,5

R₂ - U(R₂) R₂ R₂ + U(R₂)

728 755 782

Widoczne jest, e istnieje cz wsp�lna obu przedzia�w, zaznaczona dwustronn strzak, pomidzy liniami przerywanymi, obejmujca zakres wartoci oporu od 728 do 744,5 . Wyniki, otrzymane

obiema metodami s zatem zgodne w granicach dokadnoci pomiar�w.

W podobny spos�b por�wnuje si wyniki, uzyskane w laboratorium z danymi literaturowymi, a take wyniki pomiar�w wykonanych przez r�nych eksperymentator�w. Niepewnoci danych literaturowych

s pomijalne w stosunku do niepewnoci typowych dla laboratorium studenckiego.

II. 2. 3. Sporzdzanie wykres�w.

W wielu przypadkach wykres jest bardzo wygodn i pogldow form przedstawienia wynik�w. Wykres�w uywa si w celu prezentacji wielkoci, midzy kt�rymi istnieje jaka zaleno. Najczciej wykres jest ilustracj zmian pewnej wielkoci fizycznej wywoanych zmianami innej wielkoci, czyli matematycznie jest to funkcja jednej zmiennej. Zazwyczaj wykres zalenoci umieszcza si w prostoktnym ukadzie wsp�rzdnych. O pozioma ukadu przyporzdkowana jest wielkoci zmienianej przez eksperymentatora. O pionowa odpowiada wielkoci, kt�ra jest reakcj ukadu pomiarowego na te zmiany. Wykresy stosuje si w nastpujcych przypadkach:

a) w celu wykazania, e badane wielkoci speniaj zaleno okrelonego typu, np. liniow,

wykadnicz itd.

b) gdy zaleno dw�ch wielkoci nie daje si przedstawi w formie wzoru matematycznego,

np. charakterystyki prdowo - napiciowe element�w elektronicznych.

Wykres powinien by czytelny i odpowiednio dokadny, aby wiarygodnie i w miar moliwoci precyzyjnie przedstawia badane zalenoci. W tym celu arkusz sprawozdawczy wykonany jest w postaci papieru milimetrowego. Sporzdzanie wykres�w jest dziki temu wzgldnie atwe. Czytelno i dokadno wykresu mona osign nadajc mu waciwy rozmiar. Zaleca si aby wykres zajmowa ca szeroko arkusza i nie odbiega raco od planu kwadratu.

Przed przystpieniem do sporzdzenia wykresu naley wyznaczy zakresy liczbowe pomierzonych wielkoci,czylir�nice midzy ich najwikszymi i najmniejszymi wartociami. Stosownie do zakres�w dobieramy skale na osiach wykresu. Najczciej zakresy te mieszcz si w 1 lub 2 rzdach wielkoci.

W takich przypadkach odpowiednie s skale liniowe, gdzie przedziay mierzonych wartoci s proporcjonalne do odpowiadajcych im odcink�w na osiach. Przyjto, e dziaka skali powinna mie jedn z postaci: 1�10ⁿ, 2�10ⁿ lub 5�10ⁿ, gdzie n jest liczba cakowit. Zatem mog to by liczby:

... 0,01 ... 0,1 ... 1 ... 10 ... 100 ... itd. albo ... 0,02 ... 0,2 ... 2 ... 20 ... 200 ... itd.

albo ... 0,05 ... 0,5 ... 5 ... 50 ... 500 ... itd.

Dob�r skali ma decydujce znaczenie dla czytelnoci wykresu. Osie wykresu nie musz przecina si w punkcie (0, 0). Nie ma potrzeby umieszczania na osiach tych wartoci, kt�rych pomiary nie obejmoway. Jeeli np. temperatur mierzono w zakresie od 47^oC do 83^oC to skala na osi temperatur powinna zaczyna si od 40^oC lub 45^oC, a koczy na 85^oC lub 90^oC. Skala powinna by tak dobrana, aby na osi znalazo si okoo 10 dziaek. W podanym przykadzie odpowiedni dziak skali jest 5^oC.

