CIĄGI

Ciąg arytmetyczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r:



Wzór na sumę



początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:



Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:



Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q:



Wzór na sumę



początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:



Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:




Granica ciągu

Jeżeli



oraz



to







Jeżeli ponadto



dla

oraz , to



Jeżeli , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie , to ciąg sum jego początkowych wyrazów

ma granicę:

Definicja

Ciągiem nazywamy dowolną funkcję , gdzie , zaś X jest dowolnym zbiorem. Zwykle lub . Gdy zbiór I jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

Terminologia i symbolika

Argumenty funkcji nazywa się indeksami ciągu, dlatego też zbiór nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu.

Wartości tej funkcji określa się mianem wyrazów ciągu, w miejsce zapisu stosuje się zazwyczaj zapis . Dla używane jest też określenie wyraz ogólny, w przeciwieństwie do „konkretnych” wyrazów: .

Jeżeli dla ciągu zachodzi potrzeba zaakcentowania informacji o zbiorze indeksów, to stosuje się oznaczenia: a jeśli to także jeśli zaś to też

Jeśli wyrazy ciągu są liczbami ( jest ciałem liczbowym), to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych lub zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym lub zespolonym.

Jeśli wyrazami ciągu są funkcje, to mamy do czynienia z ciągami funkcyjnymi.

Proste przykłady

• ciąg skończony:

• ciąg o wartościach i na przemian:

• ciąg kolejnych nieujemnych liczb parzystych:

• ciąg kolejnych liczb pierwszych:

Definicja ciągu nie wyklucza, że jego elementy mogą się powtarzać. W ciągu z drugiego przykładu dwie jego wartości powtarzają się nieskończenie wiele razy.

Sposoby definiowania ciągów

Wypisanie kilku początkowych wyrazów

Jeśli reguła wiążąca kolejny indeks z wartością jest szczególnie prosta, definicja sprowadza się do wypisania kilku początkowych wyrazów:

• 

• 

• 

W każdym z powyższych ciągów na podstawie poprzednich wyrazów można odgadnąć kolejny.

Jeżeli ciąg jest skończony, to czasem warto wypisać wszystkie wyrazy, a czasem kilka początkowych i końcowy, np.

• 

Trzy końcowe kropki w takim zapisie oznaczają, że ciąg jest nieskończony; w przypadku skończonego ciągu koniecznie trzeba napisać końcowy wyraz.

Wzór na wyraz ogólny

W tym przypadku związek między indeksem n i wartością a_n daje się wyrazić w postaci pewnej funkcji a_n = f(n). Na przykład:

• a_n = n − 2

• b_n = 3ⁿ

• 

Definicja tego rodzaju pozwala zapisać ciągi o powyższych wyrazach następująco:

• 

• 

• 

Definicje rekurencyjne

W definicji rekurencyjnej wartość kolejnych elementów ciągu jest wyrażona w postaci funkcji zależnej od poprzednich wyrazów ciągu, tzn. Definicja ta wymaga podania k wartości początkowych Na przykład:

• ciąg arytmetyczny: , gdzie s,r są dane;

• ciąg geometryczny: , gdzie s,q są dane;

• ciąg Fibonacciego: .

Nieco ogólniejszą definicją jest Na przykład:

• ciąg kolejnych silni (0!, 1!, 2!, 3!, …):

Do definiowania ciągu niekiedy wykorzystuje się inny wcześniej dany ciąg. Jeśli c jest pewnym ciągiem, to nowy ciąg można zdefiniować następująco a_n = f(c_n,a_{n − 1}). Metoda ta prowadzi m.in. do dwóch ważnych klas ciągów:

• szereg (liczbowy):
  Zazwyczaj zapisuje się to w jawnej postaci , czyli jako ciąg sum częściowych. Jest to jednak tylko pozorne ominięcie rekurencyjnej natury definicji. Jeżeli ciąg c jest ciągiem funkcyjnym, to a jest szeregiem funkcyjnym.

• iloczyn nieskończony:

Podział na różne definicje jest raczej umowny, a wybór definicji danego ciągu wynika z jego specyfiki; co więcej: wiele ciągów można definiować na kilka sposobów, np.

• ciąg arytmetyczny można zdefiniować jawnie: a_n = f(n) = a₁ + (n − 1)r;

• ciąg silni można zdefiniować wzorem:

• ciąg naprzemienny a_n = ( − 1)ⁿ można zdefiniować rekurencyjnie

Ważniejsze typy ciągów

• Ciąg stały - funkcja stała o wartościach w zbiorze .
  Jeżeli warunek na „stałość” funkcji można zapisać tak: dla dowolnego .

• Ciąg monotoniczny (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący) - funkcja monotoniczna o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych).
  Dla ciągów warunek na monotoniczność można zapisać prościej. Np. dla ciągu rosnącego ma on postać (jeżeli ): dla dowolnego .

• Ciąg ograniczony - funkcja ograniczona o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych).

• Ciąg zbieżny - ciąg mający granicę (właściwą). Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych a nawet w przestrzeniach topologicznych. Ciągi, które nie są zbieżne, nazywa się ciągami rozbieżnymi.

• ciąg Cauchy'ego - ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych, a nawet w dowolnych przestrzeniach liniowo-topologicznych.

• ciąg zstępujący - ciąg podzbiorów pewnego zbioru, które spełniają warunek zawierania każdego wyrazu w wyrazie go poprzedzającym.

Zdarza się, że do zdefiniowania kolejnego wyrazu ciągu wymagane są jawne wartości wszystkich wcześniejszych wyrazów, tzn. . Oczywiście ze względu na zmienną ilość argumentów funkcji musi ona sama być zdefiniowana rekurencyjnie. Przykładem jest

• ciąg liczb Bernoulliego, zadany równaniem

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.