©M

 

Figury w układzie 
współrzędnych.

© M

 

 

Prosta

x

y

1.Postać 
kierunkowa

y = ax + b

współczynnik kierunkowy

a=tg





2.Postać ogólna

Ax + By + C = 
0

 

gdzie   a

2

+b

2



 0

© M

 

 

Jeżeli krawędź półpłaszczyzny jest 
równoległa do  jednej z osi to opisuje  ją 
jedna z czterech nierówności.

Półpłaszczyzna

x

y

x

y

półpłaszczyzna 
domknięta

półpłaszczyzna 
domknięta

x  

a

x=
a

y = 
b

y  

b

© M

 

 

x

y

x

y

półpłaszczyzna otwarta

półpłaszczyzna otwarta

!!!

 zwracaj zawsze uwagę na znak nierówności, 

jeżeli nierówność jest słaba (



 lub 



 ) to 

półpłaszczyzna jest domknięta, natomiast 
nierówność mocna (< lub >) daje nam 
półpłaszczyznę  otwartą.

x = a

y = 
b

x < 
a

y < 
b

© M

 

 

x

y

x

y

y=

3/

4x

+1

y 

=

 x

 

-1

y  x-

1

y=

3/

4x

+1

Prosta o równaniu Ax+By+C=0  jest wspólnym 
brzegiem dwóch  półpłaszczyzn domkniętych.       
Jedną z  tych półpłaszczyzn opisuje nierówność     
   Ax +By +C 



 0, a  drugą – nierówność Ax+By 

+C 



 0. Nierówności

 

Ax + By + C < 0,

 

Ax + By +C 

> 0  opisują półpłaszczyzny otwarte.

Aby  zaznaczyć właściwą  półpłaszczyznę  najwygodniej 
sprowadzić  prostą do postaci kierunkowej.

y < 

3/4x+1

© M

 

 

y=

 -x

+4

x

y

Jeśli chcemy opisać część wspólną pewnych 
podzbiorów płaszczyzny, możemy to zrobić za  
pomocą koniunkcji  równań  lub  nierówności. Za 
pomocą alternatywy możemy opisać sumę  
zbiorów.

przykłady

y  -x 

+ 4

y < x+2

x

y

y 

=x

+2

y < - 
x+2

y < x+2

lub y  

-1

y<

 

x+

2

y 

 

-x

+

4

y <

 - x

+ 

2

y 

<

 x

+

2

y  -1

© M

 

 

Okrąg

x

y

Równanie

  (x - a) 

2 

+ (y - b) 

2 

= r 

2

opisuje  na płaszczyźnie  kartezjańskiej 
okrąg o środku  S(a ,b)  i promieniu r.

.

.

S(a,b)

r

.

P(x,y)

© M

 

 

Równanie ogólne okręgu

x 

2

 + y 

2

 - 2ax  - 2 by + c = 0

Przykład 

Znaleźć współrzędne środka i długość promienia 

okręgu danego wzorem

x 

2

 – 4x + y 

2

 + 2y  -  20 = 0

Sprowadzimy równanie  do postaci

 (x - a) 

2

 + (y - b) 

2

 = r 

2

© M

 

 

Dopełniamy w  tym celu  wyrażenia 
po  lewej stronie równania do 
kwadratów. 

Do  wyrażenia  x

2

 – 4x  

trzeba  dodać 4,

 by uzyskać (x  -2 ) 

2 

. 

Z  kolei 

do y

2 

+2 y należy dodać 1

, by 

otrzymać (y + 1)

2. 

Skoro do lewej 

strony równania dodaliśmy 4 i 1 to do 
prawej również  musimy je dodać.

x

2

 – 4x + 4 + y

2

 + 2 y +1- 20 = 

4 + 1 

(x – 2 ) 

2

 + ( y + 1) 

2 

= 5 + 20

(x – 2 ) 

2

 + ( y + 1) 

2 

= 

25

Jest to równanie  okręgu o środku  S(2,-1) 

i promieniu  5.

© M

 

 

Koło

x

y

Nierówność

(x - a) 

2

+(y - b) 

2 



  r 

2

opisuje na płaszczyźnie  
kartezjańskiej koło o środku   S(a,b) 
i promieniu  r.

.

S(a,b)

 

 

© M

 

 

Nierówność

(x - a) 

2

+(y - b) 

2 

>  r 

2

opisuje na płaszczyźnie  kartezjańskiej  zbiór 
 punktów leżących na zewnątrz koła o 
środku   S(a,b) i promieniu  r.

.

S(a,b)

r

© M

 

 

x

y

x

y

1

1

Zapisz, jakie warunki spełniają współrzędne 
punktów należących do zaznaczonych 
obszarów

zad1

zad2

1

1

© M

 

 

x

y

Zad3

Zad4

x

y

1

1

1

1

1

1

© M

 

 

Rozwiązania

Zad.1

y   2
(x + 2,5) 

2

 + ( y -  1,5) 

2

  

= 1,5

Zad.2

Zad.3

Zad.4

( x – 1 ) 

2 

+ ( y – 1 ) 

2 

  3 

( x – 1 ) 

2

 + ( y – 1 ) 

2

   1

( x + 1 ) 

2

 + ( y – 1 ) 

2

  < 2   lub   ( x - 1 ) 

2

 + 

( y – 2 ) 

2

  1

 

x  

2

 + y 

2 

  9   lub  y   x   lub   y  0

© M

 

 

© M