Kad o wykresu naley opisa tzn. nanie skal, poda symbol wielkoci przyporzdkowanej tej osi i jednostk miary, podan w kwadratowych nawiasach np. dla temperatury podajemy t [^oC].

Poniej pokazano poprawnie opisan o dla podanego przykadu.

t [^oC]

45 50 55 60 65 70 75 80 85

Pary odpowiadajcych sobie zalenych wielkoci stanowi wsp�rzdne punkt�w pomiarowych. Punkty te nanosimy na sporzdzony ukad wsp�rzdnych w postaci niewielkich, symetrycznych figur np. krzyyk�w, k�ek itp. rodki tych figur powinny wyznacza punkty pomiarowe. Dla wybranych kilku punkt�w zaznaczamy nastpnie niepewnoci pomiarowe. Za�my, e w przykadzie podanym powyej, temperatur mierzono z dokadnoci �t, a drug badan wielkoci byo napicie, mierzone z dokadnoci �U . Wsp�rzdne kadego punktu pomiarowego mieszcz si w przedziaach:

a) temperatury t - �t ; t + �t , b) napicia U - �U ; U + �U . Na wykresie przedziay te zaznacza si w postaci tzw. prostokt�w niepewnoci. Prostokty takie maj boki 2��t i 2��U, a ich rodki stanowi punkty pomiarowe, jak pokazuje to rysunek.

� 2��U

punkt pomiarowy

2��t

Jeeli niepewnoci punkt�w pomiarowych s zbyt mae, aby mona byo je zaznaczy na wykresie, to pod wykresem umieszczamy kr�tk informacj o dokadnoci pomiar�w.

Wsp�rzdnych punkt�w pomiarowych nie umieszcza si na osiach, poniewa powoduje to nieczytelno opisu osi.

Gdy zakres mierzonej wartoci obejmuje kilka rzd�w wielkoci, wtedy dla odpowiedniej osi wykresu stosuje si skal logarytmiczn. Dla tej skali zachodzi proporcjonalno odcink�w skali do przedzia�w logarytm�w mierzonej wielkoci. Poniej przedstawiono skal logarytmiczn na osi natenia prdu, mierzonego w zakresie od 1mA do 10A.

10^-3 10^-2 10^-1 1 10¹ I [A]

1. rzd 2. rzd 3. rzd 4. rzd

Zakres obejmuje 4 rzdy wielkoci, poniewa 1mA = 10^-3A, 10A = 10¹A.

Na sporzdzony w opisany spos�b wykres punktowy nanosimy lini obrazujc badan zaleno.

Nie wolno bezporednio czy punkt�w pomiarowych!

Linie, kt�re s wykresami ilustrujcymi zaleno wielkoci fizycznych, w matematyce nazywane s krzywymi gadkimi. Na liniach tych mog pojawi si niecigoci, ale tylko wtedy, gdy zachodz tzw. przejcia fazowe np.: zmiany stanu skupienia badanej substancji. Niepewnoci pomiarowe powoduj, e punkty pomiarowe nie le dokadnie na rzeczywistej krzywej. czenie punkt�w pomiarowych daje zatem lini, kt�ra jest niepoprawnym wykresem badanej zalenoci. W wielu przypadkach ksztat wykresu przewidywany jest przez odpowiednie teorie i prawa fizyczne np. prawo Ohma m�wi, e natenie prdu, pyncego przez przewodnik jest proporcjonalne do przyoonego napicia (w staej temperaturze). Wykresem tej zalenoci jest linia prosta. Istniej metody matematyczne, umoliwiajce optymalne dopasowanie linii teoretycznej do punkt�w pomiarowych. Dobran w ten spos�b lini nanosimy na wykres przy pomocy linijki lub krzywik�w. Szczeg�lnie wane i czsto spotykane s przypadki, w kt�rych badana zaleno jest opisywana lini prost lub moe by sprowadzona do postaci linii prostej poprzez wprowadzenie odpowiednich zmiennych matematycznych.

