Dziś zajmiemy się równaniami różniczkowymi. I na początek taka definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu liniowym nazywamy równanie w postaci:

,

gdzie p i f są funkcjami ciągłymi na pewnym odcinku na osi rzeczywistej (przy czym p i f sa znanymi funkcjami). y(x) jest funkcją niewiadomą w równaniu różniczkowym. Z kolei funkcję p(x) nazywamy współczynnikiem równania różniczkowego, natomiast f(x) - prawą stroną równania różniczkowego. W przypadku, gdy
, czyli gdy mamy równanie postaci y' + p(x) * y = 0, to takie równanie nazywamy jednorodnym. Natomiast pełną postać równania różniczkowego nazywamy równaniem niejednorodnym. Całką ogólną równania różniczkowego nazywamy jednoparametrową rodzinę funkcji y(x) =
c klasy
taką, że:

dla
.

Jest to całka ogólna równania niejednorodnego. W przypadku, gdy
, rodzinę
c nazywamy całką ogólną równania jednorodnego. Każdą funkcję
klasy
spełniającą równanie
nazywamy całką szczególną równania niejednorodnego.

Całka ogólna równania niejednorodnegodla liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego. Jeżeli
, oraz funkcje p i f są ciągłe na odcinku I, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zagadnienia początkowego (zagadnienia Cauchiego) w postaci:

,

gdzie druga część układu to warunek początkowy równania różniczkowego.

W pierwszym kroku rozpatrzmy równanie jednorodne w postaci
. I tak:

Od tego momentu c przestaje być dodatnią stałą stąd całka ogólna równania jednorodnego. Sprawdźmy poprawność obliczeń rachunkowych:

A zatem mamy rozwiązanie. Rozwiązanie to jednak zależy od parametru c, a zatem rozwiązań jest nieskończenie wiele w tym przypadku.

W drugim kroku rozpatrzmy równanie niejednorodne (pełne) w postaci
, gdzie
to całka ogólna. Wyliczmy metodą uzmienniania danych, gdzie
będzie równe
. A zatem:

Stąd:
. Wówczas mamy:
i jest to całka szczególna równania niejednorodnego.

W trzecim - kolejnym kroku sumujemy powyższe dwa rozwiązania. A zatem:

i jest to całka ogólna równania niejednorodnego.

Stosując się do tych powyższych trzech punktów wykonamy zadanie pokazujące jak rozwiązuje się równanie różniczkowe. Mamy następujące równanie z określonym warunkiem:

I rozwiązujemy w trzech punktach:

1. Równanie jednorodne:

2. Równanie niejednorodne:

Stąd dalej:

I mamy całkę szczególną równania niejednorodnego.

3. Szukamy całki ogolnej równania niejednorodnego. A więc:

4. Czwarty punkt dla naszego warunku:

Wykonajmy jeszcze jedno analogiczne zadanie. Tym razem mamy rozwiązać równanie bezwarunkowe różniczkowe i sprawdzić rozwiązanie. Rozwiążemy dokładnie tak samo korzystając z powyższych trzech punktów. To równanie to:

1. Równanie jednorodne:

2. Równanie niejednorodne:

Stąd mamy:

To daje nam dalej:

I jest to nasza całka szczególna równania niejednorodnego

3. Calka ogólna równania niejednorodnego:

Sprawdźmy, czy nam dobrze wyszedł wynik ostatniego przykładu:

---