Sprawozdanie z laboratorium 12.11.09

Całkowanie Numeryczne

Zadanie: Obliczyć całkę oznaczoną y=2/x dla x=(1,3)

Funkcja zapisana w matlabie:

function [y]=f(x)

y=2./x;

Kod programu obliczający całkę metodą prostokątów, trapezów i Simpsona, oraz wartości błędów przybliżeń poszczególnych metod dla podziałów n=(1,50) :

a=1

b=3

Id=2.1972 %wartość dokładna całki

for i=1:50

n=i

h=(b-a)/n

x=a:h:b

y=funkcja(x) %otwarcie funkcji

Ip(i)=h*sum(y(1:n)) %metoda prostokątów

It(i)=h.*((y(1)+y(n+1))/2+sum(y(2:n))) %metoda trapezów

end

Is=quad(@funkcja,a,b) %metoda simpsona

I=Id*ones(1,n)

Ep=abs(Ip-Id) %liczenie błędu metody postokątów

Et=abs(It-Id) %liczenie błędu metody trapezów

Es=abs(Is-Id) %liczenie błędu metody Simpsona

figure(1)

plot(Ip)

grid on

title('Metoda Prostokatow')

xlabel('n - ilosc podzialow')

ylabel('wartosc calki')

figure(2)

plot(It)

grid on

title('Metoda Trapezow')

xlabel('n - ilosc podzialow')

ylabel('wartosc calki')

figure(3)

plot(Ep)

grid on

title('Blad Metody Prostokatow')

xlabel('n - ilosc podzialow')

ylabel('wartosc bledu')

figure(4)

plot(Et)

grid on

title('Blad Metody Trapezow')

xlabel('n - ilosc podzialow')

ylabel('Wartosc bledu')

'Wartosc calki obliczonej metoda Simpsona:'

Is

'Blad metody Simpsona: '

Es

Wynik działania programu:

Wartosc calki obliczonej metoda Simpsona:

Is = 2.1972

Blad metody Simpsona:

Es = 2.4641e-005

Wnioski:

Metoda prostokątów jest najmniej dokładną metodą i potrzebującą dużej ilości podziałów.

Dużo dokładniejsza jest metoda trapezów. Charakteryzuje się ona dużo szybszym uzyskaniem wyniku który jest obarczony niewielkim błędem.

Najlepsza okazała się metoda Simpsona, posiada ona najmniejszy błąd przybliżenia.