II. 2. 4. Metoda najmniejszych kwadrat�w. Regresja liniowa.

Rozwaamy dwie wielkoci fizyczne x i y, zwizane zalenoci, opisywan lini prost:

y = A�x + B (13)

Wsp�czynniki A i B zawieraj zazwyczaj informacje o wasnociach badanych obiekt�w fizycznych. Znajomo tych wsp�czynnik�w pozwala wyznaczy niekt�re wielkoci, opisujce badane obiekty. Bardzo wan rzecz jest zatem jak najlepsze okrelenie wartoci A i B na podstawie serii pomiar�w wielkoci x i y. Podstaw najlepszego dopasowania prostej (13) do konkretnego zbioru punkt�w pomiarowych jest metoda najmniejszych kwadrat�w, podana przez wielkiego matematyka, Karola Gaussa. W metodzie tej bada si kwadraty odchyle wartoci mierzonych od przewidywanych wartoci optymalnych. Suma tych kwadrat�w powinna by najmniejsza, std nazwa metody. Jest to tzw. postulat Gaussa. W przypadku linii prostej optymalizacja polega na wyznaczeniu odpowiednich wsp�czynnik�w A i B. Procedura znajdowania wartoci A i B, oparta na metodzie najmniejszych kwadrat�w, nazywa si regresj liniow.

Zakadamy, e w wyniku pomiar�w wielkoci x i y, otrzymano zbi�r liczcy n punkt�w pomiarowych: (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ), ... , (x_n, y_n ). Za�my ponadto, e dokadno pomiar�w wielkoci x jest duo wiksza ni dokadno pomiar�w wielkoci y. Rozumiemy przez to, e niepewno wzgldna pomiar�w wielkoci x jest duo mniejsza ni niepewno wzgldna pomiar�w wielkoci y, czyli u_r (x ) << u_r (y ). Na wykresie zoonym z punkt�w pomiarowych rysujemy pr�bn prost. Rysunek przedstawia cz tego typu wykresu pr�bnego.

y_i y = A�x + B

d_i

y_it

x_i

Punkty pomiarowe zaznaczono duymi, ukonymi krzyykami �. Duy rozrzut punkt�w pomiarowych wzgldem prostej jest spowodowany wymogami czytelnoci rysunku. Poniewa wsp�rzdne x_i s z zaoenia duo dokadniejsze ni wsp�rzdne y_i, wic mona je traktowa jako dokadne. Gdyby wielko y take wyznaczono bardzo dokadnie, to punkty pomiarowe leayby na prostej. Dokadnym wartociom x_i odpowiadayby dokadne wartoci y_it, obliczone z r�wnania prostej, czyli y_it = A�x_i + B. R�nica midzy dokadn, teoretyczn wartoci y_it, a wartoci pomiarow wynosi d_i = A�x_i + B - y_i. Zgodnie z postulatem Gaussa, suma kwadrat�w wielkoci d_i powinna by minimalna. Rozwaana suma zaley od nieznanych wsp�czynnik�w A i B. Sum t traktuje si jak funkcj dwu zmiennych:

(14)

Przeksztacamy funkcj (14) do postaci:

Warunkiem koniecznym istnienia minimum powyszej funkcji jest zerowanie si jej pochodnych czstkowych wzgldem A i B, czyli:

oraz (15)

Funkcja f(A, B) jest kwadratowa wzgldem A i B, wic warunki (15) prowadz do nastpujcego ukadu dw�ch r�wna liniowych na niewiadome A i B :

1) 2)

Z ukadu r�wna 1) i 2) otrzymujemy szukane wsp�czynniki:

(16)

Metoda najmniejszych kwadrat�w daje take wzory na niepewnoci standardowe wsp�czynnik�w A i B. Rachunki s bardzo skomplikowane, podamy wic tylko kocow posta tych wzor�w. Naley najpierw okreli wielkoci d_i = A�x_i + B - y_i, gdzie A i B s dane wzorami (16). Nastpnie okrelamy wielkoci:

oraz (17)

Niepewnoci standardowe wsp�czynnik�w A i B dane s wzorami:

(18)

