RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 

MAEW104

PROJEKT (F)

ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA 
GRANICZNEGO

Projekt wykonany przez studentów I roku 
ARI Politechniki Wrocławskiej:

 Natalia Czop
 Dawid Dąbrowski
 Aneta Górniak
 Andrzej Jakubiec
 Piotr Walczak

09 czerwca 2008

C

ENTRALNE 

T

WIERDZENIE 

G

RANICZNE

(CTG Lindeberga-Lévy’ego)

Rozważmy zmienną losową postaci:

m – wartość oczekiwana
σ – pierwiastek z wariancji

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

S

n

  oznacza

       , gdzie  

X

i

  są 

niezależnymi zmiennymi losowymi o:

       

●

  

jednakowym rozkładzie

       

●

  takiej samej wartości oczekiwanej 

m

       

●

  skończonej wariancji σ 

2

 > 0

 

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Wtedy zmienna losowa o takiej 

postaci zbiega według rozkładu do 

standardowego rozkładu normalnego, 

gdy 

n

 (liczba zmiennych losowych 

tworzących daną sumę) rośnie do 

nieskończoności.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Dla każdego 

       przy  

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Gdzie: 

to dystrybuanta standardowego rozkładu 

normalnego 

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

krzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa  standardowego rozkładu normalnego o 

wartości oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1. 

JAK DZIAŁA 

CTG 
?

X

i 

o rozkładzie 

Poissona



Losujemy 

n

 liczb o takim samym 

rozkładzie



Sumę tych 

n

 liczb normalizujemy

(aby rozkład zbiegał do rozkładu 

normalnego o parametrach 

m = 0

, 

σ² = 1 

)



 Czynność powtarzamy 

N

 razy

JAK DZIAŁA CTG?

JAK DZIAŁA CTG?

(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)

JAK DZIAŁA CTG?

JAK DZIAŁA CTG?

(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a,  l=0, λ 

= 2)

JAK DZIAŁA CTG?

(„rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a,  l=0, λ 

= 2)

To rozkład dyskretny 

przedstawiający liczbę wystąpień

zjawiska w czasie 

t

, w określonej

liczbie prób, gdy wystąpienia te

są niezależne od siebie. 

ROZKŁAD POISSONA

R

O

Z

K

Ł

A

D

 P

O

IS

S

O

N

A

Rysujemy wykres:



Tworzymy histogram na podstawie 

otrzymanych w wyniku błądzenia 

losowego sum zmiennych losowych



sprawdzamy czy histogram 

jest zbliżony do krzywej Gaussa.

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 

10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 

10 000

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 

10 000

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 

10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 

10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

(liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 

10 000)

JAK DZIAŁA CTG?

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA 

DO WYKRESU ROZKŁADU POISSONA

INNE 
PRZYKŁADY 
ROZKŁADU X

I

ROZKŁAD LAPLACE’A

(PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)

Matematyczne zastosowania 

rozkładu Laplace'a można 

znaleźć w pracy Johnsona i 

Kotza (Continuous univariate 

distributions,1995).

R

O

Z

K

Ł

A

D

 L

A

P

L

A

C

E

’A

 (

P

O

D

W

Ó

JN

IE

 

W

Y

K

Ł

A

D

N

IC

Z

Y

)

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA 

DO WYKRESU ROZKŁADU LAPLACE’A

ROZKŁAD PASCALA 

(UJEMNY DWUMIANOWY)

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa 

opisujący czas oczekiwania na l-ty sukces . 

Jeśli l to liczba sukcesów, k - liczba porażek, 

a p – prawdopodobieństwo sukcesu 

(w badanych próbach  Bernoulliego) 

to rozkład Pascala opisuje jakie jest 

prawdopodobieństwo wystąpienia 

l sukcesów w k+l próbach.

R

O

Z

K

Ł

A

D

 P

A

S

C

A

L

A

 (

U

JE

M

N

Y

 

D

W

U

M

IA

N

O

W

Y

)

 

 

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA 

DO WYKRESU ROZKŁADU PASCALA

Rozkład prawdopodobieństwa,

dla którego gęstość 

prawdopodobieństwa na 

przedziale  (a,b) jest stała i różna 

od 0, a poza nim równa 0 ( gdzie b 

> a )

ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY

R

O

Z

K

Ł

A

D

 JE

D

N

O

S

T

A

JN

Y

 C

IĄ

G

ŁY

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA 

DO WYKRESU ROZKŁADU 

JEDNOSTAJNEGO

Rozkład zmiennej losowej

opisujący sytuację, w której obiekt 

może przyjmować stany X i Y, 

przy czym obiekt w stanie X może 

ze stałym prawdopodobieństwem 

przejść w stan Y w jednostce czasu.

ROZKŁAD WYKŁADNICZY

R

O

Z

K

Ł

A

D

 W

Y

K

Ł

A

D

N

IC

Z

Y

DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA 

DO WYKRESU ROZKŁADU 

WYKŁADNICZEGO