Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

Zastosowania

Najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN.

W matematyce nauczane w szkołach podstawowych liczby naturalne, wymierne i rzeczywiste zostały rozszerzone na takie abstrakcje, jak liczby zespolone, p-adyczne, kwaterniony, czy sedeniony. Liczby zespolone okazały się przydatne w wielu dziedzinach od grafiki komputerowej[1], przez elektronikę[2], teorię płynów, aż do fizyki kwantowej[3] i teorii względności. Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice trójwymiarowej do prostego obliczania obrotów w przestrzeni (zob. współrzędne jednorodne). Liczby p-adyczne znalazły zastosowanie w kryptografii.

Liczby naturalne

Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły:

• Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to ). Takie podejście jest związane z najbardziej „naturalnym” zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego.

• Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno[4], być może więc wydaje się „mniej naturalna” od pozostałych liczb naturalnych.

Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania.

Własności algebraiczne

Działania na liczbach, takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie można zdefiniować także w zbiorach, które nie mają z liczbami wiele wspólnego, jak symetrie wielościanów w przestrzeni, o ile tylko działania te będą tam miały podobne właściwości, np. będą przemienne, czy łączne. Struktury algebraiczne, w których działania mają pewne określone właściwości, posiadają w algebrze własne nazwy, takie jak grupa, pierścień czy ciało.

Liczby na ogół definiowane są krok po kroku. Rozpoczyna się od liczb naturalnych, następnie rozszerza ich algebrę na liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone…

Struktury algebraiczne liczb całkowitych i wymiernych rozszerzają kolejno strukturę liczb naturalnych tak, aby najprostsze działania arytmetyczne dawały się w nich wykonać dla dowolnych dwóch liczb (z wyjątkiem dzielenia przez zero). Działania takie nazywa się działaniami wewnętrznymi danego zbioru liczbowego, gdyż ich wynik zawsze będzie zawarty w tym zbiorze, dlatego mówi się też, że zbiór jest zamknięty ze względu na dane działanie. Kolejne rozszerzenia – na liczby rzeczywiste i zespolone – wzbogacają strukturę algebraiczną o dalsze interesujące właściwości.

• Dla liczb naturalnych (z zerem lub bez niego) działaniami wewnętrznymi są np. dodawanie i mnożenie. Dodanie lub pomnożenie przez siebie dwóch liczb naturalnych daje zawsze liczbę naturalną. Dla dodawania i mnożenia można skonstruować działania odwrotne – odejmowanie i dzielenie. Jednak odejmowanie większej liczby od mniejszej nie daje się wykonać w zbiorze liczb naturalnych, odejmowanie nie jest zatem działaniem wewnętrznym tego zbioru. Podobnie jest z dzieleniem.

• Rozszerzenie liczb naturalnych tak, aby odejmowanie było zawsze wykonalne, daje w rezultacie pierścień liczb całkowitych. Odejmowanie jest już dla nich działaniem wewnętrznym.

• Powiększenie pierścienia liczb całkowitych tak, aby wykonalne było dzielenie dowolnej liczby całkowitej przez dowolną niezerową liczbę całkowitą, prowadzi do tzw. ciała liczb wymiernych. Jego działaniami wewnętrznymi są dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie przez liczbę niezerową.

• Liczby wymierne nie wyczerpują wszystkich możliwości. Jak już wspomniano wcześniej, przekątna kwadratu o boku jednostkowym ma długość nie dającą się wyrazić liczbą wymierną. Również pole powierzchni koła o promieniu jednostkowym nie daje się wyrazić taką liczbą. Pole to można jednak z dowolną dokładnością przybliżyć, pokrywając koło siatką przystających kwadratów o bokach będących liczbami wymiernymi i zliczając pola kwadratów mieszczących się w całości w tym kole. Następnie powtarzając tę operację dla coraz mniejszych kwadratów można utworzyć ciąg liczb wymiernych coraz lepiej przybliżających pole danego koła. Żądanie, aby dowolna skończona granica ciągu liczb wymiernych dawała się wyrazić liczbowo, prowadzi do rozszerzenia ciała liczb wymiernych do ciała liczb rzeczywistych.