Obliczenia wartoci wsp�czynnik�w A i B ze wzor�w (16) oraz ich niepewnoci standardowych u(A) i u(B) ze wzor�w (18) s bardzo uciliwe. Dysponujc kalkulatorem z pamici mona je mimo to wzgldnie szybko wykona. Bardzo pomocne jest przy tym sporzdzenie tabelek jak poniej:

x_i	y_i	x_i²	x_i� y_i

Suma

W laboratorium postawione s do dyspozycji student�w komputery, kt�re w znacznym stopniu eliminuj pracochonne obliczenia,couatwia opracowanie wiczenia. Znajomo podstawowej obsugi komputera jest wr�d student�w coraz lepsza. Student zainteresowany korzystaniem z komputera powinien zapozna si z jego obsug, poniewa osoby prowadzce wiczenia mog udziela tylko

drobnych wskaz�wek, o ile pozwala na to czas.

Korzystanie z komputera nastpuje za zgod osoby prowadzcej wiczenie!

Program REGLINP (regresja liniowa)

Aby opracowa wyniki oblicze metod najmniejszych kwadrat�w naley otworzy program EXCEL. Nastpnie wpisuje si do kolumny A dane, kt�re bd speniay rol wielkoci x, a w kolumnie B dane, speniajce rol wielkoci y w r�wnaniu prostej y = A�x + B. Poniej rozpatrzono dwa przypadki.

1. Wielkoci x i y otrzymano z pomiar�w bezporednich. Przykadami takich wielkoci, zwizanych zalenoci liniow s: masa obcinika i dugo obcionej spryny, temperatura i napicie termopary, napicie na przewodniku i natenie pyncego przez niego prdu itd.

Celowe jest sprawdzenie czy istotnie punkty pomiarowe ukadaj si wzdu prostej. Mog niekiedy wystpi zak�cenia w pomiarach albo pomyki w zapisie wynik�w, dajce niepoprawne punkty pomiarowe, odbiegajce od linii prostej. W celu sprawdzenia ukadu punkt�w zaznaczamy kolumny danych A i B i korzystamy z kreatora wykres�w, kt�rego ikon mona znale na pasku. Wybieramy wycznie wykres XY punktowy! Jeeli pewne punkty wyranie odbiegaj od prostej to sprawdzamy czy nie ma bdu w danych i poprawiamy albo nie bierzemy tych punkt�w pod uwag, gdy wida, e wystpiy zak�cenia w pomiarach. Ustalamy w ten spos�b zbi�r poprawnych danych do opracowania.

Nastpnie zaznaczamy myszk 4 kom�rki obok kolumn danych (rys.)

Na pasku narzdzi odnajdujemy symbol funkcji f_x , umieszczamy na A B

nim kursor i naciskamy lewy przycisk myszki. Wybieramy funkcje u(A) u(B)

statystyczne a spor�d nich funkcj REGLINP. W pole „znane_y”

wpisujemy dane z kolumny B np.: b1:b20 (jeeli dane zaczynaj si w pierwszym wierszu). W pole „znane_x” wpisujemy odpowiednie dane z kolumny A, czyli a1:a20. W obydwa pozostae pola naley wpisa cyfr 1. Ostatnia czynno musi by wykonana szczeg�lnie uwanie. Tw�rcy polskiej wersji

programu EXCEL nie podali tego w objanieniach dotyczcych tej procedury!

Naciskamy jednoczenie klawisze „Shift” i „Ctrl” i nie zwalniajc tych klawiszy, naciskamy „Enter”.

Liczby, kt�re pojawi si w zaznaczonych 4 kom�rkach maj znaczenia jak na rysunku powyej.

2. Wielkoci x i y otrzymano definiujc je jako pewne funkcje lub kombinacje wielkoci mierzonych. Podane poniej przykady pomog zrozumie sprowadzanie niekt�rych zalenoci do postaci liniowej.

a) Zaleno oporu p�przewodnika R od temperatury bezwzgldnej T opisuje funkcja wykadnicza:

(19)

gdzie: R₀ jest sta o wymiarze oporu, E_g oznacza tzw. energi aktywacji, charakterystyczn dla danego p�przewodnika, k jest sta Boltzmanna.

Po zlogarytmowaniu zaleno (19) przybiera form:

(20)

Oznaczamy , ln(R) = y, , ln(R₀) = B. R�wnanie (20) ma teraz posta: y = B + A�x.

Wyniki pomiar�w temperatury t podaje si zwykle w ^oC. Aby zastosowa metod najmniejszych kwadrat�w wyraamy temperatur w kelwinach T = t + 273,15 K.

Podobnie jak w przypadku 1. korzystamy z procedury REGLINP w programie EXCEL. Do kolumny A wpisujemy temperatur t w ^oC, a do kolumny B op�r p�przewodnika R. Za�my, e dane zaczto wpisywa w pierwszym wierszu. W kolumnie C, w kom�rce pierwszego wiersza, definiujemy wyraenie 1/T, wpisujc: =1/(a1+273,15)

Ustawiamy biay krzyyk kursora w kolumnie C na prawym, dolnym rogu kom�rki, w kt�rej okrelono wyraenie 1/T tak, aby kursor przybra posta czarnego krzyyka. Naciskamy lewy klawisz myszki i „przecigamy” kursor do ostatniego wiersza z danymi. Kolumna C zawiera teraz szukane wielkoci x.

Nastpnie w kom�rce pierwszego wiersza w kolumnie D, definiujemy wyraenie ln(R), wpisujc:

=ln(b1)

Ustawiamy biay krzyyk kursora w kolumnie D na prawym, dolnym rogu kom�rki, w kt�rej okrelono wyraenie ln(R) i postpujemy tak, jak z kolumn C. Kolumna D zawiera szukane wielkoci y.

Kolumny C i D graj w tym przypadku podobn rol, jak kolumny A i B w przypadku 1.

Dalej postpujemy zatem tak samo, jak om�wiono poprzednio.

b) Zaleno okresu waha T wahada fizycznego od odlegoci d osi obrotu od rodka cikoci mona napisa w postaci:

(21)

Oznaczamy: A =, B = , d² = x, d�T² = y. R�wnanie (21) mona traktowa jako zaleno

liniow y = A�x + B. Stosujemy metod najmniejszych kwadrat�w podobnie jak w przykadzie a).

W kolumnie A wpisujemy odlego d, w kolumnie B wpisujemy okres T. W kolumnie C definiujemy wyraenie d², wpisujc =a1*a1. Jest to kolumna x - �w. W kolumnie D definiujemy wyraenie d�T², wpisujc =a1*b1*b1. Jest to kolumna y - �w. Sprawdzamy kreatorem wykres�w czy punkty (x, y) ukadaj si wzdu prostej. Po ewentualnych korektach wywoujemy procedur REGLINP.

Dane z kolumny C wpisujemy w pole „znane_x”. Dane z kolumny D wpisujemy w pole „znane_y”. Znajdujemy wsp�czynniki A i B i obliczamy odpowiednie wielkoci kocowe.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
26, moja lab 26, ?WICZENIE LABORATORYJNE NR 26.
02, WST$P, Jedn˙ z podstawowych metod laboratoryjnych wyznaczania g˙sto˙ci cia˙ sta˙ych i cieczy jes
instrukcje do sprawozdań, cw8 przerzutniki, Laboratorium
MATEMATYKA FINANSOWA INSTRUMENTY POCHODNE spis tresci
Analiza instrumentalna, Technologia chemiczna, Chemia analityczna, Laboratorium, Meteriały ogólne
Instrukcja BHP dotycząca wymagań i pracy w laboratorium(1)
Instrukcja PS1, 7 semestr, Procesory Sygnałowe, Laboratoria
t t karat zaliczenia wicze laboratoryjnych
Instrukcja BHP dotycząca wymagań i pracy w laboratorium
Instrukcja BHP dotycząca wymagań i pracy w laboratorium, Instrukcja bezpieczeństwa i higieny pracy
instrukcja bhp przy obsludze mlyna laboratoryjnego do rozdrabniania wegla
instrukcja - HYDROLIZA SOLI, Inżynieria środowiska, inż, Semestr II, Chemia ogólna, laboratorium
pHmetr-instrukcja obsługi, Inżynieria środowiska, inż, Semestr II, Chemia ogólna, laboratorium

więcej podobnych podstron