• Wielomiany w zbiorze liczb rzeczywistych nie zawsze mają pierwiastki rzeczywiste – matematycy mówią, że ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte. Na przykład równanie x² + 1 = 0 nie ma w tym zbiorze rozwiązań. Na mocy twierdzenia, iż każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego, zbiór liczb rzeczywistych można rozszerzyć tak, aby każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej miał pierwiastek w nowym ciele. Powyższa propozycja usprawiedliwia użycie tzw. liczb zespolonych.

• Zbiory liczbowe można rozszerzać w dalszym stopniu otrzymując tzw. liczby hiperzespolone, w tym: kwaterniony, oktawy Cayleya i sedeniony. Zbiory te mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania. Więcej na ten temat znajduje się w artykule aksjomaty i konstrukcje liczb.

Rodzaje struktur algebraicznych tworzonych przez poszczególne zbiory liczbowe z odpowiednimi działaniami:

• Dodawanie w zbiorze liczb naturalnych bez zera (jako działaniem łącznym i wewnętrznym) jest przykładem tzw. półgrupy.

• W zbiorze liczb naturalnych z zerem istnieje dodatkowo element neutralny dodawania (zero), w związku z czym ten zbiór z dodawaniem stanowi tzw. monoid.

• W zbiorze liczb całkowitych i szerszych, dodawanie jest odwracalne (dla każdego elementu x istnieje element y taki, że x + y = 0; element ten nazywa się elementem przeciwnym do x i oznacza przez − x). Zatem zbiór liczb całkowitych z dodawaniem tworzy grupę przemienną.

• Mnożenie we wszystkich tych zbiorach jest łączne, wewnętrzne i ma dokładnie jeden element neutralny, działanie to jednak nie jest odwracalne (zero nie ma elementu odwrotnego). Tworzy więc monoid.

• Dodawanie i mnożenie razem tworzą w zbiorze liczb naturalnych tzw. półpierścień

• Zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy dziedzinę całkowitości.

• Począwszy od liczb wymiernych, zbiory z dodawaniem i mnożeniem razem tworzą już ciało – mnożenie z wyłączeniem zera jest odwracalne.

• Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych bez zera z mnożeniem tworzą grupę przemienną.

• Zbiór liczb rzeczywistych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb wymiernych.

• Ciało liczb rzeczywistych (i każde jego podciało) jest ciałem formalnie rzeczywistym, tj. element przeciwny jedynki nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów ciała: .

• Ciało liczb rzeczywistych i ciało liczb rzeczywistych algebraicznych są ciałami rzeczywiście domkniętymi: tj. są ciałami formalnie rzeczywistymi, które nie posiadają rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem formalnie rzeczywistym.

• Zbiór liczb zespolonych tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.

• Ciało liczb zespolonych i ciało liczb algebraicznych są ciałami algebraicznie domkniętymi, tzn. każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej z współczynnikami w albo ma pierwiastek w odpowiednym ciele. W szczególności istnieje takie, że z² = − 1. W ciele liczb zespolonych istnieją dokładnie dwie liczby o tej własności oznaczane i oraz − i.

Liczby naturalne

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać ... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.

Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki:

1. 0 ∈ N,

2. Jeśli n ∈ N, to n + 1 ∈ N

Czy zero jest liczbą naturalną?

To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki. Przy określaniu kolejności jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od 0, 1, czy od jakiejkolwiek innej z liczb. Przy określaniu liczebności sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały sie od zera, czyli od mocy zbioru pustego. Natomiast jako przedmiot badań teorii liczb, zero okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia, że coś jest różne albo większe od zera.

Ile jest liczb naturalnych?

Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele.

Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki, które definiują zbiór liczb naturalnych:

- istnieje liczba naturalna 0,

- każda liczba naturalna ma swój następnik,

- zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,

- różne liczby naturalne mają różne następniki,

- jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).